第04讲两个基本计数原理（5大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第04讲 两个基本计数原理 目录 题型归纳 1 题型01 分类加法计数原理 3 题型02 分步乘法计数原理及简单应用 3 题型03 实际问题中的计数问题 4 题型04 数字排列问题 5 题型05 涂色问题 5 分层练习 6 夯实基础 6 能力提升 9 知识点01分类加法计数原理 (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类． ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点02分类乘法计数原理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． ②完成每一步有若干种方法． ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． (3) 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 知识点03组数问题 对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位. 知识点04涂色问题 涂色问题常用方法: ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 知识点05利用两个计数原理解决其他实际问题 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． [方法技巧] 使用两个计数原理进行计数的基本思想 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　 题型01分类加法计数原理 【例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 题型02 分步乘法计数原理及简单应用 【例2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）正整数2024有 个不同的正约数 【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 题型03 实际问题中的计数问题 【例3】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（    ） A．30种 B．75种 C．10种 D．20种 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（   ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 【变式2】（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有 种 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序） 题型04 数字排列问题 【例4】（2022高二·全国·专题练习）由数字1，2，3，4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．32 【变式1】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 . 【变式2】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）由1、2、3、4可以组成 个2在百位的没有重复数字的四位数. 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）从0､1､2､3､4､5六个数字中任取四个数字，可以组成多少个没有重复数字、且为奇数的四位数？ 题型05 涂色问题 【例5】（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 【变式2】（24-25高二上·河南·阶段练习）现用3种不同的颜色给正五边形的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为 . 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，用6种不同的颜色将A､B､C三个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且有公共边的区域不能涂同一种颜色.问：不同的涂色方法共有多少种？    【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（    ） A．7 B．16 C．9 D．12 2．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 3．（24-25高二上·全国·课后作业）将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有（   ） A．2种 B．4种 C．6种 D．9种 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（    ） A．－8 B．－12 C．11 D．24 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）下列结论正确的是（　　） A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花 元． 8．（23-24高二上·甘肃·期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个. 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？ 10．（24-25高二上·全国·课后作业）现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 11．