7.2.3 平行线的性质 （第2课时 平行线的性质与判定的综合应用）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合应用 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 掌握平行线的判定和性质的综合运用. 2. 让学生进一步学会识图，能将复杂图形分解为基本图形，会对已知条件和结论进行转化，能建立已知和未知间的联系，理解数学与实际生活的联系. 通过体会平行线的判定和性质的联系与区别，让学生懂得事物是普遍联系又相互区别的. 情景导入 1. 平行线的判定 同位角相等，两直线平行 内错角相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行 3. 平行线的性质 两直线平行，同位角相等 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 2.平行线的其他判定方法 平行于同一条直线的两条直线平行 垂直于同一条直线的两条直线平行 新知探究 解：∵DF //AC (已知)， ∴∠A =∠BFD ( )①. ∵∠A =∠FDE(已知)， ∴∠FDE = ∠BFD ( ). ∴DE // AB( )②. 等式的基本事实 两直线平行，内错角相等 内错角相等，两直线平行 ①用的是平行线的性质，②用的是平行线的判定. 如图，点 D，F 分别是 BC，AB上的点，DF//AC，∠FDE =∠A. 对 DE // AB 说明理由，将下列解题过程补充完整. 新知探究 如图，C，D 是直线 AB 上两点，∠1＋∠2＝180°，DE 平分∠CDF，EF∥AB. (1) CE 与 DF 平行吗？为什么？ (2) 若∠DCE＝130°，求∠DEF 的度数． 解：(1) CE∥ DF. 理由如下：∵ ∠1＋∠2＝180°，∠1 + ∠DCE = 180°， ∴∠2 = ∠DCE. ∴CE∥ DF. 变式练习 (2)∵CE∥ DF，∠DCE = 130°， ∴∠CDF = 180°－∠DCE = 180°－130° = 50°. ∵ DE 平分∠CDF，∴∠CDE = ∠CDF = 25°. ∵ EF∥ AB，∴∠DEF =∠CDE = 25°. 例题讲解 例3 如图，已知直线a∥ b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？ a b c d 1 3 2 解： 直线c与d平行，理由如下： ∵a∥ b， ∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）. 又∠1=∠3， ∴∠2=∠3. ∴c∥ d（同位角相等，两直线平行）. 分析：由于∠2和∠3是直线c与d被直线b所截形成的同位角，所以如果能推出∠2＝∠3，就可以判断直线c和d是平行的．而已知∠1＝∠3，所以只需由直线a∥ b，推出∠1＝∠2. 你能用其他方法判定直线c与d平行吗？ 课本例题 例题讲解 例3 如图，已知直线a∥ b，∠1=∠3，那么直线c与d平行吗？为什么？ a b c d 1 3 4 解： 直线c与d平行，理由如下： 如图∵a∥ b， ∴∠1+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）. 又∠1=∠3， ∴∠3+∠4=180°. ∴c∥ d（同旁内角互补，两直线平行）. 方法二 课本例题 例题讲解 例4 如图，∠1=∠2，∠3=50°，∠ABC等于多少度？ a b A 1 3 2 B C 解：∵∠1=∠2， ∴a∥ b（内错角相等，两直线平行）. ∴∠3=∠ABC（两直线平行，同位角相等）. 又∠3=50°， ∴∠ABC=50°. 分析：由于∠3的大小是已知的，所以可以尝试推导 ∠ABC与∠3的大小关系．而由已知条件∠1＝∠2，可以推 出a∥ b，从而可以得到∠ABC＝∠3． 课本例题 例题讲解 补充例题 解：过点 E 作 EK∥ CD. ∵AB∥ CD，∴EK∥ CD∥ AB， ∴∠CDE＋∠DEK＝180°， ∠BAE＋∠AEK＝180°，∠ABC＋∠DCB＝180°. ∵∠BAE＝∠BCD，∴∠AEK＝∠ABC＝35°. ∵AE⊥DE，∴∠DEK＝90°－35°＝55°. ∴∠CDE＝125°． 例 如图，AB∥ CD，∠BAE = ∠BCD，AE⊥DE，∠ABC = 35°，求∠CDE 的度数. K 概念归纳 平行线的判定与性质的区别与联系 平行线的性质是由两条直线的位置关系(平行)得出角的数量关系；平行线的判定是由角的数量关系得出两条直线的位置关系(平行) . 课堂练习 1.如图，如果直线a∥b，∠1+∠2=180°，那么直线b和c平行吗？ 为什么？ a b c 1 2 3 解：∵a∥ b， ∴∠1=∠3. 又∠1+∠2=180°， ∴∠3+∠2=180°， ∴b∥ c. 2. 如图，AB∥ CD，且∠1=∠2，那么直线BE与CF平行吗？为什么？ 解：∵AB∥ CD，∴∠ABC=∠DCB. ∴∠1+∠EBC=∠2+∠FCB， 又∠1=∠2， ∴∠EBC=∠FCB. ∴BE∥ CF. 1 2 A E B C F D 分层练习 1. 如图， ， ，则 ( ) B （第1题） A. B. C. D. 基础题 2.如图，,, ,则 的度数是( ) B （第1题） A.B.C. D. 3. [2024清远期中] 如图，下列判断正确的是( ) C （第2题） A. 因为，所以 B. 因为，所以 C. 因为，所以 D. 因为，所以 （第2题） 4. 如图，直线和 被直线和所截， ， ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 5.一个由4条线段，，， 组成的“鱼”形图案如图所示. 若 ， ， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 6.如图，已知，， ， ，那么是 的___倍. 5 （第4题） 【点拨】， ， . ， ， . 又 ， ， ， ， 是 的5倍. 7.[2024· 青岛市南区期末] 如图，在三角形中，平分交 于点， ，则____ . 72 （第5题） 8. 如图， ， ， ， 则____时， . 9.把下面的说理过程补充完整： 已知：如图， , . 试说明： . 解： （已知）， ____（__________________________）. （________________________）. （已知）， ______（__________）. （________________________）. （________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 （第7题） 10. 如图，一束太阳光线照射在直角三角尺 后投射在地面上得到线段，若 ， ， 则 ( ) A A. B. C. D. 综合应用题 【点拨】 由题意可得 . 如图， ， ， . 易知 ， . . 故选A. 11.[2024· 海南] 如图，直线 ，把一块含 角的直角三角尺 按如图所示的方式放置，点在直线上， ，若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. （第9题） 12.有一道题目：如图，已知 ,不添加辅助线，请再添加一个条件， 使 成立.甲、乙、丙三人分别给出了答案，下列判断正确的是( ) D 甲：; 乙： ; 丙： . A.只有甲对 B.只有甲和乙对 C.只有乙和丙对 D.甲、乙、丙都对 （第8题） 13.如图，已知，直线分别与， 相 交于，两点，把一个含 角的直角三 角尺 按如图所示的位置摆放，若 ， ，则 的度 数为____. 【点拨】 ， . 又 ， , ， 解得 ， . （第10题） 14. 一种路灯的示意图如图所示，其底部 支架与吊线平行，灯杆与底部支架 所成锐角 ，顶部支架与灯杆所成锐角 ，则 与 所成锐角的度数为( ) A A. B. C. D. [解析] 点拨：如图，过点作 ， ， ， ， . ， ， ， 与所成锐角的度数为 . 15.如图，平分，且与线段 相交于 点，是上一点，连接 .若 ， . （1）请说明： ； 【解】平分 ， . 又 ， ， . （2）请判断与 的位置关系，并说明理由. . 理由： ， . 又 , ， . 16. 如图①展示了光线的反射定律，是镜面 的垂线，一束光线 射到平面镜上，被反射后的光线为 ，则反射光线，入射光 线与垂线所夹的锐角 . （1）在图①中，___（填“ ”“ ”或“ ”）； （2）在图②中，，是两面平面镜， 入射光线 经过两次反射后得到 反射光线，已知 ， ，判断入射光线 与反射光 线 的位置关系，并说明理由； 解：.理由：由（1）易得 ， ， ， ， ， . 创新拓展题 16. 如图①展示了光线的反射定律，是镜面 的垂线，一束光线 射到平面镜上，被反射后的光线为 ，则反射光线，入射光 线与垂线所夹的锐角 . （3）如图③是潜望镜工作原理示意图， ， 是两面平面镜.要保证进入潜望 镜的光线和离开潜望镜的光线是平行 的，那么与 应满足怎样的位置关系？ 解：， . ，，， ， ， . 习题 读下列语句，并画出图形： （1）直线AB 垂直于CD，垂足是O，点P是直线AB上一点，直线EF经过点P且与直线CD平行； （2）直线AB，CD相交于点O，点P是直线AB，CD外的一点，直线PE与直线CD平行，且与直线AB相交于点E. （1） A B C D O P E F （2） O A B C D P E 复习巩固 2. 如图，为了加固房屋，要在屋架上加一根横梁 DE，使 DE∥ BC. 如果∠ABC = 31°，∠ADE 应为多少度？ 解：要使 DE∥ BC，需∠ADE = ∠ABC，而∠ABC = 31°，∴∠ADE = 31°. 根据“同位角相等，两直线平行”. 3.如图，一条水渠两次转弯后，和原来的方向相同. 如果第一次的拐角∠A是135°，第二次的拐角∠B是多少度？为什么？ A B 解：第二次的拐角是 135°.因为一条公路两次转弯后和原来的方向相同，说明两次转弯前后的路平行，两次拐的角为内错角，根据两直线平行，内错角相等. 4.如图，在下列条件中，能判断直线a∥ b的是（ ） （A）∠2+∠5=180° （B）∠2=∠4 （C）∠4+∠5=180° （D）∠1=∠3 D 5.如图，a∥ b，直线c，d是截线，∠1=80°，∠5=70°. ∠2，∠3，∠4各是多少度？为什么？ 解：∵a∥ b， ∴∠2=∠1， ∠5+∠3=180°，∠3=∠4. 又∠1=80°，∠5=70°， ∴∠2=80°，∠3=110°， ∴∠4=110°. 6. 如图，有一块长方形玻璃，如何检验它相对的两条边是否平行？ 1 2 3 解：如图，可测∠1 与∠2， 若∠1+∠2 = 180°， 则可判断上下两边平行； 然后再测∠2 与∠3，若∠2+∠3 = 180°， 则可判断左右两边平行. 7. 找出图中互相平行的直线和互相垂直的直线. 解：如图，由∠3 =∠2= 40°，可得 d∥ c . 由 d∥ c ，可得∠5 =∠4 =50°. 从而∠5 +∠3 =90°.可得 e⊥a . ∵∠6=∠1=40°，∠4=50°， ∴∠4+∠6=90°.可得 e⊥b . 由e⊥a、e⊥b，可得 a∥ b . 综上所述，有a∥ b，d∥ c，e⊥a，e⊥b . 1 2 4 3 5 6 综合运用 8. 当光线从水中射向空气时，要发生折射，在水中平行的光线，在空气中也是平行的. 如图，∠1 = 45°，∠2 = 122°，求图中∠3，∠4的度数. 解：由题意得： ∠3 =∠1 = 45°， ∠4=∠2=122°（两直线平行，同位角相等）. 9. 图中是对顶角量角器，你能说出用它测量角的原理吗？ 解：对顶角的性质定理：对顶角相等. 10. 如图，若AB∥ FE，BC∥ DE，则∠E+∠B等于多少度？ 解：∵AB∥ FE， ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵BC∥ DE， ∴∠1+∠E=180° （两直线平行，同旁内角互补）， 即∠E+∠B=180°. 1 11. 如图，许多漂亮的装饰图案是用平行条纹设计的.请你用平行条纹设计一些图案，并与同学交流一下. 拓广探索 12. 如图，当∠1=∠3 时，直线 a，b 平行吗？当∠2 + ∠3 = 180°时，直线 a，b 平行吗？为什么？ 解：如图所示： 当∠1 =∠3 时，a∥ b .理由： ∵∠1 =∠3，又∵∠1 =∠4（对顶角相等）， ∴∠3 =∠4， ∴a∥ b（同位角相等，两直线平行）. 当∠2+∠3 = 180°时，a∥ b .理由： ∵∠2+∠3 = 180°， 又∵∠2+∠4 = 180°（邻补角定义）， ∴∠3 =∠4（同角的补角相等）， ∴a∥ b（同位角相等，两直线平行）. 13. 观察如图所示的长方体，用符号表示下列两条棱的位置关系： A1B1______AB，AA1______AB， A1D1______D1C1，AD______BC. 你能在教室里找到这些位置关系的实例吗？与同学讨论一下. ∥ ⊥ ∥ ⊥ 14. 如图，潜望镜中的两面镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，∠1 =∠2，∠3 =∠4，∠2和∠3有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？（提示：分析这两条光线被哪条直线所截.） 解：如图所示，∠2 =∠3. 因为两面镜子是互相平行放置的，根据“两直线平行，内错角相等”，得到∠2 =∠3. 进入潜望镜的光线 a 和离开潜望镜的光线 c是平行的. ∵∠1 =∠2，∠3 =∠4， 又∠2 =∠3， ∴∠1 =∠2 =∠3 =∠4. 又∵∠5 = 180°-∠1-∠2， ∠6 = 180°-∠3-∠4，∴∠5 =∠6. 直线 a（进入的光线）与直线 c（离开的光线）被直线 b 所截. 由于∠5 =∠6（内错角相等）， ∴a∥ c. 即进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线平行. 课堂小结 线的位置关系 角的数量关系 性质 角的数量关系 线的位置关系 判定 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 $$