3.9弧长及扇形的面积 同步练习 2024-2025学年北师大版九年级数学下册

3.9弧长及扇形的面积 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　   　） A．π B．π C．π D．π 2．如图，四边形内接于，若，的半径为3．则的长为（    ）    A． B． C． D． 3．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，则这个圆锥的高为(    )． A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm 4．如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 5．如图的半径是的直径，的半径交于，设弧的长是，弧的长是，那么(    ) A．﹥ B．﹤ C． D．与的大小不能确定 6．如图，点在的边上，经过点，且与相切于点．若，则的长为（    ）．    A． B． C． D． 7．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB＝140°，∠CAO＝60°，OA＝4，则的长为（　　） A． B． C． D．2π 8．圆锥的母线是2，底面半径是1，则圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC=3，现将△ABC绕点B逆时针旋转一定角度，点C′恰落在边BC上的高所在的直线上，则边BC在旋转过程中所扫过的面积为（   ） A．π B．2π C．3π D．4π 10．如图，在中，，，是的平分线，经过，两点的圆的圆心恰好落在上，分别与、相交于点、．若圆半径为2．则阴影部分面积（    ）． A． B． C． D． 11．如图，分别以的三个顶点为圆心，作半径均为1的三个圆，三圆两两不相交，那么三个圆落在内的三段弧长度之和为（　　）    A．3π B．2π C．π D． 12．如图，在半径为2的扇形中，，点P是线段上一动点，点Q为线段的中点，射线交于点C，当线段最短时，的长为（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 13．某款“不倒翁”（图1）的示意图如图2所示，分别与相切于点A，B．连接，若的长度为，的半径为，则的度数为 ． 14．如图，某数学兴趣小组将边长为a的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形，则扇形的面积是 ． 15．如图，实线部分是半径为15m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长是 m． 16．如图，等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心，连接OB，OC，把△BOC绕着点CO旋转到△AO′C的位置，在这个旋转过程中，线段OB所扫过的图形的面积是 ． 17．用一个半径为6cm，圆心角为120°的扇形铁皮，围成一个圆锥形工件，则围成的圆锥形工件的高为 ． 三、解答题 18．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L（结果取整数）． 19．如图，二次函数的图象记为曲线C1，将C1绕坐标原点O逆时针旋转90°，得曲线C2； （1）请画出C2； （2）写出旋转后A（2，5）的对应点A1的坐标；    （3）直接写出C1旋转至C2过程中扫过的面积． 20．图是一种纸巾盒，它由盒身和圆弧盖组成，通过圆弧盖的旋转来开关纸巾盒．图是其侧面简化示意图，已知矩形的长，宽，圆弧盖板侧面所在圆的圆心是矩形的中心（结果保留小数点后一位）． (1)求所在的半径长及所对的圆心角度数； (2)如图，当圆弧盖板侧面从起始位置绕点逆时针旋转时，求在这个旋转过程中扫过的面积．（参考数据∶，，取） 21．根据“双减”工作要求，为丰富学生课余生活，促进学生全面成长，学校积极开展丰富多彩、富有特色的课外综合实践活动，在一次综合实践活动中，华华要在一张铁片上剪裁出一块半径为的扇形铁片，再制作成一个高的圆锥形烟囱帽（接缝忽略不计），求华华剪裁的扇形铁片的圆心角． 22．水上公园南侧新建的摩天轮吸引了附近市民的目光．据工作人员介绍，新建摩天轮直径为，最低点距离地面，摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱． (1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为______； (2)在小明进座舱后间隔个座舱小亮进入座舱（如图，此时小明和小亮分别位于，两点），求两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）和直线距离（线段的长）． 23．如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C． (1)求证：AB＝AC； (2)若∠OPB＝65°，OP＝4，则的长为________（结果保留π）． 24．如图，是的直径，点B，D在上，点E在外，． (1)求证：是的切线； (2)当时，求图中阴影部分的面积（结果保留根号和π）． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《3.9弧长及扇形的面积》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B D C C B C A C C 题号 11 12 答案 C B 1．A 【分析】连接AC，取其中点H，则点F的运动轨迹是以H为圆心，以HA为半径的圆的上，根据垂径定理，求得∠HCO=30°，从而得到∠AHO=60°，计算HA=，利用弧长公式计算即可． 【详解】连接AC，取其中点H，则点F的运动轨迹是以H为圆心，以HA为半径的圆的上， ∵以G(0，1)为圆心，半径为2的⊙G与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点， ∴OG=1，GA=GC=2，OC=3， ∵∠AOG=90°， ∴OG=1，GA=GC=2， ∴OA==，AC==2， ∴HA=， ∴∠HCO=30°， ∴∠AHO=60°， ∴点F所经过的路径长为=π， 故选A． 