精品解析：浙江省中职八校联盟2024-2025学年高二上学期期末数学试题（B）卷

浙江省中职八校联盟 2024学年第一学期2023级期末考试 数学试卷（B卷） 姓名____________ 准考证号____________ 2025—01 本试卷共三大题．全卷共4页．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上． 4．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分） 1. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充要条件的定义可判断结果. 【详解】若，则成立，即； 若，时，解得 ，即若，. 所以，若，则“”是“”的充要条件. 故选：C 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量可以比较大小 B. 单位向量都相等 C. 零向量的方向是任意的 D. 因为温度有正负，所以温度是向量 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义进行判断即可解得. 【详解】选项A：向量既有大小又有方向，不能比较大小，错误. 选项B：单位向量模长相等，方向不一定相等，错误. 选项C：零向量的方向是任意的，正确. 选项D：温度是数量不是向量，错误. 故选：C 3. 已知抛物线，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出即可求解准线方程. 【详解】抛物线中，， 所以抛物线的准线方程为. 故选：C. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义即可选出正确答案. 【详解】或， 当时，， 所以充分性不成立； ，则一定成立， 所以必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判定，即可选出正确答案. 【详解】两向量的模相等不一定共线，两向量平行模也不一定相等， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 6. 下列结论正确的是（ ） A. 平行四边形是平面图形 B. 一条直线和一个点能确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 三点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面的性质即可判断. 【详解】选项A：平行四边形是平面图形，正确. 选项B：一条直线和直线外一点能确定一个平面，错误. 选项C：四边形有可能是空间四边形，错误. 选项D：不共线的三点确定一个平面，错误. 故选：A. 7. 向量等于（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算即可解得. 【详解】由题 . 故选：C 8. 已知向量，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算即可求解. 【详解】. 故选：A. 9. 若点在直线上，直线在平面内，则点、直线、平面之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点，线，面的符号表示即可判断. 【详解】若点在直线上，直线在平面内， 则. 故选：A. 10. “两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】从充分性和必要性两方面讨论. 【详解】“两条直线为异面直线”则“两条直线一定没有公共点”，充分性得证； “两条直线没有公共点”有可能“两条直线为异面直线”，也有可能“两条直线平行”，必要性不得证. 故选：A. 11. 若直线与平面平行，则平行于内的（ ） A. 任意直线 B. 无数条平行直线 C. 无数条相交直线 D. 两条相交直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的性质即可解得. 【详解】由题，直线与平面平行，即直线与平面无交点， 直线与平面内无数条平行直线平行，但不与平面内任意直线平行. 故选：B 12. 三个平面最多可将空间分成（ ）部分． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论. 【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分； 两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面， 这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分. 因此空间三个平面最多将空间分成个部分. 故选：C. 13. 若动点满足方程，则动点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的定义和两点之间的距离公式即可解得. 【详解】由题可知，点满足， 设点，则， 可知， 故的轨迹为以为焦点的双曲线的左支. 故选：D 14. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为6，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆方程得到，再根据椭圆的定义即可解得. 【详解】由题，椭圆方程，则，， 设两焦点分别为，由椭圆的定义可得， 又知到其中一个焦点的距离为， 则到另一个焦点的距离为. 故选：B 15. 如图所示，点是平面外一点，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将异面直线和平移至同一个平面，结合余弦定理即可求解. 【详解】如图所示，记中点为，而、分别是，的中点，将直线平移至，将直线平移至，异面直线和所成的角为， 因为，所以， 在中，由余弦定理得：， 因为异面直线所成的角的取值范围为， 因此，异面直线和所成的角为即. 故选：D. 16. 已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出图形，找出二面角的平面角，结合勾股定理求出，即可求解. 【详解】 如图,令， 则， 因为，则为二面角的平面角， 则 则， 所以 所以为等边三角形， 则 故选：B. 17. 直线与双曲线的交点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，解方程组可求出交点的个数. 【详解】将直线方程与双曲线方程联立，可得 ，消元并整理，可得， 解得，从而. 所以直线与双曲线的交点为，交点为1个. 故选：C 18. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和抛物线的准线方程即可解得. 