2.1.1对顶角、补角和余角教案 2024-2025学年北师大版七年级数学下册

第二章 相交线与平行线 1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 教学目标 课题 第1课时对顶角、补角和余角 授课人 素养目标 1.初步理解平行线、对顶角、补角、余角的概念。 2.会根据平行线、对顶角、补角、余角的概念去识别相应的图形。 3.探索并掌握对顶角、补角和余角的性质，并能运用它们解决简单的实际问题。 教学重点 对顶角、补角和余角的概念和性质。 教学难点 通过简单的推理，归纳出补角、余角的性质，并能用规范的语言描述其性质。 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 1.双杠的两个握杠给我们什么印象？哪些地方也给我们这种印象？ 2.墙上的挂钩和剪刀给我们什么印象？哪些地方也给我们这种印象？ 下面就让我们一起进入今天这节课的学习！ 【教学建议】 教师让学生同桌之间互相交流，然后请学生代表发言。 设计意图 借助生活中常见之物，让学生形成平行和相交的印象，从而引出新课。 活动二：实践探究，获取新知 探究点1 相交线和平行线 问题1 观察活动一图片中老师所描的直线，同学们有什么发现? 这些线有些是平行的，还有些是相交的。 问题2 我们在七年级上学期学习了直线和直线的表示方法，请在纸上画两条直线，并用字母表示。并与同伴交流你们画的两条直线有什么样的位置关系。 （可请几位同学在黑板上面画） 【教学建议】 教师注意提醒学生：平行线的定义包含三层意思： （1）“在同一平面内”是前提条件； （2）“不相交”就是说两条直线没有 设计意图 通过让学生自己操作，在自主探究的过程中获取新知。 教学步骤 师生活动 问题3 以上这些同学所画直线的位置关系可以分为几类?下图中的直线a，b真的是既不相交，又不平行吗? 由学生交流，学生代表回答。 教师总结：在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种。 概念引入： 若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。 例 下列哪些说法是正确的？ ①两条不相交的直线一定相互平行；②在同一平面内，两条不平行的直线一定相交；③在同一平面内，两条不相交的线段一定平行；④在同一平面内，两条不相交的射线互相平行。 分析： 解：②是正确的。 【对应训练】 下列说法中，正确的有 （2）（4） 。 （1）在同一平面内不相交的两条线段必平行 （2）在同一平面内不相交的两条直线必平行 （3）在同一平面内不平行的两条线段必相交 （4）在同一平面内不平行的两条直线必相交 交点； （3）平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段。 设计意图 探究点2 三角形内角和 如图，直线AB与CD相交于点O。 问题1∠1和∠2的位置有什么关系？ （1）∠1和∠2有公共顶点O； （2）它们两边互为反向延长线。 概念引入： 有公共顶点，两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。 问题2 猜想∠1和∠2的大小有什么关系？你能说明理由吗？ ∠1=∠2。理由： 直线AB与CD相交于点O，由平角的定义，可得∠1+∠3=180°， 【教学建议】 这里对顶角的定义只要学生能用自己的语言表述就行，如果有学生不明白“反向延长线”的意思，教师可以结合具体图形加以说明。 引导学生通过位置关系和数量关系两方面探究对顶角。 教学步骤 师生活动 设计意图 ∠2+∠3=180°，所以∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，所以∠1=∠2。 师生共同归纳对顶角的性质：对顶角相等。 问题3 上图中还有其他的角也构成对顶角吗？如果有，它们之间的大小关系如何？ 还有∠3和∠4，∠3=∠4。 【对应训练】 1.下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是图（ D ）。 2.教材P36随堂练习。 【教学建议】 教师可提示学生： 1.形成对顶角的前提是两直线相交。 2.对顶角是成对出现的，不能说一个角是对顶角。 3.对顶角不仅反映两角相等的数量关系，还反映两角的位置关系。 使学生学会用一定的方式有条理地表达推理过程，为今后的几何证明打下基础。 设计意图 探究点3 补角和余角的概念和性质 思考1 下图中，AB与CD相交于点O，则∠1与∠3有什么数量关系？ ∠1+∠3=180°。 概念引入： 如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。 如图①中，我们可说∠1是∠3的补角或∠3是∠1的补角。 追问 思考1图中还有其他的角也构成互为补角的关系吗？ ∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4也构成互为补角的关系。 思考2 下图中∠1与∠2有什么数量关系？ ∠1+∠2=90°。 概念引入： 如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。 【教学建议】 教师提醒： 1.补角与余角是针对两个角而言，并且是相互的。 2.互为补角、互为余角的两个角，只与它们的大小有关，与它们的位置无关。 3.同一个角的补角比它的余角大90°。 4.互为余角的两个角必须是两个锐角，而互为补角的两个角可以是一个锐角和一个钝角，也可以是两个直角。 由学生观察图形引出补角和余角的概念，再用例题检验学生对概念的掌握，并进一步让学生经历补角和余角性质的推导过程，加深对知识的理解，培养学生的演绎推理能力。让学生用自己的语言表达性质，培养学生的归纳能 教学步骤 师生活动 力，最后渗透对几何语言的应用，培养学生的推理能力。 如思考2图中，我们可说∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。 例 （教材P35思考·交流）如图①，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2。 将图①简化为图②，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。 （1）请在图②中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。 （2）∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。 理由由学生来说。 同理，我们也可以得到同角的余角相等，同角的补角相等。 教师归纳余角和补角的性质： 同角（或等角）的余角相等，同角（或等角）的补角相等。 【对应训练】 1.若∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°，则∠A=∠C，理由是 同角的补角相等 。 2.已知∠1=40°，∠2是∠1的余角，∠3是∠2的补角，则∠3的度数为 130°。 活动三：典例精讲，升华提高 例 如图，两条直线相交于点O，若∠1+∠2=80°，求∠3的度数。 解：因为∠1与∠2是对顶角，所以∠1=∠2。 因为∠1+∠2=80°，所以∠1=∠2=40°。 因为∠1+∠3=180°，所以∠3=180°-40°=140°。 教学步骤 师生活动 设计意图 【对应训练】 如图，直线AB，CD，EF相交于点O，∠1=40°，∠BOC=110°，求∠2的度数。 答案：∠2的度数为70°。 【教学建议】 这类计算一般不难，可由学生代表回答解题思路，教师予以引导。 对对顶角性质的巩固和应用。 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】相应练习。 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.什么是相交线？什么是平行线？ 2.什么是对顶角？对顶角有什么性质？ 3.补角和余角的概念和性质分别是什么？ 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P39～40习题2.1第1，4，9题。 2.相应课时训练。 板书设计 1 两条直线的位置关系 第1课时 对顶角、补角和余角 1.相交线与平行线。 2.对顶角。 教学反思 本节课上打破以往单纯的复习旧知的惯例，而以生活中常见的图片引入，通过观察图片引导学生从实物中抽象出几何模型，并让学生独立思考，动手操作，从中渗透了猜想、验证、归纳等数学思想方法，使学生在探究过程中了解问题解决的过程和方法，在有意义的数学活动中，建构数学知识，理解数学思想方法，学会数学思考。 解题大招一 三角尺中的互余 例1 将一副三角尺按不同位置摆放，下列摆法中∠α与∠β互余的是（ A ） 解析：A摆法中∠α+∠β=180°-90°=90°，所以∠α与∠β互余。B摆法中∠α=∠β，∠α与∠β不一定互余。C摆法中∠α=90°，∠β大于90°，∠α与∠β不互余。D摆法中∠α，∠β都大于90°，∠α与∠β不互余。故选A。 解题大招二 互余和互补的角关系的综合 解此类题的关键是找准等量关系，直接设未知数，列一元一次方程求解。 培优点 对顶角与角平分线的综合应用 例 （一题多解）如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠DOB，若∠AOC=70°，求∠EOC的度数。 分析：∠EOC=∠DOC-∠DOE或∠EOC=∠BOC+∠EOB，故有两种方法求解。 解法一：因为∠DOB与∠AOC是对顶角， 所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）。 又因为OE平分∠DOB，所以∠1=∠DOB=×70°=35°（角平分线的定义）。 所以∠EOC=∠DOC-∠1=180°-35°=145°（平角的定义）。 解法二：因为∠DOB与∠AOC是对顶角，所以∠DOB=∠AOC=70°（对顶角相等）。 又因为OE平分∠DOB， 所以∠2=∠DOB=×70°=35°（角平分线的定义）。 又因为∠3=∠AOB-∠AOC=180°-70°=110°（平角的定义）， 所以∠EOC=∠2+∠3=35°+110°=145°。 方法总结 在图形中识别对顶角，利用对顶角相等，角平分线分得的两个角相等，平角及角的和、差关系找到角的等量关系，然后利用已知条件和图形语言把角相互转化，从而得到解题的方法。 学科网（北京）股份有限公司 $$