第2章　一元一次不等式与一元一次不等式组 培优精练 课件 2024-2025学年 北师大版数学八年级下册

第二章　一元一次不等式与 一元一次不等式组 培优精练6　不等式(组)的应用 1 类型1　方程组与一元一次不等式的综合应用 1. 为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”.这批单车共分为A,B两种不同款型,其中A型车单价为400元,B型车单价为320元. (1)今年年初,在该市中心区域“共享单车”的试点投放正式启动,投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值为36 800元.求本次试点投放的A型车与B型车各有多少辆. 1 2 3 4 返回首页 解:(1)设本次试点投放的A型车有x辆,B型车有y辆. 根据题意,得 解得 答:本次试点投放的A型车有60辆,B型车有40辆. 解:(1)设本次试点投放的A型车有x辆,B型车有y辆. 根据题意,得 解得 答:本次试点投放的A型车有60辆,B型车有40辆. 1 2 3 4 返回首页 (2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面展开.已知投放A,B两种车型的数量比为3∶2,且投资总价值不低于184万元.若整个城区大约有10万人口,求平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆. 解:(2)已知A,B两种款型的单车的数量比为3∶2,设此项公益活动在整个城区全面展开时,投放A型车3a辆,B型车2a辆. 根据题意,得3a×400＋2a×320≥1 840 000. 解:(2)已知A,B两种款型的单车的数量比为3∶2,设此项公益活动在整个 城区全面展开时,投放A型车3a辆,B型车2a辆. 根据题意,得3a×400＋2a×320≥1 840 000. 1 2 3 4 返回首页 解得a≥1 000. 即此项公益活动在整个城区全面展开时,投放A型车至少3 000辆,B型车至少2 000辆. 则城区10万人口中,平均每100人至少享有A型车的数量为3 000× ＝3,至少享有B型车的数量为2 000× ＝2. 答:平均每100人至少享有3辆A型车,2辆B型车. 解得a≥1 000. 即此项公益活动在整个城区全面展开时,投放A型车至少3 000辆,B型车至 少2 000辆. 则城区10万人口中,平均每100人至少享有A型车的数量为3 000× ＝3,至少享有B型车的数量为2 000× ＝2. 答:平均每100人至少享有3辆A型车,2辆B型车. 1 2 3 4 返回首页 2. (2024福州一中期中)商场某柜台销售A,B两种型号的电饭锅,A种型号的电饭锅每个进价为170元,B种型号的电饭锅每个进价为150元,下表是两天的销售情况: 销售时段 销售数量/个 销售收入/元 A种型号 B种型号 第一天 1 2 580 第二天 3 1 840 1 2 3 4 返回首页 (1)求A,B两种型号的电饭锅的销售单价; 解:(1)设A,B两种型号电饭锅的销售单价分别为x元和y元, 根据题意,得 答:A,B两种型号的电饭锅的销售单价分别为220元和180元. 1 2 3 4 返回首页 (2)若商场准备用不多于9 650元的金额再采购这两种型号的电饭锅共60个,A种型号的电饭锅最多能采购多少个? 解:(2)设采购A种型号的电饭锅a个,则采购B种型号的电饭锅(60－a)个. 根据题意,得170a＋150(60－a)≤9 650,解得a≤ . ∴a取最大值为32. ∴采购金额不多于9 650元时,商场最多采购A种型号电饭锅32个. 解:(2)设采购A种型号的电饭锅a个,则采购B种型号的电饭锅(60－a)个. 根据题意,得170a＋150(60－a)≤9 650,解得a≤ . ∴a取最大值为32. ∴采购金额不多于9 650元时,商场最多采购A种型号电饭锅32个. 1 2 3 4 返回首页 类型2　一元一次不等式组的应用( ) 3. 某工厂现有甲种原料3 600 kg,乙种原料2 410 kg,计划利用这两种原料生产A,B两种产品共500件,产品每月均能全部售出.已知生产一件A种产品需要甲原料9 kg和乙原料3 kg;生产一件B种产品需要甲原料4 kg和乙原料8 kg. (1)求一共有哪几种符合要求的生产方案. 1 2 3 4 返回首页 解:(1)设生产x件A种产品,则生产(500－x)件B种产品. 根据题意,得 解不等式组,得318≤x≤320, ∵x为正整数, ∴x可以取318,319,320. ∴符合要求的生产方案有三种,分别为 ①生产A种产品318件,B种产品182件; 解:(1)设生产x件A种产品,则生产(500－x)件B种产品. 根据题意,得 解不等式组,得318≤x≤320, ∵x为正整数, ∴x可以取318,319,320. ∴符合要求的生产方案有三种,分别为 ①生产A种产品318件,B种产品182件; ②生产A种产品319件,B种产品181件; ③生产A种产品320件,B种产品180件. ②生产A种产品319件,B种产品181件; ③生产A种产品320件,B种产品180件. 1 2 3 4 返回首页 (2)若有两种销售定价方案,第一种定价方案可使每件A产品获得利润1.15万元,每件B产品获得利润1.25万元;第二种定价方案可使每件A和B产品都获得利润1.2万元.在上述生产方案中,哪种定价方案盈利最多?(请用数据说明) 解:(2)在第一种定价方案下: 方案①的利润为318×1.15＋182×1.25 ＝593.2(万元); 解:(2)在第一种定价方案下: 方案①的利润为318×1.15＋182×1.25 ＝593.2(万元); 1 2 3 4 返回首页 方案②的利润为319×1.15＋181×1.25 ＝593.1(万元); 方案③的利润为320×1.15＋180×1.25 ＝593(万元). 在第二种定价方案下,方案①②③的利润均为500×1.2＝600(万元). 综上所述,第二种定价方案的利润比较多. 方案②的利润为319×1.15＋181×1.25 ＝593.1(万元); 方案③的利润为320×1.15＋180×1.25 ＝593(万元). 在第二种定价方案下,方案①②③的利润均为500×1.2＝600(万元). 综上所述,第二种定价方案的利润比较多. 1 2 3 4 返回首页 4. 为落实优秀传统文化进校园,某校计划购进“四书”“五经”两套图书供学生借阅,已知这两套图书的单价之和为660元,一套“四书”的单价比一套“五经”的单价的2倍少60元. (1)分别求出这两套图书的单价; 解:(1)设“五经”的单价为x元,则“四书”的单价为(2x－60)元,根据题意,得 x＋2x－60＝660, 解得x＝240, ∴2x－60＝420. ∴“五经”的单价为240元,“四书”的单价为420元. 解:(1)设“五经”的单价为x元,则“四书”的单价为(2x－60)元,根据题 意,得 x＋2x－60＝660, 解得x＝240, ∴2x－60＝420. ∴“五经”的单价为240元,“四书”的单价为420元. 1 2 3 4 返回首页 (2)该校购买这两套图书不超过30 600元,且购进“四书”至少33套,“五经”的套数是“四书”套数的2倍,该校共有哪几种购买方案? 解:(2)设购买“四书”a套,“五经”b套,依题意得 ​ 解:(2)设购买“四书”a套,“五经”b套,依题意得 ​ 1 2 3 4 返回首页 解得33≤a≤34, ∵a为正整数, ∴a＝33或a＝34. ∴当a＝33时,b＝66;当a＝34时,b＝68. ∴该校共有2种购买方案: ①购买“四书”33套,“五经”66套; ②购买“四书”34套,“五经”68套. 解得33≤a≤34, ∵a为正整数, ∴a＝33或a＝34. ∴当a＝33时,b＝66;当a＝34时,b＝68. ∴该校共有2种购买方案: ①购买“四书”33套,“五经”66套; ②购买“四书”34套,“五经”68套. 1 2 3 4 返回首页 $$第二章　一元一次不等式与 一元一次不等式组 培优精练4　含字母系数的不等式(组) 1 类型1　含字母系数的不等式 1. (2024泉州晋江期中)若不等式(－a＋1)x>1－a的解集是x<1,则a必满足(　B　) A. a<0 B. a>1 C. a<－1 D. a<1 2. (2024福州福清期末)已知x＝3不是关于x的不等式x－a>0的解,则a的取值范围是 　a≥3　.  B a≥3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 解:由mx－n>0得mx>n. ∵关于x的不等式mx－n>0的解集为x<2, ∴ ＝2,且m<0. ∴n＝2m. 代入关于x的不等式(m＋n)x>m－n,得3mx>－m. 解得x<－ . 解:由mx－n>0得mx>n. ∵关于x的不等式mx－n>0的解集为x<2, ∴ ＝2,且m<0. ∴n＝2m. 代入关于x的不等式(m＋n)x>m－n,得3mx>－m. 