（易错讲义）第二单元 比例（9个易错点+4个常考点+12个突破点）-2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本（北师大版）

作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》以常考易错题的讲练测为主，低、中、难、奥数思维题型等，让学生快速把易错点变成掌握点。主要包含资料为： 1、专项易错讲义。易错讲义、计算讲义、解决问题讲义、单元知识点讲义，四大讲义涵盖全面，让学生边学边练。 2、高频易错专练。高频易错题汇编成各种专项题库，让学生吃透考点。 3、单元分层测评。基础+进阶段+拓展，循序渐进，让学生融会贯通。 4、挑战奥数。高难度题型，让学生学会并掌握奥数思维解决问题。 5、月考特训。月度小检测，便于学生查缺不漏，及时复习充电。 6、期中期末。历年常考易错题汇编而成，全面掌控。 宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。希望本套资料能够祝您一臂之力，也非常感谢您在使用中提出宝贵意见和建议！ 中小学数学教研 2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本 第二单元 比例 本专题为单元易错讲义，包含三大内容： 1、易错知识点：梳理易错知识点，让学生明确清晰哪些容易易错。 2、易错点剖析：剖析常考易错点，例证讲解。 3、易错题突破：针对常考点进行易错题汇编突破。 目录 第一部分：九大易错知识点 2 第二部分：四大常考易错点 3 易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。 3 易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 3 易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。 4 易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。 4 第三部分：十二种易错题型突破 5 突破题型一判断是否能组成比例 5 突破题型二比例的意义 6 突破题型三比例的基本性质 8 突破题型四解比例 9 突破题型五求比例尺 12 突破题型六求图上距离 13 突破题型七求实际距离 15 突破题型八图形的放大和缩小 16 突破题型九比例的应用 18 突破题型十比例尺的应用 20 突破题型十一应用比例尺作图 22 突破题型十二作放大或缩小后的图形 25 第一部分 九大易错知识点 1、比例中等号的两侧必须都是一个比。 2、把等式ax=by改写成比例时，相乘的2个字母必须同时作比例的外项或内项。 3、根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。 4、如果(b，d均不为0)，那么ad=bc。 5、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 6、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 7、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 8、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 9、求一个图形放大到原来的n倍或缩小到原来的（m，n均不为0）后的面积，是指把这个图形的各边分别放大到原来的n倍或缩小到原来的后求出的面积。 第二部分 七大常考易错点 易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。 填空:如果4x=5y(x、y均不为0),那么x:y=( )。 【错误答案】4：5 【错解分析】解答此类题要正确掌握比例的基本性质。在改写比例时,如果将x作为外项,4x就表示外项的积,4也应作为比例的外项。 如果ax=by(a、b、x、y均不为0),那么x: y=b: a(原来相乘的两个数同时作为比例的外项或内项)。 【正确答案】5：4 易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 解比例：12:x=2:1.8。 【错误答案】 12:x=2:1.8 解:2×12=x×1.8 x=12×2÷1.8 x= 【错解分析】将比例转化成方程时,容易错将比例的外项与内项相乘。解比例是根据比例的基本性质进行的,也就是两个外项的积等于两个内项的积，应该将12和1.8相乘,x与2相乘。 【正确答案】 12:x=2:1.8 解:2x=12×1.8 x=12×1.8÷2 x=10.8 易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。 在一幅精密零件的设计图上,用15厘米的线段长度表示实际长度2.5厘米,求这幅设计图的比例尺。 【错误答案】2.5:15 =1:16 【错解分析】本题容易混淆比例尺的意义。求比例尺应该用图上距离:实际距离,不要颠倒了 比的前项与后项。 【正确答案】 15:2.5=6:1 答:这幅设计图的比例尺是6: 1。 易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。 判断:把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边扩大到原来的3倍,这个长方形的面积也扩大到原来的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这个长方形的面积是5×3=15(平方厘米),把这个长方形各边扩大到原来的3倍， 长为5×3=15(厘米),宽为3×3=9(厘米),面积就为15×9= 135(平方厘米),135÷15=9,所以这个长方形的面积扩大到原来的9倍。 【正确答案】错误 第三部分 十二种易错题型突破 突破题型一判断是否能组成比例 1．下面每组的4个数中，不能组成比例的是（    ）。 A．2、3、20和30 B．、、和 C．0.3、0.4、5和6 【答案】C 【分析】根据比例的基本性质可知，每组中的四个数，选择最大数与最小数相乘，中间两个数相乘，若乘积相等，则可以组成比例，反之则不能。 【解答】A．2×30＝60，3×20＝60，能组成比例； B．×＝，×＝，能组成比例； C．0.3×6＝1.8，0.4×5＝2，不能组成比例； 故答案为：C 2．下面能组成比例的是（    ）。 A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3 C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18 【答案】C 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出各选项中比的比值，找到比值相等的一组即可。 【解答】A．、3∶4＝3÷4＝，和3∶4比值不相等，不能组成比例； B．8∶3＝8÷3＝、0.6∶0.3＝0.6÷0.3＝2，8∶3和0.6∶0.3比值不相等，不能组成比例； C．7∶8＝7÷8＝、14∶16＝14÷16＝＝，7∶8和14∶16比值相等，能组成比例7∶8＝14∶16； D．∶6＝÷6＝×＝、∶18＝÷18＝×＝，∶6和∶18比值不相等，不能组成比例。 能组成比例的是7∶8和14∶16。 故答案为：C 3．下列各组比中，不能组成比例的是（    ）。 A．6∶10和9∶15 B．6∶4和∶ C．0.6∶0.2和∶ D．5∶20和4∶1 【答案】D 【解析】判断两个比能否组成比例的方法是∶根据比例的意义判断两个比的比值是否相同。当两个比的比值相等，那么这两个比就能组成比例，据此解答。 【解答】选项A，因为6∶10＝，9∶15＝，所以6∶10和9∶15能组成比例； 选项B，因为6∶4＝1.5，∶＝1.5，所以6：4和∶能组成比例； 选项C，因为0.6∶0.2＝3，∶＝3，所以0.6∶0.2和∶能组成比例； 选项D，因为5∶20＝25，4∶1＝4，所以5∶20和4∶1不能组成比例。 故答案为：D 【点评】此题主要考查根据比例的意义判断哪两个比可以组成比例的能力。也可根据比例的性质来判断 4．从24的因数中选取其中的4个组成比例，下面组成的比例错误的是（    ）。 A．2:4 = 6:12 B．2：3 = 8：12 C．12:2 = 6:4 【答案】C 【解析】首先24的因数先列出来，24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24。再根据比例的基本性质两个内项的积等于两个外项的积进行检验。 【解答】选项A：因为6×4=12×2，所以2：4=6：12。 选项B：因为2×12=3×8，所以2：3=8：12。 选项C：因为12×4≠2×6，所以12：2≠6：4。 故答案为：C 【点评】本题考查的是比例的基本性质。答题之前需要先求出24的因数。因数的定义是一个数被另一个数字整除，那么后面的数叫做前面数的因数。 突破题型二比例的意义 5．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。 【答案】3 15 【分析】在比例中，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项；据此解答。 【解答】根据对比例的认识可知：在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是3和15。 6．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 【答案】6 5∶2＝15∶6 【分析】已知5颗星星可换2根棒棒糖，求15颗星星可换多少根棒棒糖，先用除法求出15里面有几个5，再乘2即可。 表示两个比相等的式子叫做比例。根据比例的意义，求出两个比的比值，相等即可组成比例。 【解答】15÷5×2 ＝3×2 ＝6（根） 可换6根棒棒糖。 5∶2＝5÷2＝ 15∶6＝15÷6＝ 比值相等，可以组成比例。 写成比例是5∶2＝15∶6。（答案不唯一） 7．用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是( )。 【答案】2∶3＝4∶6 【分析】根据表示两个比相等的式子叫做比例，比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，据此写出比例式即可。 【解答】2×6＝3×4 用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是2∶3＝4∶6。（答案不唯一） 【点评】本题主要考查了比例的意义以及基本性质，掌握相应的知识点是解答本题的关键。 8．在比例＝中，内项是( )，外项是( )。 【答案】5和21 3和35 【分析】根据分数和比的关系，分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，即＝3∶5；＝21∶35；由此即可知道这个比例是：3∶5＝21∶35；在比例中有两个外项和两个内项。如：a∶b＝c∶d ， a和d就是两个外项，b和c就是两个内项。据此解答。 【解答】由分析可知： ＝写成比例是：3∶5＝21∶35 则3∶5＝21∶35，外项是3和35，内项是5和21。 【点评】熟练掌握比例的基本性质是解答此题的关键。 突破题型三比例的基本性质 9．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。 【答案】1∶4＝3∶12 【分析】先从已知的1、4、12三个数中任选两个数作为比例的两个外项，如1和12，那么4就是这个比例的一个内项； 根据比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积，用1和12的乘积除以4，即可求出另一个内项，据此组成比例。 