【点睛】本题考查了圆的性质，垂径定理，勾股定理，弧长公式，熟练掌握垂径定理，灵活运用勾股定理和弧长公式是计算的关键． 2．B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算公式：， 首先根据圆周角定理得到，然后利用弧长公式求解即可．熟练掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴， ∴的长为． 故选：B． 3．D 【分析】圆锥的展开图为扇形，根据弧长公式l=，以及扇形的弧长就是底面圆的周长，可求出扇形的半径，继而利用勾股定理可求出圆锥的高． 【详解】设扇形的半径为R．由题意得：π×6=，解得：R=5cm ，即AB=5cm，过点A作AD⊥BC与点D． 在Rt△ABD中，AD===4（cm），即圆锥的高为4cm． 故选D． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是求出圆锥展开图图的扇形的半径，然后利用勾股定理求圆锥的高，难度一般． 4．C 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 5．C 【分析】本题考查了弧长的公式，圆周角定理；由圆周角定理，得，由题意得，再代入弧长的公式，进行计算即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， 故选：C． 6．B 【分析】设与的另一个交点为点D，连接，解直角三角形求出，然后可得和的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，设与的另一个交点为点D，连接，    ∵是切线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，解直角三角形，圆周角定理的推论以及弧长公式的运用，求出的度数是解答本题的关键． 7．C 【分析】首先判定三角形为等边三角形，再利用弧长公式计算． 【详解】解：连接OC， ∵OA＝OC，∠CAO＝60°， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∵∠AOB＝140°， ∴∠COB＝80°， ∵OA＝4， ∴的长＝＝π， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和弧长公式，关键是得到△OAC是等边三角形． 8．A 【分析】由于圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，所以根据扇形的面积公式可得圆锥的侧面积． 【详解】由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，熟练掌握圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于母圆锥的母线长是解题的关键． 9．C 【详解】试题分析：根据题意可得：BC=3，根据旋转图形的性质可得旋转的角度为60°， 则S==3π. 考点：(1)、旋转图形的性质；(2)、扇形的面积计算. 10．C 【分析】连接OD，OF．首先证明OD∥AC，推出S阴＝S扇形OFA，再证明△AOF是等边三角形即可解决问题． 【详解】解：连接OD，OF． ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAB＝∠DAC， ∵OD＝OA， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝∠DAC， ∴OD∥AC， ∴∠ODB＝∠C＝90°， ∴S△AFD＝S△OFA， ∴S阴＝S扇形OFA， ∵OD＝OA＝2，AB＝6， ∴OB＝4， ∴OB＝2OD， ∴∠B＝30°， ∴∠A＝60°， ∵OF＝OA， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠AOF＝60°， ∴S阴＝S扇形OFA＝. 故选：C． 【点睛】本题考查扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是添加常用辅助线，用转化的思想思考问题． 11．C 【分析】由图示可得在内的三段弧长度之和为一个半圆的弧长． 【详解】解：根据图示可得：在内的三段弧长度之和为：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧长的计算，解答此题的关键是明确三角形内角与扇形的圆心角的关系． 12．B 【分析】本题考查垂线段最短，等边三角形的判定及性质，弧长公式． 由垂线段最短可得当时，最短．此时，由点Q是的中点，可得，从而证得，得到，根据弧长公式即可解答． 【详解】解：如图，当时，最短．    连接，， ∵，即， 又， ∴， ∴， ∵点Q是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B 13．/40度 【分析】根据和半径求出圆心角，可得，再根据切线的性质求出，最后利用多边形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵的长度为，的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，切线的性质，解题的关键是根据弧长和半径求出对应圆心角． 14． 【分析】先求出弧长，再根据扇形面积公式：（其中为扇形的弧长，是扇形的半径）计算即可． 【详解】解：由题意， ， 故答案为． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，解题的关键是记住扇形面积计算公式：设圆心角是，圆的半径为的扇形面积为，则或（其中为扇形的弧长），求出是解题的关键． 15． 【详解】如图，连接O1O2，CO1，CO2，DO1， ∵O1O2=CO2=CO1=15cm，∴△CO1O2是等边三角形． ∴∠CO1O2=60°． 同理，∠DO1O2=60°． ∴∠CO1D=120°． ∴优弧CmD所对的圆心角为360°﹣120°=240°． ∴游泳池的周长（m）． 16． 【分析】根据等边三角形的性质得到OB＝OC＝ ，根据扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】∵等边△ABC的边长是4，O是△ABC的中心， ∴OB＝OC＝， ∴线段OB所扫过的图形的面积＝S扇形ACB﹣S扇形OCO′＝ ﹣， 故答案为：． 【点睛】此题考查扇形的面积的计算，等边三角形的性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 17．4cm． 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长即可求得结果． 【详解】设这个圆锥的底面半径为r， 根据题意得2πr＝， 解得r＝2． 所以这个圆锥形小帽子的高＝． 答：这个圆锥形小帽子的高为4cm． 故答案为：4cm． 【点睛】本题主要考查了弧长与圆锥的关系，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列式是关键． 18． 【分析】先利用弧长公式求出弧长，再加上两直线长就可． 【详解】解：由弧长公式，得的长． 展直长度． 答：图中所示的管道的展直长度是2970mm. 【点睛】本题考查弧长公式，掌握弧长公式的计算是解答此题的关键． 19．（1）见解析；（2）A1（﹣5，2）．（3）． 【分析】（1）根据图形旋转的性质画出曲线C2即可； （2）根据点A1在坐标系中的位置即可得出结论； （3）连接OA、OA1，先求出OA的长，再利用割补思想，由扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）如图，曲线C2即为所求； （2）由图可知，A1（﹣5，2）． （3）如图，连接OA、OA1， ∵OA=， ∴C1旋转至C2过程中扫过的面积=扇形AOA1的面积=． 【点睛】本题考查了作图—图形的旋转，求旋转后的对应点的坐标及扇形面积，注意求旋转所扫过的图形面积时用到了割补思想． 20．(1)的半径长为，所对的圆心角度数约为 (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用，扇形面积的计算，锐角三角函数等知识， （1）如图，根据矩形的性质及勾股定理可得，根据锐角三角函数可得，可求出∠ADB的度数，最后根据三角形外角的定义及性质可求出答案； （2）在这个旋转过程中扫过的面积为扇形的面积，根据扇形的面积公式可求出答案； 解题的关键把实际问题转化为数学问题加以计算． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴的半径长为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为，所对的圆心角度数约为； （2）如图，根据题意得：， ∴在这个旋转过程中扫过的面积为． 21． 【分析】本题主要考查了求圆锥侧面展开图中扇形的圆心角度数，勾股定理，设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为，先利用勾股定理求出，再根据圆锥侧面展开图的扇形弧长等于底面圆的周长列出方程求解即可． 【详解】解：设裁减的扇形圆心角为，制成烟囱帽的底面圆半径为， 由题意得 ∴， 解得， ∴裁减的扇形圆心角为． 22．(1) (2)在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为 【分析】本题考查了点到圆上一点的距离，求弧长，等边三角形的性质与判定 （1）根据点到圆的距离可得最高点到地里的距离为； （2）根据题意得出，进而根据弧长公式即可求解；证明为等边三角形，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，由题意可知， 当座舱转到点时，距离地面最高， 此时； （2）圆周上均匀的安装了24个座舱，因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为， 的长为， 如图，连接， 且， 为等边三角形， ． 答：两人所在座舱在摩天轮上的距离（的长）为，直线距离（线段的长）为． 23．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由同圆半径相等和对顶角相等得∠OBP=∠APC，由圆的切线性质和垂直得∠ABP+∠OBP=90°和∠ACB+∠APC=90°，则∠ABP=∠ACB，根据等角对等边得AB=AC； （2）利用弧长公式进行计算即可． 【详解】（1）连接OB， ∵OB=OP， ∴∠OPB=∠OBP， ∵∠OPB=∠APC， ∴∠OBP=∠APC， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO=90°， ∴∠ABP+∠OBP=90°， ∵OA⊥AC， ∴∠OAC=90°， ∴∠ACB+∠APC=90°， ∴∠ABP=∠ACB， ∴AB=AC； （2）∵∠OPB＝65°，OP=OB， ∴∠BOP=50°， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径；并利用勾股定理列等式，求圆的半径；此类题的一般做法是：若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系；简记作：见切点，连半径，见垂直． 24．(1)见解析； (2) 【分析】（1）先根据圆周角定理由AC是的直径得，则，所以，于是可根据切线的判定定理得到是的切线；； （2）连接，先判断为等边三角形，则，，所以，然后利用图中阴影部分的面积和扇形的面积公式、等边三角形的面积公式计算即可． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）解：连接，如图， ∵，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴图中阴影部分的面积． 【点睛】此题考查了圆的切线的判定定理、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、扇形面积等知识，熟练掌握圆的相关定理是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$