第十七章 勾股定理（单元复习 6个知识点+10类题型突破）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（人教版）

第十七章 勾股定理 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 03 题型归纳 题型一　已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方进行求解即可． 【详解】解：∵一直角三角形的两直角边长分别为5和12， ∴该直角三角形的斜边长为， 故答案为：． 巩固训练 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，再和以前的距离作比较即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得， ∴建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为， 故答案为． 2.（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理．分是直角边或是斜边两种情况讨论，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当是直角边时， 则， 当是斜边时， 则， 故答案为：10或． 3.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 【答案】12或15 【分析】本题考查了勾股定理．注意12可能是直角边，也可能是斜边，所以得分两种情况讨论． 【详解】解：当9和12都是直角边时， 斜边； 当9是直角边，12是斜边时， 斜边为12． 故答案为：12或15． 题型二　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 【答案】15 【分析】设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c，根据题意，得，，，计算即可． 本题考查了勾股定理，正确理解定理是解题的关键． 【详解】解：设A的边长为a，B的边长为b，C的边长为c， 根据题意，得，，， ． 解得． 故答案为：15． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 2.（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键． 首先根据勾股定理求出，然后根据阴影部分面积等于以为直径的2 个半圆的面积加上减去为半径的半圆面积即，然后代数求解即可． 【详解】解：在中，， ， ． 故答案为：30． 3.（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了正方形和勾股定理，解题关键是勾股定理的正确应用． 由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得，由正方形、、的面积依次为、、，得，故正方形的面积为12． 【详解】解：由所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，根据勾股定理得， 由正方形、、的面积依次为、、，得， 故正方形的面积为12． 故答案为：12． 题型三　利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了网格图的问题，解题关键是正确应用勾股定理．用割补法求出的面积，用勾股定理求出的长，然后利用面积法求解即可． 【详解】解：面积， 由勾股定理得， 设点A到直线的距离是d， 得， 解得． 故答案为：2． 巩固训练 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，利用勾股定理求出的长，利用网格求出的面积，再根据面积法即可求出的长，利用割补法求出的面积是解题的关键． 【详解】解：由勾股定理可得，， 由网格可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形面积公式，运用分割法求出的面积，运用勾股定理求出的长，再运用等积法即可求出边上的高 【详解】解：； 由勾股定理得， 所以，边上的高长， 故答案为：． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    【答案】3 【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据题意求出的面积，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：由图形可知，，边上的高为3， 的面积， 由勾股定理得，， 则， 解得，， 故答案为：3 题型四　勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．想要判定是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A． ，能构成勾股数，故该选项正确； B． ，不能构成勾股数，故该选项错误； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D． ，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选A． 巩固训练 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若三个正整数、、满足，则称、、为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，不符合题意； B、，是“勾股数”，符合题意； C、，不是“勾股数”，不符合题意； D、，不是“勾股数”，不符合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股数，根据勾股数是满足的三个正整数逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴不是勾股数，不符合题意； B、∵，∴不是勾股数，不符合题意； C、∵都不是整数，∴不是勾股数，不符合题意； D、∵，∴是勾股数，符合题意； 故选：D． 3.（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，9，40，41是勾股数，故此选项符合题意； B、，5，6，7不是勾股数，故此选项不符合题意； C、，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； D、，，不是正整数，，，不是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：A． 题型五　判断能否构成直角三角形 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，勾股定理的逆定理，正确理解勾股定理的逆定理是解题的关键．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 【详解】A、， ， ， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； B、设，则，， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； C、， ， ， 是直角三角形， 故此选项正确，不符合题意； D、，，， ， 不是直角三角形， 故此选项错误，符合题意． 故选D． 巩固训练 1.（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理，能理解勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可． 