【解答】1×12÷4 ＝12÷4 ＝3 所组成的比例是1∶4＝3∶12。（答案不唯一） 10．在比例里，两个内项之积为最小的质数，其中一个外项是0.75，另一个外项是( )。 【答案】/ 【分析】 比例的两内项积＝两外项积，两个内项之积为最小的质数，则两个外项之积也是最小的质数，最小的质数是2，根据积÷因数＝另一个因数，列式计算即可。 【解答】2÷0.75＝2÷＝2×＝ 另一个外项是。 11．比例4∶7＝12∶21的内项7增加14，要使比例仍然成立，在4和12不变的情况下外项21应该增加( )。 【答案】42 【分析】比例的意义：表示两个比相等的式子，叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。比例的基本性质：内项积等于外项积。4∶7＝12∶21的内项7增加14就是21，在4和12不变的情况下，可以将比例写成4∶21＝12∶（  ），设括号里面的数为x。再根据比例的基本性质解比例，再与21对比。 【解答】4∶21＝12∶（  ） 设：括号里面的数为x。 4∶21＝12∶x 4x＝12×21 4x＝252 x＝252÷4 x＝63 63－21＝42 则外项21应该增加42。 12．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是( )。 【答案】 【分析】根据倒数的意义：乘积是1的两个数互为倒数；由此可知，一个比例的两个外项互为倒数，即两个外项之积等于1，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积；两个内项之积也等于1，其中一个内项是，求另一个内项，用1÷解答。 【解答】1÷ ＝1× ＝ 一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是。 【点评】利用倒数的意义和比例的基本性质进行解答。 突破题型四解比例 13．给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。 【答案】1.5 【分析】根据题意，0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，设0.5应该增加，可得出比例方程（0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36，解比例即可得解。 【解答】解：设0.5应该增加。 （0.5＋）∶6＝（3＋9）∶36 36（0.5＋）＝6×（3＋9） 18＋36＝6×12 18＋36＝72 36＝72－18 36＝54 ＝54÷36 ＝1.5 给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加1.5。 14．如果a×3＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝( )。 【答案】5 3 0.16/ 【分析】根据比例的基本性质，内项之积等于外项之积，把a×3＝b×5可以写成比例的形式，b和5作内项，a和3作外项。根据比例的基本性质，得到5a＝4×0.2，等式两边同时除以5就可以求出a的值，据此解答。 【解答】根据分析，a∶b＝5∶3。 a∶4 ＝0.2∶5 5a＝4×0.2 5a＝0.8 5a÷5＝0.8÷5 a＝0.16 故如果a×3＝b×5，那么a∶b＝5∶3；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝0.16。 15．当x＝( )时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是( )。 【答案】1.2 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例；比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积；求比值用比的前项除以后项即可。 【解答】0.9∶x＝3∶4 解：3x＝0.9×4 3x＝3.6 x＝3.6÷3 x＝1.2 0.5÷ ＝0.5× ＝ 当x＝1.2时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是。 【点评】此题主要考查了比例的意义、比例的基本性质以及求比值的方法，注意求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数。 16．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。 【答案】8 15 【分析】根据题意，甲的和乙的相等，即甲×＝乙×，根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，求出甲和乙的最简比；再利用方程计算出当甲数是0.8时，乙数的值。 【解答】甲×＝乙× 甲∶乙＝∶ ＝（×20）∶（×20） ＝8∶15 当甲数等于0.8时， 解：设乙数为x。 0.8∶x＝8∶15 8x＝0.8×15 8x＝12 x＝12÷8 x＝ 甲的和乙的相等，甲∶乙＝8∶15，当甲数是0.8时，乙数是。 【点评】熟练掌握比例的基本性质以及解比例的方法是解答本题的关键。 突破题型五求比例尺 17．北京到天津的实际距离是120km，在一幅地图上量得两地的图上距离是3cm，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶4000000 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，据此解答。 【解答】比例尺：3cm∶120km ＝3cm∶12000000cm ＝3∶120000000 ＝1∶4000000 所以这幅地图的比例尺是：1∶4000000。 【点评】本题考查比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的计算方法。 18．将一个手表的零件画在图纸上长15cm，而它的实际长度只有0.6cm。图纸的比例尺是( )。 【答案】25∶1 【分析】根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据计算即可。 【解答】15cm∶0.6cm ＝（15÷0.6）∶（0.6÷0.6） ＝25∶1 图纸的比例尺是25∶1。 19．李叔叔设计的一种微型零件实际长度是9mm，画到图纸上是9dm，这幅图的比例尺是( )。 【答案】100∶1 【分析】 已知一种零件的实际长度和图上长度，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”以及进率“1dm＝100mm”，求出这幅图的比例尺。 【解答】9dm∶9mm ＝（9×100）mm∶9mm ＝900∶9 ＝（900÷9）∶（9÷9） ＝100∶1 这幅图的比例尺是100∶1。 20．我国首艘国产航母山东舰的长度约是315m，相当于三个足球场的长度，其宽度约为75m。在一幅平面图上量得它的长度是63cm，这幅平面图的比例尺是( )。 【答案】1∶500 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，计算时，先将单位统一，然后再化简比，结果要是最简整数比；据此解答。 【解答】315m＝31500cm 63∶31500 ＝（63÷63）∶（31500÷63） ＝1∶500 这幅平面图的比例尺是1∶500。 突破题型六求图上距离 21．陕西的南水北调工程——引汉济渭工程，其中的秦岭隧道是世界上最长的隧道，全长98千米。在比例尺为1∶4900000的地图中，这条隧道长( )厘米。 【答案】2 【分析】已知秦岭隧道的全长和地图的比例尺，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，代入数据计算，即可求出这条隧道在地图上的长度。注意单位的换算：1千米＝100000厘米。 【解答】98千米＝9800000厘米 9800000×＝2（厘米） 这条隧道长2厘米。 【点评】本题考查比例尺的应用，掌握图上距离、实际距离、比例尺之间的关系是解题的关键。 22．建水到昆明的距离大约是240km，在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，两地之间的距离是( )cm。 【答案】8 【分析】这道题是已知比例尺、实际距离，求图上距离，根据图上距离＝实际距离×比例尺，解答即可。 【解答】240km＝24000000cm 24000000×＝8（cm） 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者之间的数量关系：比例尺＝图上距离÷实际距离，灵活变形列式解决问题。 23．一幅地图，用图上5厘米的长度表示实际300米的长度，这幅地图的比例尺是( )。如果两地的实际距离是1200米，那么在这幅地图上应画( )厘米。 【答案】1∶6000 20 【分析】（1）先统一单位，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，写出比后再化简即可。 （2）先统一单位，再根据图上距离＝实际距离×比例尺，计算出结果即可。 【解答】（1）300米＝30000厘米 5∶30000＝1∶6000 （2）1200米＝120000厘米 120000×＝20（厘米） 故答案为：1∶6000；20 【点评】比例尺＝图上距离∶实际距离，注意单位要统一。 24．一个钟表零件长是0.6毫米，如果把它画在比例尺为10∶1的图纸上，应该画( )厘米长。 【答案】0.6 【分析】要求画在图纸上的图上距离是多少厘米，根据“实际距离×比例尺＝图上距离”，代入数值，计算即可。 【解答】0.6×＝6（毫米） 6毫米＝0.6厘米 长应画0.6厘米。 【点评】解答此题应根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论；注意要求问题的单位是“厘米”。 突破题型七求实际距离 25．在比例尺是1∶25000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是16cm，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。 【答案】4 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，即可解答。 【解答】16÷ ＝16×25000 ＝400000（厘米） 400000厘米＝4千米 【点评】本题考查图上距离与实际距离的换算，注意单位名数的换算。 26．在一幅比例尺1∶4000000的中国地图上量得A、B两地相距5.5厘米，A、B两地实际相距( )千米。 【答案】220 【分析】要求甲、乙两城市的实际距离是多少千米，根据“图上距离÷比例尺＝实际距离”，代入数值计算即可。 【解答】5.5÷＝22000000（厘米） 22000000厘米＝220千米 【点评】此题有计算公式可用，根据图上距离、比例尺和实际距离三者的关系，进行分析解答即可得出结论。 27．在一幅地图上，用3厘米的线段表示地面上实际距离240千米，这幅地图的比例尺是( )；如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是( )千米。 【答案】1∶8000000 1960 【分析】根据公式：比例尺＝图上距离∶实际距离，先求出比例尺，求两地的实际距离是多少千米，根据“实际距离＝图上距离∶比例尺”代入数值，计算即可。 【解答】比例尺： 3厘米∶240千米 ＝3∶24000000 ＝1∶8000000 实际距离： 24.5÷＝196000000（厘米） 196000000厘米＝1960千米 【点评】此题主要考查比例尺、图上距离、实际距离三者的关系式：比例尺＝图上距离：实际距离，灵活变形列式解决问题。 28．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为12cm、宽为10cm、深为2cm。这个水池的占地面积是( )平方米。 【答案】480 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出这个游泳池的长和宽的实际长度，进而利用长方形的面积公式S＝ab，即可求出其占地面积。 【解答】12÷＝2400（厘米） 2400厘米＝24米 10÷＝200（厘米） 2000厘米＝20米 24×20＝480（平方米） 【点评】解答此题的关键是：利用图上距离、实际距离和比例尺的关系，先求出这个水池的长和宽的实际值，进而求其面积。 突破题型八图形的放大和缩小 29．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比放大，得到长方形的周长是( )，面积是( )。 【答案】30厘米 54平方厘米 【分析】把长方形按3∶1放大，也就是把长和宽放大到原来的3倍，已知长3厘米，宽2厘米，则用3×3和2×3即可求出放大后的长和宽，再根据长方形的周长＝（长＋宽）×2和长方形的面积＝长×宽，代入数据解答。注意最后的结果加上单位。 【解答】3×3＝9（厘米） 2×3＝6（厘米） （9＋6）×2 ＝15×2 ＝30（厘米） 9×6＝54（平方厘米） 得到的长方形周长是30厘米，面积是54平方厘米。 30．把边长为3cm的正方形按3∶1放大，放大后的正方形边长为( )cm，周长为( )cm。 【答案】9 36 【分析】根据题意可知，边长3cm正方形按3∶1放大，就是把原来正方形边长扩大3倍，边长为：3×3＝9cm，再根据正方形周长公式：边长×4，求出扩大后的周长，即可解答。 【解答】边长：3×3＝9（cm） 周长：9×4＝36（cm） 【点评】本题考查正方形周长公式的应用以及图形的放大与缩小。 31．一个正方形的边长为，如果把它按缩小，边长变为( )；如果把它按放大，边长变为( )m。 【答案】5 1 【分析】根据题意知：将正方形的边长按缩小，就是边长缩小到原来的；将正方形的边长按放大，就是边长扩大到原来的4倍。 【解答】将正方形的边长按缩小，边长为；将正方形的边长按放大，边长为，。 【点评】本题考查学生对图形放大与缩小中的比例理解与应用。明确放大与缩小的比例所表达的意思，是本题得解的关键。 32．把直径是4厘米的圆按4∶1的比放大，放大后圆的周长是原来的( )倍，原来的面积与变化后圆面积的比是( )。 【答案】4 1∶16 【分析】先依据圆的周长公式分别计算出两个圆的周长，即可解答；依据圆的面积公式即可求解。 【解答】（1）（π×4×4）÷4π ＝16π÷4π ＝4 （2）π（4÷2）∶π（4×4÷2） ＝4∶64 ＝1∶16 【点评】此题主要考查的是图形放大后，圆的周长和面积与变化前的倍数关系的变化。 突破题型九比例的应用 33．甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 【答案】4小时 【分析】根据路程＝速度×时间，一辆货车行完全程需要10小时，用600除以10计算出货车的速度；已知客车和货车的速度比，计算出客车的速度；最后要求相遇时间，根据相遇时间＝路程÷速度之和，代入数值计算，所得结果即为经过多少小时两车能相遇。 【解答】解：设客车的速度为x。 货车的速度：600÷10＝60（千米/小时） x∶60＝3∶2 2x＝60×3 2x＝180 2x÷2＝180÷2 x＝90 客车每小时行驶90千米。 相遇时间：600÷（60＋90） ＝600÷150 ＝4（小时） 答：经过4小时能在途中相遇。 34．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 【答案】30人 【分析】将女职工的人数设为未知数，再根据“男职工与女职工的人数比是2∶5”列出比例。将比例改写成一般方程，再将等式两边同时除以2，解出女职工的人数。 【解答】解：设女职工有x人。 2∶5＝12∶x               2x＝5×12 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30     答：女职工有30人。 35．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解） 【答案】3只 【分析】由题意可知：2只羊可以换8把斧头，那么一只羊可以换4把斧头，所以羊的只数与斧头的把数的比值相等，设需要x只羊，根据羊的只数与斧头的把数的比值相等列出比例求解即可。 【解答】解：设需要x只羊。 x∶12＝2∶8 8x＝12×2 8x＝24 8x÷8＝24÷8 x＝3 答：需要3只羊。 36．六年（1）班在开展“垃圾回收，保护地球”活动中，第一小组和第二小组回收矿泉水瓶的数量比是5∶6。第一小组回收了80个，第二小组回收了多少个？（用方程解答） 【答案】96个 【分析】根据题意可知，第一小组回收矿泉水瓶的数量∶第二小组回收矿泉水瓶的数量＝5∶6，据此列出比例方程，并求解。 【解答】解：设第二小组回收了个。 80∶＝5∶6 5＝80×6 5＝480 ＝480÷5 ＝96 答：第二小组回收了96个。 突破题型十比例尺的应用 37．在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？ 【答案】能走完 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，代入数据，求出甲乙两地的实际距离。再根据路程＝速度×时间，用90×1.5，求出杨叔叔开车1.5小时行驶的路程；再用甲乙两地的实际距离－杨叔叔开车1.5小时行驶的路程，求出剩下的路程；再把原来杨叔叔开车的速度看作单位“1”，速度提高后的速度是原来速度的（1＋30%），用原来速度×（1＋30%），求出提高后的速度，再根据路程＝速度×时间，求出1小时行驶的路程，再和剩下的路程比较，大于剩下的路程，就能走完；小于剩下的路程，就不能走完，据此解答，注意单位名数的统一。 【解答】4.1÷ ＝4.1×6000000 ＝24600000（厘米） 24600000厘米＝246千米 246－90×1.5 ＝246－135 ＝111（千米） 90×（1＋30%）×1 ＝90×1.3×1 ＝117×1 ＝117（千米） 111＜117，剩下的路程他1小时能走完。 答：剩下的路程他1小时能走完。 38．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】75千米 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离。再根据“速度和＝路程÷相遇时间”即可求出两车的速度和，再减甲车的速度，即可求出乙车的速度，据此解答。 【解答】6÷＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷3＝160（千米/时） 160－85＝75（千米/时） 答：乙车平均每小时行驶75千米。 39．如图是甲、乙、丙三地的公路交通图，王师傅早上7时驾车从甲地出发沿①号公路开往乙地，每时行驶50km，到达乙地时正好是上午10时。于是他又立即沿②号公路开往丙地，每时行驶62.5km。 （1）这幅图的比例尺是多少？ （2）到达丙地需要多少时间？ 【答案】（1）这幅图的比例尺是1∶5000000 （2）4小时 【分析】（1）先根据速度×时间＝路程，求出甲乙两地的实际距离，再根据比例尺＝图上距离∶实际距离，求出比例尺； （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出乙丙两地的路程，再用路程÷速度＝时间，求出王师傅从乙地到达丙地需要多少时间。 【解答】（1）甲乙两地距离： （千米） （厘米） 比例尺：3∶15000000＝1∶5000000 答：这幅图的比例尺是1∶5000000。 （2）乙丙两地距离：（厘米）＝250（千米） 时间：250÷62.5＝4（小时） 答：到达丙地需要4小时。 【点评】本题考查行程问题、比例尺，解答本题的关键是掌握比例尺的概念。 40．从一幅比例尺为1∶2000000的地图上量得广州到深圳的距离为7.5厘米，王叔叔以每小时100千米的速度开车从广州前往深圳，多长时间可以到达？ 【答案】1.5小时 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，换算出广州到深圳的实际距离，再根据时间＝路程÷速度，列式解答即可。 【解答】7.5÷＝7.5×2000000＝15000000（厘米）＝150（千米） 150÷100＝1.5（小时） 答：1.5小时可以到达。 突破题型十一应用比例尺作图 41．实验小学要建一个长240m、宽160m的长方形运动场，请在图中画出运动场的平面图。（比例尺 【答案】见详解。 【分析】根据“图上距离＝实际距离×比例尺”即可分别求出长方形运动场的长、宽，然后即可画出这个长方形运动场的平面图。 【解答】240m＝24000cm 160m＝16000cm 24000÷8000＝3（cm） 16000÷8000＝2（cm） 即画长方形运动场的长是3cm，宽是2cm。 画图如下： 【点评】画平面图的关键一是根据实际距离及比例尺求出图上距离；二是方向的确定。 42．用的比例尺，画出长20m，宽15m的长方形会议室的平面图。 【答案】见详解 【分析】1m＝100cm，则20m＝2000cm，15m＝1500cm，根据公式：图上距离＝实际距离×比例尺，即图上的长是：2000×＝4（cm），实际的宽是：1500×＝3（cm），据此即可画图。 【解答】20m＝2000cm 15m＝1500cm 2000×＝4（cm） 1500×＝3（cm） 如下图所示： 【点评】本题主要考查图上距离和实际距离的换算，熟练掌握它的公式并灵活运用。 43．李叔叔骑自行车去观看第十四届全运会比赛。他从家出家，先向东偏北20°方向骑行3km，再向南偏东45°方向骑行4km后到达体育馆。你能画出李叔叔骑行的路线吗？ 【答案】见详解 【分析】图上距离表示实际距离1千米，则可以得出各个地点之间的图上距离，再据各个地点之间的方向关系，即可画出画出李叔叔骑行的路线即可。 【解答】 【点评】此题主要考查依据方向（角度）和距离判定物体位置的方法。 44．在下面的平面图中，少年宫在人民广场正西方向1600m处，学校在人民广场南偏东30°方向1200m处。在图上分别标出少年宫和学校的位置。 【答案】 【分析】用东、西、南、北、东南、东北、西南、西北等方向来确定位置，或用方向和距离相结合来确定位置，它们既可以用来确定现实空间中物体的位置，也可以用来确定平面图上的物体的位置。 【解答】线段比例尺化为数值比例尺：1厘米∶800米＝1∶80000； 1600米＝160000厘米；1200米＝120000厘米； 图上距离：160000×＝2厘米； 图上距离：120000×＝1.5厘米； 故在地图上，少年宫位于人民广场以西2厘米处，学校位于人民广场南偏东30°方向1.5厘米处。 【点评】将方向和距离结合起来描述位置时，要注意三个要素：一是观测点，二是方向，三是距离。 突破题型十二作放大或缩小后的图形 45．按2∶1画出下面图形放大后的图形。 【答案】见详解 【分析】按2∶1放大图形，即将图形扩大2倍，放大后的长为6个格，宽为4个格。据此作图即可。 【解答】根据分析画图如下： 【点评】本题考查了比的应用，明确2∶1放大就是放大两倍是解题的关键。 46．如图的每个方格表示1cm2。将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶2。 【答案】见详解 【分析】图中长方形的长是6格，宽是4格，根据图形放大或缩小的意义，按1∶2缩小后的长方形的长为3格，宽为2格，据此画图即可。 【解答】根据要求，作图如下： 【点评】解答此题的关键是掌握图形放大或缩小的方法及比的意义。 47．请先把方格纸中的正方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，再将缩小后得到的图形向右平移4格。 【答案】见详解 【分析】将正方形按1∶2缩小，就是正方形的边长缩小到原来的，画出缩小后的正方形；再根据平移的特征：把缩小后的正方形的四个顶点分别向右平移4格，再首尾连接各点即可画出平移后的图形。 【解答】6×＝3 见下图： 【点评】根据图形的放大和缩小、作平移后的图形，进行解答。 48．按要求画一画。 （1）将图形①按1∶3缩小。 （2）将图形②按2∶1放大。 【答案】见详解 【分析】假设每个方格的边长为1， （1）原梯形的上底、下底、高分别是6、3、6，缩小后是2、1、2。 （2）原三角形的两条直角边是2和4，扩大后分别是4和8。 【解答】（1）（2）如图： 【点评】理解缩小与扩大的意义与方法是解决本题的关键。 学科网（北京）股份有限公司 $$ 作者的话 当下，对于小学数学核心素养能力培养非常重要。小学生必要要有以下数学核心素养： 对此，小编从多个方面进行汇编，整合各种资料，汇编而成的《2024-2025学年六年级下 册数学小马虎错题本》，将各种素养能力分解到各个题型及知识点中，让学生在学生中不断提高，突破自我！ 《2024-2025学年六年级下册数学小马虎错题本》打破各种小学辅导书局限于教材基础、 忽视学科能力、缺失核心素养的不足，遵循分层学习、循序渐进、知识能力素养并重的学习理念，以解透教材打牢基础为首要目标，在此基础上进行学科能力和综合素养的拓展提升，并全面研究考试命题，注重学习能力培优。 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3、根据比例的基本性质解比例时，应该先把比例转化成“两个外项的积=两个内项的积”的形式，再解方程。 4、如果(b，d均不为0)，那么ad=bc。 5、图上距离一般用厘米做单位，实际距离一般用米或千米做单位，计算时要先统一单位。 6、比例尺是图上距离与实际距离的比，是一个比值，没有单位。 7、通常缩小比例尺的前项为1，放大比例尺的后项为1。 8、把图形放大（或缩小）后，形状不变，相对应的角的度数也不变。 9、求一个图形放大到原来的n倍或缩小到原来的（m，n均不为0）后的面积，是指把这个图形的各边分别放大到原来的n倍或缩小到原来的后求出的面积。 第二部分 七大常考易错点 易错点一：已知等式,根据比例的基本性质写出比例时,易把比例的内外项写反，这时可用比例的基本性质,检验所写的比例是否正确。 填空:如果4x=5y(x、y均不为0),那么x:y=( )。 【错误答案】4：5 【错解分析】解答此类题要正确掌握比例的基本性质。在改写比例时,如果将x作为外项,4x就表示外项的积,4也应作为比例的外项。 如果ax=by(a、b、x、y均不为0),那么x: y=b: a(原来相乘的两个数同时作为比例的外项或内项)。 【正确答案】5：4 易错点二：根据比例的基本性质解比例时,不能正确列出方程，应牢记两个内项的积等于两个外项的积。 解比例：12:x=2:1.8。 【错误答案】 12:x=2:1.8 解:2×12=x×1.8 x=12×2÷1.8 x= 【错解分析】将比例转化成方程时,容易错将比例的外项与内项相乘。解比例是根据比例的基本性质进行的,也就是两个外项的积等于两个内项的积，应该将12和1.8相乘,x与2相乘。 【正确答案】 12:x=2:1.8 解:2x=12×1.8 x=12×1.8÷2 x=10.8 易错点三：对比例尺的意义不理解，易颠倒比例尺中的前项和后项的位置。 在一幅精密零件的设计图上,用15厘米的线段长度表示实际长度2.5厘米,求这幅设计图的比例尺。 【错误答案】2.5:15 =1:16 【错解分析】本题容易混淆比例尺的意义。求比例尺应该用图上距离:实际距离,不要颠倒了 比的前项与后项。 【正确答案】 15:2.5=6:1 答:这幅设计图的比例尺是6: 1。 易错点四：误认为把长方形的各边扩大到原来的n倍,长方形的面积也扩大到原来的n倍。事实上，长方形的面积应扩“大到原来的n2倍。 判断:把一个长5厘米、宽3厘米的长方形各边扩大到原来的3倍,这个长方形的面积也扩大到原来的3倍。（ ） 【错误答案】正确 【错解分析】这个长方形的面积是5×3=15(平方厘米),把这个长方形各边扩大到原来的3倍， 长为5×3=15(厘米),宽为3×3=9(厘米),面积就为15×9= 135(平方厘米),135÷15=9,所以这个长方形的面积扩大到原来的9倍。 【正确答案】错误 第三部分 十二种易错题型突破 突破题型一判断是否能组成比例 1．下面每组的4个数中，不能组成比例的是（    ）。 A．2、3、20和30 B．、、和 C．0.3、0.4、5和6 2．下面能组成比例的是（    ）。 A．和3∶4 B．8∶3和0.6∶0.3 C．7∶8和14∶16 D．∶6和∶18 3．下列各组比中，不能组成比例的是（    ）。 A．6∶10和9∶15 B．6∶4和∶ C．0.6∶0.2和∶ D．5∶20和4∶1 4．从24的因数中选取其中的4个组成比例，下面组成的比例错误的是（    ）。 A．2:4 = 6:12 B．2：3 = 8：12 C．12:2 = 6:4 突破题型二比例的意义 5．在比例3∶5＝9∶15中，两个外项分别是( )和( )。 6．如果5颗星星可换2根棒棒糖，淘气得了15颗星星，可换( )根棒棒糖，写成比例是( )。 7．用2、3、4、6这四个数组成一个比例式是( )。 8．在比例＝中，内项是( )，外项是( )。 突破题型三比例的基本性质 9．已知1、4、12三个数，再添一个数能组成比例的数，所组成的比例是( )。 10．在比例里，两个内项之积为最小的质数，其中一个外项是0.75，另一个外项是( )。 11．比例4∶7＝12∶21的内项7增加14，要使比例仍然成立，在4和12不变的情况下外项21应该增加( )。 12．一个比例的两个外项互为倒数，其中一个内项是，则另一个内项是( )。 突破题型四解比例 13．给比例0.5∶6＝3∶36的内项3增加9，要使比例仍然成立，在6和36不变的情况下，0.5应该增加( )。 14．如果a×3＝b×5，那么a∶b＝( )∶( )；如果a∶4 ＝0.2∶5，那么a＝( )。 15．当x＝( )时，0.9∶x和3∶4能组成比例；0.5∶的比值是( )。 16．甲的和乙的相等，甲∶乙＝( )∶( )，当甲数是0.8时，乙数是( )。 突破题型五求比例尺 17．北京到天津的实际距离是120km，在一幅地图上量得两地的图上距离是3cm，这幅地图的比例尺是( )。 18．将一个手表的零件画在图纸上长15cm，而它的实际长度只有0.6cm。图纸的比例尺是( )。 19．李叔叔设计的一种微型零件实际长度是9mm，画到图纸上是9dm，这幅图的比例尺是( )。 20．我国首艘国产航母山东舰的长度约是315m，相当于三个足球场的长度，其宽度约为75m。在一幅平面图上量得它的长度是63cm，这幅平面图的比例尺是( )。 突破题型六求图上距离 21．陕西的南水北调工程——引汉济渭工程，其中的秦岭隧道是世界上最长的隧道，全长98千米。在比例尺为1∶4900000的地图中，这条隧道长( )厘米。 22．建水到昆明的距离大约是240km，在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，两地之间的距离是( )cm。 23．一幅地图，用图上5厘米的长度表示实际300米的长度，这幅地图的比例尺是( )。如果两地的实际距离是1200米，那么在这幅地图上应画( )厘米。 24．一个钟表零件长是0.6毫米，如果把它画在比例尺为10∶1的图纸上，应该画( )厘米长。 突破题型七求实际距离 25．在比例尺是1∶25000的地图上，量得甲、乙两地间的距离是16cm，甲、乙两地间的实际距离是( )千米。 26．在一幅比例尺1∶4000000的中国地图上量得A、B两地相距5.5厘米，A、B两地实际相距( )千米。 27．在一幅地图上，用3厘米的线段表示地面上实际距离240千米，这幅地图的比例尺是( )；如果在这幅地图上量得广州到北京的距离是24.5厘米，那么广州到北京的距离是( )千米。 28．学校要修建一个长方体水池，在比例尺是1∶200的设计图上，水池的长为12cm、宽为10cm、深为2cm。这个水池的占地面积是( )平方米。 突破题型八图形的放大和缩小 29．一个长3厘米，宽2厘米的长方形，按3∶1的比放大，得到长方形的周长是( )，面积是( )。 30．把边长为3cm的正方形按3∶1放大，放大后的正方形边长为( )cm，周长为( )cm。 31．一个正方形的边长为，如果把它按缩小，边长变为( )；如果把它按放大，边长变为( )m。 32．把直径是4厘米的圆按4∶1的比放大，放大后圆的周长是原来的( )倍，原来的面积与变化后圆面积的比是( )。 突破题型九比例的应用 33．甲、乙两地相距600千米，一辆货车行完全程需要10时。一辆客车和这辆货车同时从甲、乙两地相对开出，已知客车和货车的速度比是3∶2，经过几时能在途中相遇？ 34．榆林沙漠国家森林公园是以沙漠森林草地景观和无形的民间风俗——陕北民歌、民俗为主，以人文景观为辅，集回归自然、生态观光、休闲度假为一体的多功能综合性城郊型森林公园。某公司计划去榆林沙漠国家森林公园进行团建，其中男职工与女职工的人数比是2∶5，已知男职工有12人，则女职工有多少人？（用比例解答） 35．古时候，“小山羊”在人们的生活中起着“钱”的作用。2只羊可以换8把斧头。如果张伯伯要换12把斧头，需要几只羊？（用比例解） 36．六年（1）班在开展“垃圾回收，保护地球”活动中，第一小组和第二小组回收矿泉水瓶的数量比是5∶6。第一小组回收了80个，第二小组回收了多少个？（用方程解答） 突破题型十比例尺的应用 37．在一幅比例尺为1∶6000000的地图上，量得甲乙两地高速公路长为4.1厘米。杨叔叔开车从甲地出发，以每小时90千米的速度行驶了1.5小时。为了尽快到达乙地，他在不超速的情况下将速度提高了30%。剩下的路程他1小时能走完吗？ 38．在比例尺是1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离是6厘米。甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。已知甲车平均每小时行驶85千米，乙车平均每小时行驶多少千米？ 39．如图是甲、乙、丙三地的公路交通图，王师傅早上7时驾车从甲地出发沿①号公路开往乙地，每时行驶50km，到达乙地时正好是上午10时。于是他又立即沿②号公路开往丙地，每时行驶62.5km。 （1）这幅图的比例尺是多少？ （2）到达丙地需要多少时间？ 40．从一幅比例尺为1∶2000000的地图上量得广州到深圳的距离为7.5厘米，王叔叔以每小时100千米的速度开车从广州前往深圳，多长时间可以到达？ 突破题型十一应用比例尺作图 41．实验小学要建一个长240m、宽160m的长方形运动场，请在图中画出运动场的平面图。（比例尺 42．用的比例尺，画出长20m，宽15m的长方形会议室的平面图。 43．李叔叔骑自行车去观看第十四届全运会比赛。他从家出家，先向东偏北20°方向骑行3km，再向南偏东45°方向骑行4km后到达体育馆。你能画出李叔叔骑行的路线吗？ 44．在下面的平面图中，少年宫在人民广场正西方向1600m处，学校在人民广场南偏东30°方向1200m处。在图上分别标出少年宫和学校的位置。 突破题型十二作放大或缩小后的图形 45．按2∶1画出下面图形放大后的图形。 46．如图的每个方格表示1cm2。将下面的长方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比为1∶2。 47．请先把方格纸中的正方形缩小，使缩小后的图形与原图形对应线段长的比是1∶2，再将缩小后得到的图形向右平移4格。 48．按要求画一画。 （1）将图形①按1∶3缩小。 （2）将图形②按2∶1放大。 学科网（北京）股份有限公司 $$