（23-24高二上·上海·课后作业）4名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？ 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若，求． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）某城市的电话号码由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 3．（24-25高二上·上海·假期作业）从集合中，选出个数组成的子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 4．（21-22高二下·河北保定·期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ） A．1440 B．720 C．1920 D．960 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则下列说法中正确的是（　　） A．甲若选一种荤菜，则有6种选法 B．乙的选菜方法数为9 C．若两人分别打菜，总的方法数为18 D．若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同，则方法数为30 6．（22-23高二上·全国·课后作业）（多选题）已知，，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如、、、等．显然位回文数有个：、、、、，位回文数有个：、、、、、、、．则 （1）位回文数有 个； （2）位回文数有 个． 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 10．（23-24高二上·全国·课后作业）为举办校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数有多少？ 11．（22-23高二·全国·课堂例题）在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 12．（23-24高二上·全国·课后作业）为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 13．（21-22高二上·全国·课后作业）（1）如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？ （2） 如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 两个基本计数原理 目录 题型归纳 1 题型01 分类加法计数原理 3 题型02 分步乘法计数原理及简单应用 4 题型03 实际问题中的计数问题 6 题型04 数字排列问题 8 题型05 涂色问题 10 分层练习 13 夯实基础 13 能力提升 19 知识点01分类加法计数原理 (1)完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2) 能用分类加法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类． ②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事． ③把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数． 知识点02分类乘法计数原理 (1)完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． (2) 能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： ①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可． ②完成每一步有若干种方法． ③把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． (3) 名称 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 都是解决完成一件事的不同方法的种数问题 不同点 运用加法运算 运用乘法运算 分类完成一件事，并且每类办法中的每种方法都能独立完成这件事情，要注意“类”与“类”之间的独立性和并列性．分类计数原理可利用“并联”电路来理解 分步完成一件事，并且只有各个步骤都完成才算完成这件事情，要注意“步”与“步”之间的连续性．分步计数原理可利用“串联”电路来理解 知识点03组数问题 对于组数问题,应掌握以下原则 ①明确特殊位置或特殊数字,是我们采用“分类”还是“分步”的关键.一般按特殊位置(末位或首位)分类, 分类中再按特殊位置(特殊元素)优先的策略分步完成, 如果正面分类较多, 可采用间接法求解. ②要注意数字“0”不能排在两位数或两位数以上的数的首位. 知识点04涂色问题 涂色问题常用方法: ①根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理区域涂色问题的基本方法; ②根据共用了多少种颜色,分别计算出各种情形的种数,再利用分类计数原理求出不同的涂色方法种数; ③根据某两个不相邻区域是否同色进行分类讨论,从某两个不相邻区域同色与不同色入手,再利用分类计数原理求出不同涂色方法种数. 知识点05利用两个计数原理解决其他实际问题 在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而可能是同时应用两个计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求解．分类的关键在于做到“不重不漏”，分步的关键在于正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步． [方法技巧] 使用两个计数原理进行计数的基本思想 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数．　　 题型01分类加法计数原理 【例1】（23-24高二上·辽宁抚顺·阶段练习）书架上有10 本不同的自然科学图书和9本不同的社会科学图书，甲同学想从中选出1本阅读，则不同的选法共有（   ） A．9种 B．10种 C．19种 D．90种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类加法计数原理，即可解题. 【详解】由分类加法计数原理知，不同的选法种数为. 故选 C. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）某校高中三年级一班有优秀团员8人，二班有优秀团员10人，三班有优秀团员6人，学校组织他们去参观某爱国主义教育基地．推选1名优秀团员为总负责人，不同的选法种数是（    ） A．480 B．24 C．14 D．18 【答案】B 【知识点】分类加法计数原理 【分析】采用分类计数原理，即可求解. 【详解】采用分类计数原理，有种方法. 故选：B 【变式2】（21-22高二·全国·课后作业）分类加法计数原理：如果完成一件事有类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，每种方法都能独立完成这件事，那么完成这件事共有 种不同的方法． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理 【分析】由分类加法原理即可得答案. 【详解】如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法……在第n类方式中有mn种不同的方法， 由分类加法原理，那么完成这件事共有种不同的方法. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，若把每位数字比其左邻的数字小的数叫作“渐降数”，求上述四位数中“渐降数”的个数． 【答案】 【知识点】分类加法计数原理 【分析】首先确定千位可以是3，4，5，再根据题意，利用列举的方法，即可求解. 【详解】分三类： 第一类，千位数字为3时，“渐降数”只有3210，共1个； 第二类，千位数字为4时，“渐降数”有4321，4320，4310，4210，共4个； 第三类，千位数字为5时，“渐降数”有5432，5431，5430，5421，5420，5410，5321，5320，5310，5210，共10个． 由分类加法计数原理，共有（个）“渐降数”． 题型02 分步乘法计数原理及简单应用 【例2】（24-25高二上·甘肃白银·期末）小亦从2本不同的人教A版必修系列书籍和3本不同的人教A版选择性必修系列书籍中各选1本进行复习，则不同的选择方案共有（    ） A．5种 B．6种 C．8种 D．9种 【答案】B 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】应用分步计数的乘法原理求选择方案数. 【详解】由分步计数原理，得不同的选择方案共有种. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·湖南长沙·期末）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小红3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（   ） A．36种 B．50种 C．75种 D．125种 【答案】C 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】利用分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】因为小明不选篮球和足球，所以小明有3种选课方法， 小强和小红各有5种选课方法， 所以不同的选课方法共有种. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·上海·阶段练习）正整数2024有 个不同的正约数 【答案】16 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用 【分析】将2024分解为若干个素数的乘积，再由分步乘法计算可得； 【详解】因为， 所以正整数2024有个不同的正约数， 故答案为：16. 【变式3】（24-25高二上·甘肃庆阳·期末）已知件不同的产品中有件次品，现对这件产品一一进行测试，直至找到所有次品并立即停止测试. (1)若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品，则共有多少种不同的测试情况？ (2)若至多测试次就能找到所有次品，则共有多少种不同的测试情况？ 【答案】(1) (2) 【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）根据分步乘法计数原理可求得结果； （2）分两种情况讨论：（i）测试次找到所有次品；（ii）测试次找到所有的正品.求出两种情况下不同的测试情况种数，相加即可. 【详解】（1）若恰在第次测试时，找到第一件次品，第次测试时，找到第二件次品， 则第一、三、四次抽到的都是正品， 由分步乘法计数原理可知，不同的测试情况种数为种. （2）分以下两种情况讨论： （i）测试次找到所有次品，不同的测试情况种数为种； （ii）测试次找到所有的正品，则第三次抽到正品，前两次有一次抽到次品， 则不同的测试情况种数为种. 综上所述，不同的测试情况种数为种. 题型03 实际问题中的计数问题 【例3】（23-24高二上·辽宁抚顺·期末）音乐播放器里有15首中文歌曲和5首英文歌曲，任选1首歌曲进行播放，则不同的选法共有（    ） A．30种 B．75种 C．10种 D．20种 【答案】D 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】由简单计数原理求不同选法数. 【详解】在15首中文歌曲和5首英文歌曲，共20首歌中任选一首播放，不同的选法共有种. 故选：D 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（   ） A．12种 B．14种 C．7种 D．9种 【答案】B 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】应用分类分步计数原理，求出甲安排为“定点投篮”、 不安排“定点投篮”两种情况分别写出安排方法数，即可得答案. 【详解】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法. 当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法， 共有种， 故选：B 【变式2】（22-23高二上·辽宁沈阳·阶段练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有 种 【答案】210 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题 【分析】根据题意先求出甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，共有多少种情况，减去所选活动课程完全相同的选法种数，可得答案 【详解】甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加各有6种选法，共有种选法， 其中甲、乙、丙3名同学所选活动课程完全相同的选法共6种， 则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有种， 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·全国·课后作业）某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、2个不同的世博会宣传广告、1个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且世博会宣传广告与公益广告不能连续播放，两个世博会宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式?（用1，2，3，4，5，6表示广告的播放顺序） 【答案】 【知识点】实际问题中的计数问题 【分析】利用加法和乘法计数原理和题给限制条件即可求得不同的播放方式的方法数. 【详解】完成这件事有三类方法. 第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2，4，6，分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式； 第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，4，6，分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式； 第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1，3，6，同样分6步完成这件事， 共有（种）不同的播放方式. 由分类加法计数原理知，6个广告不同的播放方式有（种）. 题型04 数字排列问题 【例4】（2022高二·全国·专题练习）由数字1，2，3，4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为（    ） A．12 B．24 C．48 D．32 【答案】D 【知识点】数字排列问题、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】个位数字从两个奇数中选择，十位百位没有限制,依据分步乘法计数原理得到结果. 【详解】依据分步乘法计数原理，由数字1，2，3，4组成有重复数字的三位奇数， 个位数字从两个奇数中选择，十位百位没有限制, 共有2×4×4＝32个． 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）设集合A中的元素皆为无重复数字的二位正整数，且元素中任意两者之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值 . 【答案】 【知识点】分类加法计数原理、数字排列问题 【分析】按照二位正整数中的偶数分个位是0和个位不是0讨论即可. 【详解】由题意知集合中元素中任意两者之积皆为偶数， 故该集合元素中最多只能有一个奇数，其余元素均是偶数． ①当个位为0时，则十位有9个数字可供选择，则这样的偶数有个； ②当个位不为0时，则个位有2,4,6,8共4个数字可供选择，十位有8个数字可供选择， 则这样的偶数有个； 则集合中元素个数的最大值为个． 故答案为：． 【变式2】（24-25高二上·上海松江·阶段练习）由1、2、3、4可以组成 个2在百位的没有重复数字的四位数. 【答案】6 【知识点】数字排列问题 【分析】用列举法写出所有四位数可得． 【详解】满足题意的四位数有1234，1243，3214，3241，4213，4231，共6个， 故答案为：6. 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）从0､1､2､3､4､5六个数字中任取四个数字，可以组成多少个没有重复数字、且为奇数的四位数？ 【答案】 【知识点】数字排列问题 【分析】利用分步乘法计算原理即可得解. 【详解】依题意，因为这个四位数没有重复数字、且为奇数， 先考虑个位数，必然是从这三个数中选一个，故有3种选法； 再考虑千位数，由于个数位占用了一个数字，0又不能放在首位（即千位），故有4种选法； 接下去考虑百位数，易知有4种选法； 最后考虑十位数，易知有3种选法； 所以一共可以组成个满足条件的四位数. 题型05 涂色问题 【例5】（24-25高二上·全国·单元测试）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域涂色，要求同一区域用同一种颜色，相邻区域使用不同颜色，则共有涂色方法（    ）    A．120种 B．720种 C．840种 D．960种 【答案】D 【知识点】涂色问题 【分析】利用分步乘法计数原理可得答案. 