解得x<－ . 3. 若关于x的不等式mx－n>0的解集为x<2,求关于x的不等式 x>m－n的解集. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 4. 已知a,b是整数,关于x的不等式x>a－2b的最小整数解为8,关于y的不等式y<2a－3b－19的最大整数解为－8. (1)求a,b的值; 解:(1)∵a,b是整数, ∴a－2b,2a－3b－19也是整数. ∵关于x的不等式x>a－2b的最小整数解为8,关于y的不等式y<2a－3b －19的最大整数解为－8, ∴ 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)若|x－b|＝x－b,|x－a|>a－x,求符合题意的最小整数x. 解:(2)∵|x－a|>a－x,|x－b|＝x－b, ∴a－x<0,x－b≥0. ∵a＝3,b＝－2, ∴3－x<0,x＋2≥0. ∴x>3. ∴符合题意的最小整数x是4. 解:(2)∵|x－a|>a－x,|x－b|＝x－b, ∴a－x<0,x－b≥0. ∵a＝3,b＝－2, ∴3－x<0,x＋2≥0. ∴x>3. ∴符合题意的最小整数x是4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 5. 已知关于x的不等式(a－3)x<5－a只有3个非负整数解,求a的取值范围. 解:①当a－3>0时,不等式(a－3)x<5－a的解集为x< . ∵关于x的不等式(a－3)x<5－a只有3个非负整数解, ∴ 解:①当a－3>0时,不等式(a－3)x<5－a的解集为x< . ∵关于x的不等式(a－3)x<5－a只有3个非负整数解, ∴ 解得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 ②当a－3<0时,不等式(a－3)x<5－a的解集为x> , 则关于x的不等式(a－3)x<5－a的非负整数解有无数个,不符合题意. 综上所述,a的取值范围为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 类型2　含字母系数的不等式组 6. 若不等式组 无解,则m应满足 　m≥7　.  7. 若不等式组 的解集为x≥m,则m的取值范围是 　m1　.  m≥7 m≥－1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 8. 已知3≤x＋a<4＋b的解集为2≤x<3,求1≤a(x－1)＋b<3的解集. 解:解不等式组3≤x＋a<4＋b得,3－a≤x<4－a＋b, ∵不等式组3≤x＋a<4＋b的解集为2≤x<3, ∴ 解得 ∴不等式组1≤a(x－1)＋b<3可化为1≤x－1<3. 解得2≤x<4. 解:解不等式组3≤x＋a<4＋b得,3－a≤x<4－a＋b, ∵不等式组3≤x＋a<4＋b的解集为2≤x<3, ∴ 解得 ∴不等式组1≤a(x－1)＋b<3可化为1≤x－1<3. 解得2≤x<4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 9. 若关于x的不等式组 有三个整数解,求a的取值范围. 解:解不等式3(x－1)>x－6,得x>－1.5; 解不等式8－2x＋2a≥0,得x≤a＋4. ∵不等式组有三个整数解, ∴不等式组的整数解为－1,0,1. 则1≤a＋4<2. 解得－3≤a<－2. ∴a的取值范围是－3≤a<－2. 解:解不等式3(x－1)>x－6,得x>－1.5; 解不等式8－2x＋2a≥0,得x≤a＋4. ∵不等式组有三个整数解, ∴不等式组的整数解为－1,0,1. 则1≤a＋4<2. 解得－3≤a<－2. ∴a的取值范围是－3≤a<－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 10. 已知关于x,y的方程组 的解x,y都为正数. (1)求a的取值范围. 解:(1)解方程组,得 ∵x>0,y>0, ∴ 解得a>2. 解:(1)解方程组,得 ∵x>0,y>0, ∴ 解得a>2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 (2)是否存在这样的整数a,使得不等式|a|＋|2－a|<5成立?