【详解】由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离， 又知抛物线方程为，则准线方程为， 当垂直于准线时，最小， 则的最小值为点到准线的距离为. 故选：A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 已知点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示求出，再由向量的模的运算法则求值即可. 【详解】已知点， 则， 所以， 故答案为：. 20. 二面角的取值范围是______（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据二面角的定义，即可求解. 【详解】二面角的取值范围是. 故答案为： 21. 在空间中，“两条直线垂直”是“两条直线相交”的______条件． 【答案】既不充分也不必要 【解析】 【分析】由“两条直线垂直”与“两条直线相交”的关系即可求解. 【详解】若两条直线垂直，则这两条直线不一定相交，有可能是异面； 若两条直线相交，则这两条直线不一定垂直. 因此“两条直线垂直”是“两条直线相交”的既不充分也不必要条件. 故答案为：既不充分也不必要. 22. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件设出双曲线方程，再将已知点代入求出参数即可解得. 【详解】由题，可设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为， 又知该双曲线过点，将点代入双曲线方程可得， 解得，故双曲线方程为，即. 故答案为： 23. 自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图所示的一顶斗笠，得到图中圆锥模型，经测量底面圆的直径，母线，若点在上，且，为的中点．则直线与平面所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据线线平行证明线面平行即可解得. 【详解】由题可知为中点，为中点，则， 又平面，平面， 则平面，故与平面所成角的大小为. 故答案为： 24. 若椭圆的离心率为，则实数的值为______． 【答案】10或 【解析】 【分析】根据焦点在x轴和y轴分类讨论，再结合离心率公式计算即可. 【详解】当，即时，焦点在x轴， 由椭圆的标准方程得，， 则， ∵椭圆的离心率为， ∴，解得，满足； 当，即时，焦点在y轴， 由椭圆的标准方程得，， 则， ∵椭圆的离心率为， ∴，解得，满足． 综上，满足条件的k的值为10或． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 25. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过点，求抛物线的标准方程. 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线的几何性质以及抛物线上的点的坐标即可求出其标准方程. 【详解】由抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，设其标准方程为， 又经过点，则，解得， 因此抛物线的标准方程为. 26. 如图所示，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，是的中点，且．求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）与平面所成角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，据此得解； （2）根据直线与平面所成角的概念可知为所求，在中可求解. 【小问1详解】 因为是圆的直径，是的中点，所以平面. 又因为垂直于圆所在的平面， 所以，即直线与所成角为. 【小问2详解】 因为垂直于圆所在的平面，所以在平面内的射影为， 即与平面所成角为. 因为是圆的直径，所以， 在中，，所以. 在中，，所以， 所以，即与平面所成角为. 27. 已知焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. （1）求的值； （2）依次求出椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率. 【答案】（1） （2）椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为 【解析】 【分析】（1）将点代入即可求解； （2）根据椭圆的几何性质即可求解. 【小问1详解】 将点代入， 得； 【小问2详解】 由（1）得， 焦点在轴上的椭圆的方程为， 则， ， ， 离心率， 所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为. 28. 如图所示，是长方形外一点，平面，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 【答案】（1）证明见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的性质，可得，在长方形中有，根据线面垂直的判定定理可证明结论； （2）由（1）可知，与平面所成角为，在中可求解. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以. 在长方形中，， 又因为，在平面内， 所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知，在平面内的射影为，即与平面所成角为. 因为平面，平面，所以. 在中，，，所以. 因为平面，平面，所以. 在中，， 所以，即与平面所成角的正切值为. 29. 已知椭圆经过点，且双曲线的顶点是椭圆的焦点，双曲线的焦点是椭圆的顶点，分别求出椭圆和双曲线的标准方程． 【答案】椭圆标准方程；双曲线标准方程 【解析】 【分析】设定椭圆方程，根据经过的点坐标得到椭圆方程，得到椭圆的顶点坐标和焦点坐标，即可求解双曲线方程. 【详解】由题，椭圆过点， 可设椭圆方程为， 则，， 则椭圆标准方程为， 故椭圆的焦点坐标为，顶点坐标为和， 又知双曲线的顶点是椭圆的焦点，双曲线的焦点是椭圆的顶点， 则双曲线顶点坐标，焦点坐标为， 设双曲线标准方程为， 则，， 故双曲线标准方程为. 30. 如图所示，已知正方体的棱长为2，求： （1）二面角的平面角的正切值； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接与交于，连接，再由线面垂直的判定定理证明平面，得出为二面角的平面角，再由棱长和正切函数的定义即可求值. （2）根据三棱锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 连接与交于，连接， ∵为正方体， ∴平面， ∵平面， ∴，又为正方形， ∴，又为平面中两条相交的直线， ∴平面，∵平面， ∴，则为二面角的平面角， 在中， ∴. 【小问2详解】 三棱锥的底面积，高为， 所以. 31. 如图所示，过双曲线的左焦点且斜率为的直线交双曲线于两点． （1）求直线的方程； （2）若是双曲线的右焦点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据双曲线的标准方程求解焦点坐标，再由点斜式方程即可求解. (2)联立直线与双曲线方程，由弦长公式先求解的长度，再由点到直线的距离公式即可求解三角形的高，最后由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 双曲线方程为，可得， 由此可知，，， 所以，从而， 双曲线的左焦点的坐标为，右焦点的坐标为， 直线过左焦点，斜率为， 所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 将直线方程代入双曲线方程， 得到，即， 得，即， 得，， 所以， 再计算点到直线的距离， 直线的方程，即， 因此，的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省中职八校联盟 2024学年第一学期2023级期末考试 数学试卷（B卷） 姓名____________ 准考证号____________ 2025—01 本试卷共三大题．全卷共4页．满分100分，考试时间90分钟． 注意事项： 1．所有试题均须在答题纸上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分，在试卷和草稿纸上作答无效． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸和试卷上． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上． 4．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑． 一、单项选择题（本大题共18小题，每小题2分，共36分） 1. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列说法正确的是（ ） A. 向量可以比较大小 B. 单位向量都相等 C. 零向量的方向是任意的 D. 因为温度有正负，所以温度是向量 3. 已知抛物线，则抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 下列结论正确的是（ ） A. 平行四边形是平面图形 B. 一条直线和一个点能确定一个平面 C. 四边形一定是平面图形 D. 三点确定一个平面 7. 向量等于（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知向量，则向量（ ） A. B. C. D. 9. 若点在直线上，直线在平面内，则点、直线、平面之间的关系可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. “两条直线为异面直线”是“两条直线没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 11. 若直线与平面平行，则平行于内的（ ） A. 任意直线 B. 无数条平行直线 C. 无数条相交直线 D. 两条相交直线 12. 三个平面最多可将空间分成（ ）部分． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 13. 若动点满足方程，则动点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 双曲线的一支 14. 若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为6，则到另一个焦点的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 15. 如图所示，点是平面外一点，分别是，的中点，且，则异面直线和所成的角为（ ） A. B. C. D. 16. 已知三角形ABC中,,,AD为斜边BC上的高,若沿着高线AD折成一个的二面角,则角（ ） A. B. C. D. 17. 直线与双曲线的交点个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 18. 已知抛物线的焦点为，定点，点是抛物线上一个动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 19. 已知点，则______． 20. 二面角的取值范围是______（用区间表示） 21. 在空间中，“两条直线垂直”是“两条直线相交”的______条件． 22. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是______． 23. 自古以来，斗笠是一个防晒遮雨的用具，是家喻户晓的生活必需品之一，主要用竹篾和一种棕榈叶染白后编织而成，已列入世界非物质文化遗产名录．现测量如图所示的一顶斗笠，得到图中圆锥模型，经测量底面圆的直径，母线，若点在上，且，为的中点．则直线与平面所成角的大小为______． 24. 若椭圆的离心率为，则实数的值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共46分）解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 25. 已知抛物线的顶点为原点，对称轴为轴，且经过点，求抛物线的标准方程. 26. 如图所示，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，是的中点，且．求： （1）异面直线与所成角的大小； （2）与平面所成角的大小． 27. 已知焦点在轴上的椭圆的方程为，点在椭圆上. （1）求的值； （2）依次求出椭圆的长轴长、短轴长、焦距和离心率. 28. 如图所示，是长方形外一点，平面，. （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的正切值． 29. 已知椭圆经过点，且双曲线的顶点是椭圆的焦点，双曲线的焦点是椭圆的顶点，分别求出椭圆和双曲线的标准方程． 30. 如图所示，已知正方体的棱长为2，求： （1）二面角的平面角的正切值； （2）三棱锥的体积． 31. 如图所示，过双曲线的左焦点且斜率为的直线交双曲线于两点． （1）求直线的方程； （2）若是双曲线的右焦点，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $