第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第二册）

第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程标准 学习目标 ①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。 ②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 知识点01：平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 【即学即练1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求实数k的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由向量共线的坐标条件求，再由模的坐标公式可得； （2）由向量的线性运算可得的坐标，再由向量垂直的坐标运算可得. 【详解】（1）因为，所以，解得， 所以， 所以； （2），， 因为，所以， 解得. 知识点03：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． 【即学即练2】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知向量，，则= 【答案】5 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【即学即练3】（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量线性运算结果求参数、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据题意，先求参数，再利用夹角公式即可求解. 【详解】因为四边形 是平行四边形,所以, 即 所以. 设 与 的夹角为 因为, 所以, 又 所以, 即 与 的夹角为 . 故选：B. 题型01 平面向量数量积的坐标表示 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基底的概念及辨析、由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】由条件，结合基底的定义列方程可求，再由数量积的坐标表示求. 【详解】因为与不能作为平面向量的一组基底， 所以，又，， 所以，故， 所以， 所以. 故选：B. 【典例2】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，则 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由向量运算的坐标表示及数量积的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，所以 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】由垂直可知，进而可求，再根据数量积的运算求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为，所以，即，解得， 所以，所以， 故选：A. 【变式2】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示 【分析】根据条件，利用向量共线的坐标运算，得到，再利用向量数量积的坐标运算，即可求出结果. 【详解】因为，，又，所以， 故. 故选：B. 题型02 向量垂直的坐标表示 【典例1】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【答案】B 【知识点】向量垂直的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】由已知条件结合向量垂直的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题， 因为，所以. 故选：B. 【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知向量，，且，则与垂直时， . 【答案】4 【知识点】向量垂直的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】由列方程求得的值，然后根据与垂直列出关于的方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 则，解得，所以， 所以， 因为与垂直， 所以 ，解得. 故答案为：4. 【典例3】（23-24高二上·黑龙江大兴安岭地·开学考试）已知． (1)若， 求与的夹角的余弦值； (2)若， 求实数的值． 【答案】(1) (2)1 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）直接得到，根据向量夹角的余弦的坐标公式计算即可； （2）通过转换得，解方程即可得解. 【详解】（1）若，则， 所以； （2）因为，， 所以， 解得. 【变式1】（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知向量，，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】利用列出方程求解即可. 【详解】由， 又，则，解得． 故选：B． 【变式2】（2024·四川南充·一模）已知向量，，且，则 . 【答案】/ 【知识点】利用向量垂直求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】先求出的坐标，再根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，， 所以， 又， 所以，即. 故答案为：. 【变式3】（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)若，求. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由向量共线（平行）求参数、利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示，列式计算即得. （2）由（1）中信息，利用垂直关系的坐标表示，列式计算即得. 【详解】（1）由，得， ，而， 则，所以. （2）由（1）知，，， 由，得， 所以. 题型03 利用向量的数量积求参数 【典例1】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】利用数量积求参数、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】利用向量数量积的坐标表示以及模长公式列方程即可求得. 【详解】依题意可得， 所以，整理可得， 即可得，解得. 故选：C 【典例2】（23-24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，设，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图建立平面直角坐标系，，设， 则， 所以，得， 所以， 所以. 故选：C. 【典例3】（23-24高一下·北京丰台·期末）设平面向量，，且. (1)求的值； (2)判断与是否平行，并说明理由； (3)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)平行，理由见解析 (3)2 【知识点】平面向量的混合运算、向量夹角的计算、已知模求数量积、利用数量积求参数 【分析】（1）由已知，得，即，代入，，即可得到的值； （2）法1，设与的夹角为，由，可得，则与平行；法2，由，当且仅当与共线时等号成立，又，，所以与平行； （3）法1，由（2）及已知条件得：，由，可得，即可求得的值；法2，由，得，则，即可求得的值. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，所以， 所以，所以， 所以，所以. （2）平行，理由如下： 解法1：设与的夹角为，， 因为，所以，则与平行. 解法2：因为，当且仅当与共线时等号成立， 又因为，，所以与共线，即与平行. （3）解法1：由（2）及已知条件得：， 因为，， 所以， 所以. 解法2：因为， 所以， 因为，，， 所以，所以. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】利用数量积求参数 【分析】利用向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，， 所以，解得. 故选：B. 【变式2】（2024·四川绵阳·一模）已知向量，，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】利用向量数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，则，解得， 所以实数m等于. 故选：D 【变式3】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）已知向量，且，那么实数等于 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、利用数量积求参数 【分析】根据向量数量积的坐标运算即可求出. 【详解】，解得， 故答案为：. 题型04 向量的投影 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】代入投影向量公式，即可求解. 【详解】因为，则，所以在上的投影向量为． 故选：B． 【典例2】（23-24高一下·北京东城·阶段练习）已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】求出向量在方向上的投影数量以及与方向相同的单位向量，即可求出向量在方向上的投影向量. 【详解】向量在方向上的投影数量为， 与方向相同的单位向量为， 所以向量在方向上的投影向量为． 故选：D． 【典例3】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）已知，，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【知识点】求投影向量 【分析】由投影向量的计算求解即可； 【详解】, , 所以在上的投影向量的坐标为， 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量 【分析】首先计算数量积，再代入投影向量公式，即可求解. 【详解】，， 则，， 故在方向上的投影向量为：. 故选：B 【变式2】（2024·山东青岛·二模）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求投影向量 【分析】根据投影向量的公式求解. 【详解】根据题意，在上的投影向量为： . 故选：A 【变式3】（23-24高一下·四川绵阳·期末）若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】利用投影向量的定义直接求解即可 【详解】因为， 所以在上的投影向量为 ， 故选：D 题型05 向量的模 【典例1】（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，且，则 . 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量垂直的坐标表示求得，再由模长公式即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以 故答案为： 【典例2】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知向量满足，，且，则 ． 【答案】. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量满足， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】坐标计算向量的模 【分析】根据向量模长坐标运算直接求解即可. 【详解】，. 故选：A. 【变式2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量垂直，得到数量积为0，进而求出，可求. 【详解】因为，所以. 所以. 故答案为：. 题型06 向量的夹角 【典例1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】由向量夹角的余弦的坐标公式直接计算即可得解. 【详解】根据题意知O为坐标原点，，， 所以，， 则. 故选：C 【典例2】（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【知识点】坐标计算向量的模、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系并标点，利用向量数量积的坐标运算求夹角余弦值. 【详解】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，    过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 【典例3】（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)，； (2) 【知识点】坐标计算向量的模、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算求出，向量坐标的加法运算求出再求模长即可； （2）求出、的坐标，再由向量夹角的坐标运算可得答案. 【详解】（1）， ， ； 因为， 所以； （2）由（1），， 因为， 所以， 所以 所以与的夹角的余弦值为. 【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知，，若向量，的夹角为，则 ． 【答案】 【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算结合向量夹角公式运算求解即可. 【详解】因为，，则，， 由题意可得，解得， 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，. (1)求的坐标及的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】向量夹角的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】（1）结合向量的线性运算，以及向量模公式，即可求解； （2）结合平面向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）因为，. 则， （2）因为，， 所以 【变式3】（23-24高一下·四川内江·期中）（1）已知，，，求； （2）已知向量，，，求与的夹角的余弦值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的坐标表示、已知数量积求模 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的运算律求出，进而求出即可. （2）由垂直关系的坐标表示求出，再利用夹角公式计算即得. 【详解】（1）由，，， 得，即有，解得， 所以. （2）由向量，，，得，解得， 因此，， 所以与的夹角的余弦值为. 题型07 向量的夹角为锐角（钝角） 【典例1】（23-24高一下·河北·期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】根据向量夹角为锐角，得到不等式，求出答案. 【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线， 所以，解得. 故答案为： 【典例2】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、向量夹角的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据和不共线可构造不等式组求得结果. 【详解】夹角为钝角，且不共线， 即且，解得：且， 的取值范围为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知向量，． (1)当时，求的值； (2)若向量，的夹角为锐角，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且. 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可得到方程，解出即可； （2）分析得，且，不同向共线，解出不等式并结合（1）的答案即可. 【详解】（1）根据题意得，解得. （2）若向量，的夹角为锐角， 则，且，不共线， 即，解得， 由（1）当时，，且此时两向量同向， 则且. 【变式2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 【答案】(1) (2)且. 【知识点】数量积的运算律、数量积的坐标表示、向量垂直的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】（1）对两边平方化简可得，然后将坐标代入可求出实数的值； （2）由题意可得且不共线，从而可求出实数的范围. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以， 因为， 所以，解得； （2）根据题意，向量与的夹角为钝角，则有. 解得：且， 即的取值范围为且. 题型08 向量数量积的最值（范围）问题 【典例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示、辅助角公式 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【典例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 【变式1】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据题意，建立坐标系，设，根据条件，求得、的关系，代入数量积公式，即可求得答案. 【详解】如图，建立平面直角坐标系， 所以，设，，其中，， 因为，所以，即， 又，， 所以， 即的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正方形ABCD中，边长为1，E为线段CD的三等分点，，，则 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用基底表示向量、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，写出相应的点的坐标及向量，然后进行向量的坐标运算即可求解. 【详解】以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,建立平面直角坐标系,如图所示, 则,, 可得, 因为, 所以解得， 所以， 因为点F在线段上， 所以设,又为的中点,所以, 可得,, 则. 因为,所以当时,取得最小值. 故答案为： 题型09 向量模的最值（范围）问题 【典例1】（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 【答案】C 【知识点】向量模的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】设，，根据求出，再根据得到，最后根据向量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得. 【详解】依题意设，， 由，所以，则， 又，且， 所以，即， 所以，当且仅当时取等号， 即的最大值为. 故选：C. 【典例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【答案】（1）或；（2） 【知识点】向量模的坐标表示、坐标计算向量的模、数量积的运算律 【分析】（1）首先设点的坐标，再根据条件，建立关于的方程组，即可求解； （2）根据共线条件，用向量表示，再利用数量积运算公式表示，即可求最小值. 【详解】（1）设D点坐标为，则，， 所以，解得或， 即点D的坐标为或. （2）由向量与共线， 令，，则， 而向量，为单位向量，且， 于是得 ，（当且仅当时取“=”）， 所以的最小值为. 【变式1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（    ） A．7 B．12 C．14 D．11 【答案】D 【知识点】向量模的坐标表示 【分析】由，得到AC为圆的直径，设，得到求解. 【详解】解：如图所示：    因为，所以AC为圆的直径， 又，则， 设，则， 所以， 所以， 当时，等号成立， 故选：D 【变式2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)求的最小值. 【答案】(1)2 (2) (3)3 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、向量模的坐标表示 【分析】（1）建立平面直角坐标系，当时，利用向量数量积的坐标运算，求得. （2）设得出点坐标，利用向量数量积的坐标运算，结合，求得，也即求得的值. （3）设、，而，根据向量坐标的线性运算以及模的坐标运算，求得的表达式，由此求得的最小值. 【详解】（1）以A为原点,AB所在直线为x轴,建立平面直角坐标系. 当时，,，， 因此， （2）设，即点P坐标为， 则，， ， 当时，，即， （3）设、，又， 则， ，当时取到等号， 因此的最小值为3. 题型10 向量夹角最值（范围问题） 【典例1】（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的坐标表示 【分析】先求得的表达式，再利用换元法并结合二次函数的性质即可求得其最小值. 【详解】，令，则， 所以， 当，即时，取得最小值，且最小值为． 故答案为： 【典例2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、基本不等式求和的最小值、求投影向量 【分析】由投影向量定义得，即，得出向量夹角表达式，再由基本不等式得出最小值. 【详解】由已知可得，所以. 而， 易知 令，则 当且仅当， 即时，等号成立，即最小值为， 故答案为： 【变式1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】向量夹角的计算、已知模求数量积 【分析】令，利用向量的模，可得向量的数量积，利用向量的夹角公式可得，从而求得.利用向量夹角公式求得，令，求得的最值，从而求得的最小值. 【详解】设，由可得，化简可得， 根据向量夹角公式，可得， 由，可得，解得. 由，的夹角为可得， ， 分子分母同除以，可得， 令，则，所以， 当，时取得最大值；当或时，取得最小值， 所以的最小值为，的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，为单位向量，设向量，. (1)若，求与的夹角； (2)若，设向量，的夹角为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律 【分析】（1）由数量积的运算律结合数量积的夹角公式即可求解； （2）由向量模长和数量积的运算律得，然后换元法利用函数性质求解最值即可； 【详解】（1）因为，为单位向量，所以， 因为，所以， 又，所以， ，所以， 设与的夹角为，则， 因为，所以. （2）因为，所以，即， 又，所以，所以，令，则，，因为，所以，所以， 即的最小值为. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的计算 【分析】求出的坐标，由夹角公式可求得结果. 【详解】依题意得， 则. 故选：C. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、向量模的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】先根据平面向量垂直的坐标公式求出，再根据平面向量线性运算的坐标表示及模的坐标公式即可得解. 【详解】因为，所以， 即，所以， 则， 所以. 故选：C. 3．（2024高二下·河北）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】根据平面向量数量积的坐标表示计算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：A. 4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】利用求投影向量的公式进行求解即可. 【详解】在方向上的投影向量为 . 故选：C. 5．（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标计算向量的模、求投影向量 【分析】按照投影向量的计算公式求解即可. 【详解】解：因为向量， 则向量在向量上的投影向量为:. 故选：B 6．（23-24高三下·全国·开学考试）向量，则（  ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】D 【知识点】充分条件的判定及性质、必要条件的判定及性质、由坐标判断向量是否共线、向量垂直的坐标表示 【分析】对A，根据向量平行得到的关系式，再根据必要条件的定义即可判断；对B，根据向量平行得到的关系式，再根据充分条件的定义即可判断；对C，根据向量垂直得到的关系式，再根据必要条件的定义即可判断；对D，根据向量垂直得到的关系式，再根据充分条件的定义即可判断； 【详解】对A，若， 则， 即，无法推出， 即必要性不成立，故A错； 对B，由A知：，不满足， 即与不平行，故充分性不成立，故B错； 对C，若， 则，无法推出， 即必要性不成立，故C错； 对D，由C知：，可以推出， 故“”是“”的充分条件，故D对. 故选：D. 7．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若，则（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的运算律 【分析】根据向量的坐标运算，先求和，再根据得，可求的值. 【详解】因为，， 所以，. 因为， 所以 所以. 故选：C. 8．（24-25高二上·山西·开学考试）已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、坐标计算向量的模 【分析】根据题意可得，，结合模长关系运算求解即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 所以，即. 故选：C. 二、多选题 9．（2024·江西·一模）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 【答案】AD 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、利用向量垂直求参数 【分析】根据给定条件，利用垂直关系、向量共线的坐标表示计算判断AB；利用单位向量的意义判断C，利用向量线性运算的坐标表示及利用坐标求模判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A正确； 对于B，由，共线，得，解得，B错误； 对于C，当时，是单位向量，C错误； 对于D，当时，，则，D正确． 故选：AD 10．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】由向量共线（平行）求参数、坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】根据向量平行，垂直及模长的坐标表示可得解. 【详解】A，B选项：，则，即，A选项正确，B选项错误； C选项：由已知，又，即，即，C选项正确； D选项：，解得，D选项错误； 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量数量积的坐标表示及平行坐标公式判断钝角即可求出参数范围. 【详解】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 12．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知向量，，，若，则与的夹角的正切值为 . 【答案】 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】根据平面向量的坐标表示可得，由向量数量积的运算律可得，利用数量积的定义可得，结合同角的三角函数关系计算即可求解. 【详解】由题意得， 由，得， 所以，则， 得，由得， 所以， 即与的夹角的正切值为. 故答案为： 四、解答题 13．（24-25高三上·湖北·阶段练习）对于任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量，求； (2)若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、数量积的坐标表示、向量新定义 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可. （2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解. 【详解】（1）， . （2）由， ， . ， 故与夹角的余弦值为. 14．（24-25高二上·四川内江·开学考试）已知向量，，且． (1)求向量与的夹角． (2)若向量与互相垂直，求k的值． (3)若向量与互相平行，求k的值 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的运算律、向量夹角的计算、利用向量垂直求参数 【分析】（1）由向量模的坐标运算得出，再根据向量数量积的定义及运算律求解即可； （2）由已知得，根据向量数量积的运算律及已知条件代入求解即可． （3）由向量平行的判定定理即可求解. 