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 解:(2)存在满足条件的整数a,使得不等式|a|＋|2－a|<5成立. ∵a>2,而|a|＋|2－a|<5, ∴a＋a－2<5. 解:(2)存在满足条件的整数a,使得不等式|a|＋|2－a|<5成立. ∵a>2,而|a|＋|2－a|<5, ∴a＋a－2<5. 解得a< . ∴2<a< . ∵a为整数, ∴a＝3. 解得a< . ∴2<a< . ∵a为整数, ∴a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回首页 $$第二章　一元一次不等式与 一元一次不等式组 培优精练7　不等式与一次函数 1 1. 结合学过的知识我们知道,在数轴上,x＝1表示一个点,而在平面直角坐标系中,x＝1表示一条直线;我们还知道,以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数y＝2x＋1的图象,它也是一条直线,如图1. 1 2 返回首页 观察图1可以得出:直线x＝1与直线y＝2x＋1的交点P(1,3)就是方程组 的解,所以这个方程组的解为 在平面直角坐标系中,x≤1表示一个平面区域,即直线x＝1以及它左侧的部分,如图2;y≤2x＋1也表示一个平面区域,即直线y＝2x＋1以及它下方的部分,如图3. 回答下列问题. 1 2 返回首页 (1)在图4所示的平面直角坐标系中,用作图象的方法求出方程组 的解,方程组的解是 　​ 　.  ​ 1 2 返回首页 (2)在图5所示的平面直角坐标系中,用阴影表示 所围成的区域. 解:(2)所围成的区域如图5所示. 解:(2)所围成的区域如图5所示. 1 2 返回首页 (3)如图6,表示阴影区域的不等式组是 　 　.  ​ 1 2 返回首页 2. 探究函数的性质可以扩展我们的数学思维.某班数学兴趣小组同学探究函数y＝a|x－1|＋b(a,b为常数,且a≠0)的性质,探究过程如下,请解决下列问题: (1)绘制函数图象: ①列表: x … －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 9 7 5 3 1 3 5 m … 分析数据,完成填空:a＝ 　2　,b＝ 　1　,m＝ 　7　;  2 1 7 1 2 返回首页 ②描点:在平面直角坐标系中,根据表中的数值描点(x,y),如图,现已描出部分点,请补充表中未描出的各点; ③连线:用平滑的曲线顺次连接各点,画出函数图象. 解:(1)②③描点、连线如图所示. 解:(1)②③描点、连线如图所示. 1 2 返回首页 (2)探索函数性质: 当x<1时,y随x的增大而减小;当x≥1时,y随x的增大而 　增大　.  增大 1 2 返回首页 (3)运用函数性质: ①不等式a|x－1|＋b≥5的解集是 　x≤－1或x≥3　;  ②当x>4时,对于x的每一个值,函数y＝－ x＋t的值都小于函数y＝a|x－1|＋b的值,求此时t的取值范围. x≤－1或x≥3 1 2 返回首页 解:(3)②把x＝4代入y＝2|x－1|＋1,得y＝7, 把(4,7)代入y＝－ x＋t, 得7＝－ ×4＋t. 解得t＝10. 如图,当x>4时,对于x的每一个值,函数y＝－ x＋t的值 小于函数y＝a|x－1|＋b的值且小于7,此时t的取值范围是t<10. 解:(3)②把x＝4代入y＝2|x－1|＋1,得y＝7, 把(4,7)代入y＝－ x＋t, 得7＝－ ×4＋t. 解得t＝10. 如图,当x>4时,对于x的每一个值,函数y＝－ x＋t的值 小于函数y＝a|x－1|＋b的值且小于7,此时t的取值范围是t<10. 1 2 返回首页 $$第二章　一元一次不等式与 一元一次不等式组 培优精练5　不等式(组)与阅读理解 1 类型1　与不等式(组)有关的阅读理解问题 1. 【提出问题】已知x－y＝2,且x>1,y<0,试确定x＋y的取值范围. 【解决问题】解:∵x－y＝2,∴x＝y＋2. 又∵x>1,∴y＋2>1.∴y>－1. 又∵y<0,∴－1<y<0.① 同理得1<x<2.② ①＋②,得－1＋1<y＋x<0＋2. ∴x＋y的取值范围是0<x＋y<2. 1 2 3 4 返回首页 解:∵x－y＝－3, ∴x＝y－3. 又∵x<－1, ∴y－3<－1. ∴y<2. 又∵y>1,∴1<y<2,① 同理得－2<x<－1.② 由①＋②得1－2<y＋x<2－1. ∴x＋y的取值范围是－1<x＋y<1. 【尝试应用】已知x－y＝－3,且x<－1,y>1,求x＋y的取值范围. 1 2 3 4 返回首页 2. 先阅读下列例题,再按要求完成问题. 例题:解一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0. 由有理数的乘法法则“两数相乘,同号得正”,得① 解不等式组①,得x>2,解不等式组②,得x<－2. 所以一元二次不等式(3x－6)(2x＋4)>0的解集是x>2或x<－2. 1 2 3 4 返回首页 (1)求不等式(2x＋8)(3－x)<0的解集; 解:(1)由有理数的乘法法则“两数相乘,异号得负”, 得① 解不等式组①,得x>3,解不等式组②,得x<－4. 所以一元二次不等式(2x＋8)(3－x)<0的解集是x>3或x<－4. 1 2 3 4 返回首页 (2)求不等式 >0的解集. 解:(2)由有理数的除法法则“两数相除,同号得正”, 得① 解不等式组①,得－3<x<2, 解不等式组②,无解. 所以不等式>0的解集是－3<x<2. 1 2 3 4 返回首页 类型2　与不等式有关的新定义问题 3. (2024泉州一中期中)若一元一次不等式①的解都是一元一次不等式②的解,则称一元一次不等式①是一元一次不等式②的“子不等式”.例如:不等式x>1的解都是不等式x≥1的解,则x>1是x≥1的“子不等式”.根据以上信息,回答问题: (1)判断x<－1 　不是　x<－3的“子不等式”;(填“是”或“不是”)  不是 1 2 3 4 返回首页 (2)若关于x的不等式3x＋a<2是1－3x>0的“子不等式”,求a的取值范围. 解:∵3x＋a<2, ∴x< . ∵1－3x>0, ∴x< . ∵x< 的“子不等式”, ∴ . ∴a≥1. 1 2 3 4 返回首页 4. 定义:若一元一次方程的解在一元一次不等式的解集范围内,则称一元一次方程为一元一次不等式的“伴随方程”.如:一元一次方程x＋1＝2的解为x＝1,而一元一次不等式2x－3<x的解集为x<3,不难发现x＝1在x<3的范围内,所以一元一次方程x＋1＝2是一元一次不等式2x－3<x的“伴随方程”. (1)在①－3(x＋1)＝9,②2x＋3＝5,③ 三个一元一次方程中,是一元一次不等式3(1＋x)>x－4的“伴随方程”的有 　②③　.(填序号)  ②③ 1 2 3 4 返回首页 (2)若关于x的一元一次方程3x－a＝2是关于x的一元一次不等式3(a＋x)≥4a＋x的“伴随方程”,且一元一次方程 的“伴随方程”. ①求a的取值范围; 解:①∵3x－a＝2, ∴x＝ . 解:①∵3x－a＝2, ∴x＝ . 1 2 3 4 返回首页 解不等式3(a＋x)≥4a＋x,得x≥ . ∵关于x的一元一次方程3x－a＝2是关于x的一元一次不等式3(a＋x)≥4a＋x的“伴随方程”, ∴ . 解不等式3(a＋x)≥4a＋x,得x≥ . ∵关于x的一元一次方程3x－a＝2是关于x的一元一次不等式3(a＋ x)≥4a＋x的“伴随方程”, ∴ . 1 2 3 4 返回首页 解得a≤4. ∵方程 ＋1＝x的解为x＝1,不等式 , ∵方程 的“伴随方程”, ∴－ ≤1.解得a≥－2. ∴a的取值范围为－2≤a≤4. 解得a≤4. ∵方程 ＋1＝x的解为x＝1,不等式 , ∵方程 的“伴随方程”, ∴－ ≤1.解得a≥－2. ∴a的取值范围为－2≤a≤4. 1 2 3 4 返回首页 ②直接写出代数式|a|＋|a－3|的最大值. 解:②7　 解:②7　 1 2 3 4 返回首页 解析:∵－2≤a≤4, ∴当－2≤a<0时,|a|＋|a－3|＝－a＋3－a＝3－2a; a＝－2时,|a|＋|a－3|的值最大,最大值＝3－2×(－2)＝3＋4＝7; 当0≤a<3时,|a|＋|a－3|＝a＋3－a＝3; 当3≤a≤4时,|a|＋|a－3|＝a＋a－3＝2a－3; a＝4时,|a|＋|a－3|的值最大,最大值＝2×4－3＝8－3＝5. 综上,a＝－2时,|a|＋|a－3|取最大值, 最大值为7. ∴代数式|a|＋|a－3|的最大值是7. 解析:∵－2≤a≤4, ∴当－2≤a<0时,|a|＋|a－3|＝－a＋3－a＝3－2a; a＝－2时,|a|＋|a－3|的值最大,最大值＝3－2×(－2)＝3＋4＝7; 当0≤a<3时,|a|＋|a－3|＝a＋3－a＝3; 当3≤a≤4时,|a|＋|a－3|＝a＋a－3＝2a－3; a＝4时,|a|＋|a－3|的值最大,最大值＝2×4－3＝8－3＝5. 综上,a＝－2时,|a|＋|a－3|取最大值, 最大值为7. ∴代数式|a|＋|a－3|的最大值是7. 1 2 3 4 返回首页 $$