【详解】有5种颜色可选，有4种颜色可选，有3种颜色可选， ，均有4种颜色可选，故共有涂色方法（种）． 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（    ） A．25 B．630 C．605 D．580 【答案】B 【知识点】涂色问题 【分析】先计算所有的情况，然后计算不涂红色和只有一个圆涂红色，最后求差即可. 【详解】先涂第一个圆，由6种情况；再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有5种情况；涂第四个圆有5种情况；涂第五个圆有5种情况，利用计数原理可知，一共有种； 若没有红色， 先涂第一个圆，由5种情况；再涂第二个圆有4种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 若红色涂一个圆， 当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5种情况；涂第三个圆有4种情况；涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况，一共有种； 当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5种情况，涂第三个圆有5种情况，涂第四个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5种情况，涂第四个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第五个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5种情况，涂第五个圆有5种情况，涂第一个圆有4种情况；涂第二个圆有4种情况；一共有种； 当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5种情况，涂第是三个圆有4种情况，涂第二个圆有4种情况；涂第一个圆有4种情况；一共有种； 所以红色至少涂两个圆的方案有. 故选:B 【变式2】（24-25高二上·河南·阶段练习）现用3种不同的颜色给正五边形的五个顶点涂色，要求相邻顶点的颜色不同，则不同的涂色方法种数为 . 【答案】30 【知识点】涂色问题 【分析】考虑B，C，E三点的涂色情况，由B，C，E三点涂三种颜色、涂两种颜色分类计数后可得所有的涂色方法种数． 【详解】如图，考虑B，C，E三点的涂色情况， 若B，C，E三点涂三种颜色，则该三点共有种涂色方法， 此时A有1种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有种涂色方法； 若B，C，E三点涂两种颜色，则E与B同色，或E与C同色， 当E与B同色时，该三点共有种涂色方法， 此时A有2种涂色方法，D有1种涂色方法，则共有种涂色方法， 同理当E与C同色时，共有种涂色方法， 综上，不同的涂色方法种数为． 故答案为：30． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）如图，用6种不同的颜色将A､B､C三个区域涂色，每个区域涂上一种颜色，且有公共边的区域不能涂同一种颜色.问：不同的涂色方法共有多少种？    【答案】 【知识点】涂色问题 【分析】利用特殊位置法，结合分步计数原理即可得解. 【详解】先考虑涂区域，有6种不同的颜色可选，故有6种涂法； 再考虑区域，由于有公共边的区域不能涂同一种颜色，故有5种涂法； 最后考虑区域，显然也有5种涂法； 故不同的涂色方法有种. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内分别取一个小球，则不同的取法数为（    ） A．7 B．16 C．9 D．12 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意，从两个袋子中分别取1个球， 分两步进行: 第一个口袋内取一个球有4种取法，另一个口袋内取一个球有3种取法, 根据分步乘法计数原理得到，从两个口袋内分别取1个小球, 共有种取法. 故选:D. 2．（23-24高二上·江西新余·阶段练习）如图，用4种不同的颜色给矩形，，，涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（    ） A．12种 B．24种 C．48种 D．72种 【答案】D 【分析】先涂C区域，再涂D，涂A，涂B，根据分步乘法计数原理可得解. 【详解】先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有种涂法. 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·课后作业）将《步步高》《创新设计》等三本不同的书按如图所示的方式放在一起，则《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有（   ） A．2种 B．4种 C．6种 D．9种 【答案】B 【分析】根据条件，利用分类分步计数原理，即可求出结果. 【详解】《步步高》放在最上面或最下面的不同放法共有种， 故选：B. 4．（24-25高二上·江西·阶段练习）某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有（    ） A．36种 B．60种 C．75种 D．85种 【答案】C 【分析】借助分步乘法计数原理计算即可得. 【详解】小明有三种选课方法，小强和小豆各有五种选课方法， 故共有种选课方法. 故选：C. 二、多选题 5．（23-24高二上·全国·课后作业）(多选)已知x∈{2，3}，y∈{－4，8}，则x·y的值可取（    ） A．－8 B．－12 C．11 D．24 【答案】ABD 【分析】分步，第一步在集合中{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同的取法，分别计算乘积，再比较积可得． 【详解】分两步：第一步在集合中{2，3}中任取一个值，有2种不同取法，第二步在集合{－4，8}中任取一个值，有2种不同的取法，故x·y可表示2×2＝4个不同的值．即2×(－4)＝－8，2×8＝16，3×(－4)＝－12，3×8＝24， 故选：ABD. 6．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）下列结论正确的是（　　） A．在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同 B．在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事 C．在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成 D．在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法可以相同 【答案】BC 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法互不相同，故A错误； 对于B，在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事，故B正确； 对于C，在分步乘法计数原理中，事情是分步完成的，其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有每个步骤都完成后，这件事情才算完成，故C正确； 对于D，在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的，故D错误． 故选：BC． 三、填空题 7．（23-24高二上·全国·课后作业）某体育彩票规定：从01至36个号中抽出7个号为一注，每注2元，某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，此人想把这种特殊要求的号买全，需要花 元． 【答案】8640 【分析】根据分步乘法计数原理计算． 【详解】分三步， 第一步：从01至10中选3个连续的号码有01，02，03；02，03，04；…；08，09，10，共8种不同的选法； 第二步：同理，从11至20中选2个连续的号码有9种不同的选法； 第三步：从21至30中选一个号码有10种不同的选法； 第四步：从31至36中选一个号码有6种不同的选法．共可组成8×9×10×6＝4 320注，所以需要花费2×4320＝8640元． 故答案为：8640. 8．（23-24高二上·甘肃·期末）“莺啼岸柳弄春晴，柳弄春晴夜月明：明月夜晴春弄柳，晴春弄柳岸啼莺.”这是清代女诗人吴绛雪的一首回文诗，“回文”是汉语特有的一种使用语序回环往复的修辞手法，而数学上也有类似这样特征的一类“回文数”，如232，251152等，那么在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有 个. 【答案】225 【分析】根据给定的信息，确定五位正整数中的“回文数”特征，再分别求出各位上的种数，先用乘法原理求出各类种数，再由加法原理即得. 【详解】依题意，五位正整数中 “回文数”具有： 万位与个位数字相同，且不为0，千位与十位数字相同， 求有且仅有两位数字是偶数的“回文数”的个数有两类办法： 第一类：万位数字为偶数且不为0有4种，千位选一个奇数有5种， 百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为个， 第二类：万位数字为奇数有5种，千位选一个偶数有5种，百位选一个奇数有5种， 不同 “回文数”的个数为， 由分类加法原理得， 在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是偶数的“回文数”共有：个. 故答案为：225 四、解答题 9．（23-24高二上·上海·课后作业）在300和800之间，有多少个没有重复数字的奇数？ 【答案】176 【分析】根据分类加法原理、分步乘法原理得出结果. 【详解】一个三位奇数的个位上的数字必是奇数，且因为不允许有重复数字出现，当一个奇数字（1、3、5、7、9）作为个位数时，它就不能作为百位数．所以符合条件的数可以按百位上的数字是奇数或偶数分成两类： 第一类：百位上的数字是偶数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定： 第一步，百位上的数字从4和6中任选一个，有2种选法； 第二步，个位上的数字从1、3、5、7、9中任选一个，有5种选法； 第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法． 根据乘法原理，这一类奇数的个数为． 第二类：百位上的数字是奇数．这样的三位数可以由以下三个步骤确定： 第一步，百位上的数字从3、5、7中任选一个，有3种选法； 第二步，个位上的数字从余下的4个奇数中任选一个，有4种选法； 第三步，十位上的数字从余下的8个数字中任选一个，有8种选法． 根据乘法原理，这一类奇数的个数为． 根据加法原理，在300和800之间共有个没有重复数字的奇数． 10．（24-25高二上·全国·课后作业）现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营．若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法？ 【答案】 【分析】先分类，再分步，结合这两个基本计数原理即可求解. 【详解】（1）高一和高二各选1人作为中心发言人，有（种）选法； （2）高二和高三各选1人作为中心发言人，有（种）选法； （3）高一和高三各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 11．（23-24高二上·上海·课后作业）4名学生报名参加两项体育比赛，每名学生可参加的比赛数目不限，每项比赛参加的人数不限，共有多少种不同的报名结果？ 【答案】 【分析】设两项体育比赛分别为项目、项目，即可得到每位同学报名结果数，再利用分步乘法计数原理计算可得. 【详解】设两项体育比赛分别为项目、项目， 则每名学生都有种报名结果，即报名个项目，报名项目，报名项目，报名项目， 所以名同学共有种报名结果. 12．（24-25高二上·全国·课后作业）用1，2，3，4四个数字（可重复）组成三位数，并把这些三位数由小到大排成一个数列． (1)写出这个数列的前11项； (2)这个数列共有多少项？ (3)若，求． 【答案】(1)111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133 (2) (3) 【分析】（1）利用列举的方法，写出数列的前11项； （2）利用分步计数原理，即可求解； （3）根据条件计数比小的数字个数，即可求. 【详解】（1）111，112，113，114，121，122，123，124，131，132，133． （2）这个数列的项数就是用1，2，3，4组成的三位数的个数，每个数位上都有4个数字可以选择，则共有（项）． （3）比小的数有两类： ① 百位 十位 个位 1 × × 2 × × ② 百位 十位 个位 3 1 × 3 2 × 3 3 × 共有（项）． 所以． 【能力提升】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）某城市的电话号码由七位升为八位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】电话号码是七位数字时，该城市可安装电话部，电话号码是八位时为部，作差即可. 【详解】电话号码是七位数字时，因为首位数字不为零， 所以该城市可安装电话部， 同理电话号码是八位时为部， 所以可增加的电话部数是． 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（    ） 1    2     3       4       5      6      7      8      9表示如下 纵式： 横式： A．81个 B．64个 C．18个 D．17个 【答案】B 【分析】首先根据分步计数原理计算不含0的所有两位数，再分类计算不满足条件的两位数，即可求解. 【详解】用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出（个）两位数， 其中个位和十位上的算筹都为1有（个）； 个位和十位上的算筹都为2有（个）； 个位和十位上的算筹都为3有（个）； 个位和十位上的算筹都为4有（个）； 个位和十位上的算筹都为5有（个）， 共有（个）， 所以个位和十位上的算筹不一样多的两位数有（个）. 故选：B 3．（24-25高二上·上海·假期作业）从集合中，选出个数组成的子集，使得这个数中的任何两个数之和不等于，则取出这样的子集的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找出和为的5组数，然后从这五组每组中各取一个数就符合题意，即可得出答案. 【详解】将和为的数分组：共5组， 只要从这五组每组中各取一个数就符合题意，每组有2种取法，故有个子集. 故选：B 4．（21-22高二下·河北保定·期末）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（    ） A．1440 B．720 C．1920 D．960 【答案】C 【分析】按照地图涂色问题的方法，先分步再分类去种植花卉即可求得不同的种植方法种数. 【详解】如图，设5个区域分别是A，B，C，D，E. 第一步，选择1种花卉种植在A区域，有6种方法可以选择； 第二步：从剩下的5种不同的花卉中选择1种种植在B区域，有5种方法可以选择； 第三步：从剩下的4种花卉中选择1种种植在C区域，有4种方法可以选择； 第四步；若区域D与区域A种植同1种花卉，则区域E可选择的花卉有4种； 若区域D与区域A种植不同种花卉，则有3种方法可以选择； 则区域E可选择的花卉有种， 故不同的种植方法种数是. 故选：C 二、多选题 5．（21-22高二上·全国·课后作业）（多选题）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2种菜，且每人至多打1种荤菜，则下列说法中正确的是（　　） A．甲若选一种荤菜，则有6种选法 B．乙的选菜方法数为9 C．若两人分别打菜，总的方法数为18 D．若两人打的菜均为一荤一素且只有一种相同，则方法数为30 【答案】AB 【分析】由计数原理，对每个选项进行依次判定即可. 【详解】若甲打一荤一素，则有种选法，故A选项正确; 若乙打一荤一素，则有6种选法，若打两素，则有种选法，共9种选法，故B选项正确; 选项C两人分别打菜，由选项B知每个人可有9种打法，故应为9×9=81种方法； 选项D可分为荤菜相同或素菜相同两种情况，共2×3×2+3×2×1=18种. 故选：AB. 6．（22-23高二上·全国·课后作业）（多选题）已知，，则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用加法和乘法计数原理和方程=1表示椭圆的限制条件，即可得到方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示的正确形式. 【详解】方法一：当时，b有3种选择；当时，b有3种选择； 当时，b有2种选择， 则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为. 方法二：当a在中任取1个，b在中任取1个时， 不可以表示椭圆， 则方程可表示不同的椭圆的个数用式子表示为. 故选：BC 三、填空题 7．（21-22高二上·全国·课后作业）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如、、、等．显然位回文数有个：、、、、，位回文数有个：、、、、、、、．则 （1）位回文数有 个； （2）位回文数有 个． 【答案】 【分析】（1）位回文数的个数相等于三位整数的个数，首位不能为零，十位和个位各有种选法，由分步计数原理可得结果； （2）位回文数的个数相当于位正整数的个数，首位不能为零，其余各数位各有种选法，由分步计数原理可得结果. 【详解】（1）位回文数的个数相等于三位整数的个数，首位不能为零，首位有种选法， 十位和个位各有种选法，由分步乘法计数原理可知，位回文数的个数为个； （2）位回文数的个数相当于位正整数的个数， 首位不能为零，首位有种选法，其余各数位各有种选法， 由分步乘法计数原理可知，位回文数的个数为. 故答案为：（1）；（2）. 8．（23-24高二上·河南驻马店·期末）已知，则关于的方程有实数解的有序数对的个数为 . 【答案】12 【分析】分是否为0判断即可. 【详解】①当时，取范围内任一实数均有实数解，此时有4对； ②当时，有解则满足，即， 当时，可取的值有、0、2、3， 当时，可取的值有、0， 当时，可取的值有、0， 共有12对. 故答案为：12. 四、解答题 9．（24-25高二上·上海·假期作业）关于正整数2160，求： (1)它有多少个不同的正因数？ (2)它的所有正因数的和是多少？ 【答案】(1)40个； (2)7440． 【分析】（1）对2160分解因数，转化2160的正因数，结合参数的取值及分步乘法计数原理即可得解. （2）我们要求正整数2160正因数的和，我们可以根据式子的展开式就是40个正因数．展开求和，即可得到答案． 【详解】（1）由题意，， 则2160的正因数， 因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3； 所以2160有个不同的正因数. （2）式子的展开式就是40个正因数之和． 所以，正因数之和为. 即2160所有正因数的和是. 10．（23-24高二上·全国·课后作业）为举办校园文化节，某班推荐2名男生3名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器1人，舞蹈2人，演唱2人，每人只参加一个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同的推荐方案的种数有多少？ 【答案】24 【分析】依题意可分为两种情况，一种是参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈和演唱培训的都是1名男生和1名女生，另一种是参加乐器的是男生，则参加舞蹈培训的有1名女生和1名男生或者是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，再根据分类加法计数原理可得答案. 【详解】依题意可分为两种情况，一种是参加乐器培训的是女生，则参加舞蹈和演唱培训的都是1名男生和1名女生，共有种方案； 另一种是参加乐器培训的是男生，则参加舞蹈培训的有1名女生和1名男生或者是2名女生，剩下的2人参加演唱培训，共有种方案， 根据分类加法计数原理种. 11．（22-23高二·全国·课堂例题）在某设计活动中，李明要用红色和蓝色填涂四个格子（如图所示），要求每种颜色都用两次，李明共有多少种不同的填涂方法？ 【答案】种 【分析】用表示红色，用表示蓝色，列举出所有不同的涂色方法，结合分类加法计数原理可得结果. 【详解】用表示红色，用表示蓝色， 用表示第一个和第三个格子涂红色，第二个和第四个格子涂蓝色． 因为红色和蓝色都要用两次，为了简化问题，考虑涂红色的格子是否相邻， 则填涂结果可以分为两类：涂红色的格子相邻，涂红色的格子不相邻． 涂红色的格子相邻的方法有：、、，共种； 涂红色的格子不相邻的方法有：、、，共种． 依据分类加法计数原理，李明共有不同的涂法种． 12．（23-24高二上·全国·课后作业）为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝共三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法？ 【答案】114种 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理与分步乘法计数原理，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式． 不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示， 那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种， 其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色， 那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里，各4种. 147留4个空，两个两个相邻，共4种放法. 137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法. 246，四个空都分开，有6种放法． 所以共有种， 当黄或蓝有3个时，总数一样，故一共有种不同的放法． 13．（21-22高二上·全国·课后作业）（1）如图①所示，有A，B，C，D四个区域，用红、黄、蓝三种颜色涂色，要求任意两个相邻区域的颜色各不相同，共有多少种不同的涂法？ （2）如图②所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，共有多少种不同染色方法？ 【答案】（1）12（2）420 【分析】（1）分A，C涂色相同和A，C涂色不相同两种情况分析计算即可； （2）按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类求解. 【详解】（1）①若A，C涂色相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，2，则有3×2×1×2＝12种不同的涂法； ②若A，C涂色不相同，则按照分步乘法计数原理，A，B，C，D可涂颜色的种数依次是3，2，1，1，则有3×2×1×1＝6种不同的涂法； 所以，根据分类加法计数原理，共有12＋6＝18种不同的涂法． （2）按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类： 第一类，A，C同色，则有5×4×3×1×3＝180种不同的染色方法； 第二类，A，C不同色，则有5×4×3×2×2＝240种不同的染色方法； 根据分类加法计数原理，共有180＋240＝420种不同的染色方法 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$