【详解】解：A、，， ∴最大角为， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； B、设分别为， ， ， 是直角三角形， 故本选项符合题意； C、， ∴不符合三角形三边关系， 故本选项不符合题意； D、， ， 不是直角三角形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理和三角形内角和定理，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键， A、根据勾股定理的逆定理进行判定即可， B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状， C、根据三角形的内角和为度，即可计算出的值， D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状． 【详解】A、当，，， ，故是直角三角形； B、当时，设，，， 则，故是直角三角形， C、当时， ∵， ∴，则，故是直角三角形， D、当时， ∵， 则最大角为，故不是直角三角形， 故选：D． 3.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，根据三角形内角和定理即可判断A、C；如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断B、D． 【详解】解：A、∵，， ∴，，， ∴不是直角三角形，符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，且， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴设，，，且， ∴是直角三角形，不符合题意； 故选：A． 题型六　在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理求出长可判定A，利用网格图计算三角形的面积可判定B，利用勾股定理及其逆定理判定C；利用面积公式求出边的高，即可利用点到直线的距离判定D． 【详解】解：A． ∵， ∴，本选项结论正确，不符合题意； B．，本选项结论正确，不符合题意； C．，，， ， ，本选项结论正确，不符合题意； D．点A到的距离，本选项结论错误，符合题意； 故答案为：D 巩固训练 1.（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键． 根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解： A、如图： ，，， 不是直角三角形，故本选项符合题意； B、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意； D、如图： ，，， 是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 【答案】(1) (2)2 【分析】此题考查了勾股定理与网格、勾股定理逆定理等知识，准确掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出各边的长，求和即可得到的周长； （2）过作，证明是直角三角形，为斜边，利用等积法即可求出答案． 【详解】（1）解：，，， 的周长； （2）过作，    ∵， ∴是直角三角形，为斜边， 的面积， 即， 解得， 即线段的最小值为． 3.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)17.5 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了四边形的面积，三角形的面积，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据四边形的面积等于长方形的面积减去四个直角三角形的面积和一个小长方形的面积计算即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积为： ； （2）解：， 理由：如图，连接，   ，，， ， 是直角三角形且， 即． 题型七　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析. (2)． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． （1）连接，根据，，得出是等边三角形即可； （2）根据勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形，从而求得． 【详解】（1）解：是等边三角形． ，， 是等边三角形； （2）解：是等边三角形， ，， 在中，，， ， ， ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)20 (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理是关键． （1）在直角中利用勾股定理即可求解． （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解：， 是直角三角形，． ． （2）是直角三角形，理由如下： ， 是直角三角形，． ， ． ， 是直角三角形，是直角． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理： （1）先根据含30度角的直角三角形的性质得出，再根据勾股定理得出答案即可； （2）得出，即，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）证明：∵，，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断； （2）利用等面积法即可求解． 本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握等积法是关键． 【详解】（1）证明：在直角中，，，， ． ，， ， 是直角三角形，且． （2）解：， ． 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    【答案】是，理由见解析 【分析】此题考查勾股定理的逆定理的应用、垂线段最短，熟练掌握勾股逆定理是解决本题的关键．根据勾股定理的逆定理验证为直角三角形，进而得到，再根据点到直线的距离垂线段最短即可解答； 【详解】解：是，理由如下： 在中，∵， 即， ∴为直角三角形，且， ∴， 由点到直线的距离垂线段最短可知，是从村庄到河边的最近路； 巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 【答案】11400元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键．连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，最后利用即可解答． 【详解】解：解：如图，连接， 在中，， 在中，，， 而， 即， 为直角三角形， ， ， 所以需费用 (元)． 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理的应用，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据勾股定理的逆定理，由得到是直角三角形，进而得解； （2）利用的面积公式可得，，从而求出的长． 【详解】（1）解：证明：∵，，，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴． 答：修建的公路的长是． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 【答案】(1) (2)是直角三角形 (3)这块空地的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积计算，掌握勾股定理和三角形面积公式是解题关键． （1）利用勾股定理以及线段中点的性质即可． （2）通过计算三条边的长度，根据勾股定理的逆定理来判断三角形的形状． （3）把四边形的面积分割成两个三角形的面积来计算． 【详解】（1）解：， ． 在中， ，， ． 是的中点， ． （2）解：，是的中点， ． ，， ， ， 是直角三角形． （3）解：由（2）可知，是直角三角形，， ， 由（1）可知，， 这块空地得面积为：． 题型九　应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题 例题：（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 【答案】，超速了 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先根据勾股定理求出，再根据速度公式求出速度，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∴该汽车的速度为， ∵， ∴可疑汽车超速了． 巩固训练 1.（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)这辆小汽车不超速，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长是解题的关键．（1）由勾股定理求出的长即可；（2）求出这辆小汽车的速度，即可解决问题． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， ， 答：的长为； （2）解：这辆小汽车不超速，理由如下： 该小汽车的速度为， 这辆小汽车不超速． 2.（2024·湖南永州·模拟预测）如图某货船以海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心海里以内的圆形区域会受到影响．（）问： (1)处是否会受到台风的影响？请说明理由． (2)如果处受到台风影响，那么求出影响的时间． 【答案】(1)会受台风影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质及勾股定理解三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用相关知识． （1）处是否会受到台风影响，其实就是到的垂直距离是否超过海里，如果超过则不会影响，反之受影响，过点作交于点，求出即可求解； （2））结合题意可得在点右侧相同的距离内点也受影响，即可求出时间；将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， 在中，， ， 海里， 海里， ， 会受台风影响； （2）如图2， 如图，海里， 在中，海里， 同时在点右侧相同的距离内点也受影响， 小时， 影响的时间为小时． 3.（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 【答案】(1)会受到影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）海港受台风影响，理由： ，，， ， 是直角三角形，； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图， 当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为20千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为10小时． 题型十　应用勾股定理解决选扯距离相离问题 例题：（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 【答案】的长为 【分析】本题考查的是勾股定理，比较简单，需要熟练掌握勾股定理的基础知识． 先设，则，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得： 在中，， 在中，， 由题意可知：， 所以， 解得： 即的长为． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 【答案】E到C的距离为千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设千米，则千米，由根据勾股定理可得关于的方程，解方程即得结果． 【详解】如图，设千米，则千米， 在中，根据勾股定理，， 在中，根据勾股定理，， ∵， ∴，即， 解得：， 即E到C的距离为千米． 2.（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 3.（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 勾股定理 01 思维导图 02 知识速记 知识点01 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . 运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中，所以. （2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 图（2）中，所以.　 （3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以. 知识点03 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形. （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1）首先确定最大边（如）. （2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，此三角形为钝角三角形；当时，此三角形为锐角三角形，其中为三角形的最大边. 知识点04 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点05 勾股定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 03 题型归纳 题型一　已知直角三角形的两边，求第三边长 例题：（23-24八年级上·福建泉州·期末）一直角三角形的两直角边长分别为5和12，则斜边的长是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，原来从A村到B村，需要沿路（）绕过两地间的一片湖，在A、B间建好桥后，就可直接从A村到B村．若，那么建好桥后从A村到B村比原来减少的路程为 ． 2.（23-24八年级下·河南新乡·期中）在直角中，，，则的长为 3.（23-24七年级下·安徽马鞍山·期中）若一个直角三角形的两边长为9和12，则这个三角形的斜边长为 ． 题型二　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，如果正方形A的面积为625，正方形B的面积为400，则正方形C的边长为 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 2.（23-24八年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在中，，分别以、、为直径作半圆，图中阴影部分图形称为“希波克拉底月牙”．当，时，则阴影部分的面积为 ． 3.（2024·四川成都·二模）如图，所有阴影部分的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形的面积依次为5、13、30，则正方形的面积为 ． 题型三　利用等面积法求直接斜边上的高问题 例题：（23-24八年级下·湖北武汉·期中）在如图的网格中，小正方形的边长均为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则点A到直线BC的距离是 ． 巩固训练 1.（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，的顶点在边长为的正方形网格的格点上，于点．则的长为 ． 2.（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求边上的高长＝ ． 3.（23-24七年级上·山东泰安·期末）如图所示，的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，于点D，则BD的长为 ．    题型四　勾股数的判断 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．5，12，13 B．4，5，6 C．2，5，6 D．1，2，3 巩固训练 1.（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．7，8，9 B．5，12，13 C．4，5，6 D．2，3，4 2.（23-24八年级下·广西来宾·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 3.（23-24八年级下·江西新余·期中）下列各组数中，为勾股数的是（    ） A．9，40，41 B．5，6，7 C．，， D．，， 题型五　判断能否构成直角三角形 例题：（23-24八年级下·安徽淮北·期中）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 巩固训练 1.（23-24八年级上·四川成都·期中）满足下列条件的，其中是直角三角形的为（　　） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·云南昭通·期中）下列条件中，不能判断为直角三角形的是（　　） A．，， B． C． D． 3.（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 题型六　在网格中判断直角三角形 例题：（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在每个小正方形边长都为1的网格图中，顶点都在格点上，下列结论不正确的是（    ） A． B．的面积为5 C． D．点到的距离为 巩固训练 1.（2024八年级下·全国·专题练习）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 2.（23-24八年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1．    (1)求的周长； (2)若点为直线上任意一点，则线段的最小值为________． 3.（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．    (1)求四边形的面积； (2)判断线段和的位置关系，并说明理由． 题型七　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级下·江西吉安·阶段练习）在四边形中，已知，，，． (1)连接，试判断的形状，并说明理由； (2)求的度数． 巩固训练 1.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，在中，，垂足为．    (1)求的长； (2)判断的形状，并说明理由． 2.（23-24八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，已知，，，，． (1)求线段的长； (2)求证：是直角三角形． 3.（23-24八年级下·湖北黄石·期中）如图，四边形中，，为对角线，于E，． (1)确定的度数； (2)求线段的长． 题型八　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，）在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．问是否为从村庄到河边最近的路？请说明理由．    巩固训练 1.（23-24八年级下·陕西西安·期中）如图，阳光中学有一块四边形的空地，为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮．经测量，若每平方米草皮需要100元，种植这块草皮需要投入多少资金?（其他费用不计） 2.（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在笔直的公路旁有一座山，从山另一边的C处到公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A，B之间的距离为，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，且． (1)求证：； (2)求修建的公路的长． 3.（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点A修了一条垂直的小路（垂足为E），E恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状； (3)求这块空地的面积． 题型九　应用勾股定理解决汽车是否超速与受影响问题 例题：（23-24八年级下·广东广州·期中）某段公路限速是．“流动测速小组”的小王在距离此公路的A处观察，发现有一辆可疑汽车在公路上疾驶，他赶紧拿出红外测距仪，可疑汽车从处行驶后到达处，测得，若．求出速度并判断可疑汽车是否超速？ 巩固训练 1.（23-24八年级下·广西玉林·期中）某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过，如图，一辆小汽车在该笔直路段上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪的正前方的点处，后小汽车行驶到点处，测得此时小汽车与车速检测仪间的距离为，． (1)求的长． (2)这辆小汽车超速了吗？并说明理由． 2.（2024·湖南永州·模拟预测）如图某货船以海里的速度将一批重要的物资由处运往正西方向的处，经的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以海里的速度由处向北偏西方向移动，距台风中心海里以内的圆形区域会受到影响．（）问： (1)处是否会受到台风的影响？请说明理由． (2)如果处受到台风影响，那么求出影响的时间． 3.（23-24八年级下·云南昭通·期中）6号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C受台风影响吗?为什么? (2)若台风中心的移动速度为20千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长? 题型十　应用勾股定理解决选扯距离相离问题 例题：（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图，在笔直的铁路上A、B两点相距，C，D为两村庄，于A，于B．现要在上建一个中转站E，使得C，D两村到E站的距离相等，求的长． 巩固训练 1.（23-24八年级下·湖北荆州·阶段练习）如图，直线l为一条公路，A，D两处各有一个村庄，于点B，于点C，千米，千米，千米．现需要在上建立一个物资调运站E，使得E到A，D两个村庄距离相等，请求出E到C的距离． 2.（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上两点相距为两商场，于于．已知．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 3.（23-24七年级上·山东淄博·期中）为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$