【详解】（1）由，得，设向量与的夹角为， 由，，又，所以， 所以，解得， 所以向量与的夹角为． （2）由向量向量与互相垂直，得， 所以，即， 解得或． （3）因为向量与互相平行， 所以存在，使得= 所以解得： B能力提升 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）设出点的坐标，借助平行四边形性质列式计算即得. （2）求出直线方程后可设出的坐标，再利用数量积的坐标表示和二次函数的性质求解即得. 【详解】（1）设，由，，， 则，， 由四边形是平行四边形，则， 即，解得， 即点的坐标是； （2）由，故直线的方程为，设， 则，， 故 ， 故. 16．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. 【答案】(1)-7 (2)3 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、数量积的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】（1）先写出的坐标，再由，求解即可； （2）根据，展开运算，利用配方法，求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以， 因为， 所以，解得. （2）当时，，， 所以＝＝ ＝， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为3. C综合素养 17．（23-24高一下·江苏盐城·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、求含sinx(型)函数的值域和最值、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据“伴随函数”定义可得，可得值域； （2）利用向量的坐标运算即可求得； （3）由余弦定理并利用二次函数性质即可得的取值范围. 【详解】（1）函数的“源向量”为， 所以， 所以函数的值域为 （2）因为，则，则， 又，所以）， 且，从而， ， 则 ； 因此可得为定值． （3）如下图所示： 函数的“源向量”为， 则，则 则 则又， 即， 所以， 因为，即，当且仅当时取等号， 又因为当顶点无限接近顶点，边无限接近0，即无限接近0， 综上所述， 令，则 从而，其中， 所以， 即的取值范围． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“源向量”和“伴随函数”的定义，并能写出“源向量”的伴随函数以及某函数的“源向量”，再根据三角函数性质、平面向量运算法则求得结果. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 6.3.5平面向量数量积的坐标表示 课程标准 学习目标 ①掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。 ②能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题。 1通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算； 2.截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题； 知识点01：平面向量数量积的坐标表示 在平面直角坐标系中，设，分别是轴，轴上的单位向量．向量分别等价于，，根据向量数量积的运算，有：由于，为正交单位向量，故，，，，从而．即，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和． 知识点02：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 【即学即练1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知向量，. (1)若，求的值； (2)若，求实数k的值； 知识点03：向量模的坐标表示 （1）向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． 【即学即练2】（24-25高三上·北京朝阳·阶段练习）已知向量，，则= （2）两点间的距离公式 已知原点，点，则，于是． 其含义是：向量的模等于A，B两点之间的距离． （3）向量的单位向量的坐标表示 设，表示方向上的单位向量 知识点04：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 【即学即练3】（24-25高一下·全国·课后作业）设点，，，为坐标原点，若四边形是平行四边形，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 题型01 平面向量数量积的坐标表示 【典例1】（2024·广东广州·模拟预测）设平面向量，，若与不能作为平面向量的一组基底，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高三下·河南·阶段练习）已知向量，则 . 【变式1】（24-25高三上·广东惠州·阶段练习）已知向量，，若，则（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【变式2】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）已知向量，，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型02 向量垂直的坐标表示 【典例1】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知向量，，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．4 【典例2】（2024·海南·模拟预测）已知向量，，且，则与垂直时， . 【典例3】（23-24高二上·黑龙江大兴安岭地·开学考试）已知． (1)若， 求与的夹角的余弦值； (2)若， 求实数的值． 【变式1】（24-25高二上·辽宁·开学考试）已知向量，，，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式2】（2024·四川南充·一模）已知向量，，且，则 . 【变式3】（24-25高三上·天津武清·阶段练习）已知. (1)若，求； (2)若，求. 题型03 利用向量的数量积求参数 【典例1】（23-24高一下·重庆九龙坡·期中）已知向量，，满足，则实数（    ） A．2 B． C． D．0 【典例2】（23-24高一下·江苏南通·期中）在矩形ABCD中，已知，，点P在CD边上，满足，则（    ） A． B．0 C． D． 【典例3】（23-24高一下·北京丰台·期末）设平面向量，，且. (1)求的值； (2)判断与是否平行，并说明理由； (3)若，求实数的值. 【变式1】（2024·全国·模拟预测）已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（2024·四川绵阳·一模）已知向量，，若，则实数m等于（    ） A． B．0 C．1 D． 【变式3】（23-24高二上·北京海淀·阶段练习）已知向量，且，那么实数等于 题型04 向量的投影 【典例1】（24-25高三上·广东·阶段练习）向量在向量上的投影向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·北京东城·阶段练习）已知向量，，向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二上·山西晋中·阶段练习）已知，，则在上的投影向量的坐标为 . 【变式1】（23-24高一下·江苏南京·期末）已知平面向量，，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山东青岛·二模）已知向量，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高一下·四川绵阳·期末）若，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 题型05 向量的模 【典例1】（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知向量，，且，则 . 【典例2】（24-25高二上·安徽·开学考试）已知向量满足，，且，则 ． 【变式1】（23-24高二上·河南漯河·阶段练习）已知向量满足，，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知向量，，若，则 ． 题型06 向量的夹角 【典例1】（23-24高一下·北京大兴·期中）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一下·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【典例3】（24-25高二上·贵州遵义·开学考试）已知向量，，其中，. (1)求，； (2)求与的夹角的余弦值. 【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知，，若向量，的夹角为，则 ． 【变式2】（23-24高一下·四川绵阳·期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，. (1)求的坐标及的值； (2)求与的夹角的余弦值. 【变式3】（23-24高一下·四川内江·期中）（1）已知，，，求； （2）已知向量，，，求与的夹角的余弦值. 题型07 向量的夹角为锐角（钝角） 【典例1】（23-24高一下·河北·期末）已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是 （用区间表示）. 【典例2】（23-24高一下·四川德阳·阶段练习）已知，，若的夹角为钝角，则的取值范围为 . 【变式1】（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知向量，． (1)当时，求的值； (2)若向量，的夹角为锐角，求的取值范围． 【变式2】（23-24高一下·江西上饶·期末）已知 (1)若，求实数的值. (2)已知向量的夹角为钝角，求实数的范围. 题型08 向量数量积的最值（范围）问题 【典例1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【典例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 【变式1】（24-25高三上·上海嘉定·阶段练习）在矩形中，边，的长分别为，，若，分别是边，上的点（不包括端点），且满，则的取值范围是 . 【变式2】（24-25高三上·天津·阶段练习）在正方形ABCD中，边长为1，E为线段CD的三等分点，，，则 ；若F为线段BE上的动点，G为AF中点，则的最小值为 ． 题型09 向量模的最值（范围）问题 【典例1】（23-24高二下·湖南常德·期中）已知为单位向量，向量满足，则的最大值为（    ） A．9 B．2 C． D．8 【典例2】（23-24高一下·河南南阳·期中）（1）已知，，求满足，的点D的坐标； （2）设，为单位向量，且，向量与共线，求的最小值. 【变式1】（2024·陕西宝鸡·模拟预测）已知点A，B，C在圆上运动，且，若点P的坐标为，则的最大值为（    ） A．7 B．12 C．14 D．11 【变式2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图，在直角梯形ABCD中，，P是线段AD（包括端点）上的一个动点． (1)当时，求的值； (2)在（1）的条件下，若，求； (3)求的最小值. 题型10 向量夹角最值（范围问题） 【典例1】（2024·广东江门·二模）设向量，则的最小值为 . 【典例2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知为非零向量，若向量在上的投影向量为，则的最小值是 . 【变式1】（23-24高一下·甘肃白银·期末）已知，，设，的夹角为，则的最小值为 . 【变式2】（23-24高一下·江苏南京·期中）已知，为单位向量，设向量，. (1)若，求与的夹角； (2)若，设向量，的夹角为，求的最小值. A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知△ABC的顶点，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）设，向量，，且，则（    ） A． B． C． D．10 3．（2024高二下·河北）已知向量，则（    ） A．2 B． C．10 D． 4．（23-24高二下·河北石家庄·期末）设向量，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高三下·全国·开学考试）向量，则（  ） A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 7．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量，另一名选手余浩楠射击的方向向量，若，则（    ） A． B． C． D．16 8．（24-25高二上·山西·开学考试）已知向量，则（    ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 9．（2024·江西·一模）已知向量，，则（    ） A．若，则 B．若，共线，则 C．不可能是单位向量 D．若，则 10．（23-24高二上·贵州黔西·阶段练习）已知向量，，则下列说法正确的是（      ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 11．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 12．（23-24高一下·山东·阶段练习）已知向量，，，若，则与的夹角的正切值为 . 四、解答题 13．（24-25高三上·湖北·阶段练习）对于任意两个非零向量，定义新运算：. (1)若向量，求； (2)若两个单位向量满足，求与夹角的余弦值. 14．（24-25高二上·四川内江·开学考试）已知向量，，且． (1)求向量与的夹角． (2)若向量与互相垂直，求k的值． (3)若向量与互相平行，求k的值 B能力提升 15．（23-24高一下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，为直线上的动点． (1)若四边形是平行四边形，求点的坐标； (2)求的取值范围． 16．（23-24高一下·吉林·期中）已知向量，. (1)若，求m的值； (2)当时，若，求的最小值. C综合素养 17．（23-24高一下·江苏盐城·期中）定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． (1)若向量的“伴随函数”为，求在的值域； (2)若函数的“源向量”为，且以为圆心，为半径的圆内切于正（顶点恰好在轴的正半轴上），求证：为定值； (3)在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $$