精品解析：江苏省南通市职教高考2023～2024学年高二上学期期初调研模拟考试数学试题

南通市职教高考2023~2024学年度高二上学期期初调研模拟 数学试题 2023.08 注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.试卷共4页，共22小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 6.命题人：马超.命题范围：江苏职教高考数学课本基础模块 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用集合的混合运算求解即可. 【详解】因，则， 又，则， 故选：A. 2. 直线的（ ）. A. 倾斜角为，斜率为0 B. 倾斜角为，斜率不存在 C. 倾斜角为，斜率为0 D. 倾斜角为，斜率不存在 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的图像求倾斜角和斜率即可. 【详解】如图； 直线与轴垂直，则斜率不存在，倾斜角为； 故选：D. 3. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则该样本中女生人数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算出男女生人数的比例，再根据样本容量和女生在总体中的比例来计算样本中女生的人数. 【详解】某个年级有男生180人，女生160人，那么男女生人数之比为. 样本容量为68，男女生人数比例为，那么总份数为. 女生占的份数为份，所以样本中女生人数为. 故选：D. 4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆锥母线与半径，然后求出圆锥的高，再利用圆锥体积公式可求. 【详解】圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆， 则母线长为，设圆锥半径为，则有，则， 则圆锥的高为，底面积为， 则该圆锥的体积为， 故选：A. 5. 角的终边经过点，且，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数求终边上的点，然后求正切值即可. 【详解】因为角的终边经过点，且，则， 则，即，，，， ； 故选：C. 6. 若已知，，则函数与函数的图像可能是（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的单调性与对数的运算性质判断的范围，然后判断图像即可. 【详解】因为，若，则， 由，有，则，即， 由，得，得，因为，所以，，所以， 所以在上为增函数，且必过， 在上为减函数，且必过， 所以D符合题意. 故选：D. 7. 已知数据的平均数为2，方差为5，则数据，，…，的平均数与方差分别为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用数据的平均数与方差的性质可求. 【详解】数据的平均数为2，方差为5， 则数据，，…，的平均数， 方差； 故选：C. 8. 连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出掷两次骰子的可能及第一次向上的点数比第二次向上的点数小的可能，作比值即可求. 【详解】掷两次骰子共有种可能， 第一次向上的点数比第二次向上的点数小的情况是， ，，，，，，，，，， ，，，，，共有15种可能； 则第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是. 故选：C. 9. 直线与圆交于、两点，则弦的最大值与最小值之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出直线必过点，利用垂径定理求出弦最小值，利用直线过圆心求出弦最大值，然后作差即可求. 【详解】直线，必过， 圆，圆心为，半径， 因为，所以在圆内. 当时，弦最短，此时， 当直线过原点时弦最长为， 则弦的最大值与最小值之差为. 故选：B. 10. 已知直线与圆相交于，两点，为圆上的动点，则面积的最大值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】圆上点到直线的距离为高，弦为底，求出高的最大值，然后利用三角形面积公式可求. 【详解】要使三角形面积最大，需边上的高最大，即圆上的点到直线的距离最大， 圆心到直线的距离为， 圆的半径，则圆上的点到直线的最大距离为， 而， 则面积的最大值为； 故选：C. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射线所在直线的方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对称性求出点关于直线的对称点，根据两点求直线方程即可. 【详解】设点点关于直线的对称点的坐标为，直线的斜率为， 则有，解得，，所以， 因为，则直线的方程为，， 即， 故答案为：. 12. 已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先计算正方体棱长与外接球半径的关系，利用球的表面积公式计算得到答案. 【详解】设正方体的棱长为，外接球的半径为， 根据正方体的对角线长等于外接球的直径，可得， 由，可得，即，解得， 故答案为：1． 13. 若，互为对立事件，且，，且，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对立事件概率和为，结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，互为对立事件，且，，则， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故答案为：. 14. 若函数的图象恒过定点，则在上的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数必过点求出，然后利用函数的单调性求最值即可. 【详解】将，代入解析式则，， 则，即，则， 则函数为，因为， 则函数为在上为减函数， 则在上的最小值为. 故答案为：. 15. 若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】将曲线变型，求出直线必过点，然后作图，求出直线斜率范围即可. 【详解】直线，必过点， 曲线，即，， 此为圆心为，半径为的左部分， 如图： 可知点， 若直线与曲线有两个交点， 则，所以， 则的取值范围是； 故答案为：. 四、解答题：本题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）求使的的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）化简解析式，利用分母不为零和对数函数真数大于零求出定义域，然后判断奇偶性即可； （2）分类讨论，然后求解即可. 【小问1详解】 ，则， ①； ②或，即或（无解）， 综上定义域为， 定义域为关于原点对称，, ， 则函数为奇函数； 【小问2详解】 ，即，， 当时，在其定义域内为增函数，则，即， 当时，在其定义域内为减函数，，即， 因为定义域为， 当时使的的取值范围是， 当时使的的取值范围是. 17. （1）计算 （2）已知，求的值. 【答案】； 【解析】 【分析】（1）根据指数以及对数的运算法则求解即可. （2）根据完全平方公式进行化简和计算. 【详解】（1） . （2）因为， 所以， ， 则代入可得，. 18. 已知圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若圆与圆无公共点，求的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）当直线与圆相切时，利用直线到圆的距离为半径求参数即可； （2）利用两圆无公共点为外离或内含求半径范围即可. 【小问1详解】 圆，则标准方程为， 则圆心为，半径为， 直线与圆相切， 则圆心到直线的距离，则，则或， 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 所以两圆的距离， 因为两圆无公共点则两圆外离或内含， 所以或， 解得或， 所以取值范围是. 19. 四边形为直角梯形，，，，，现将该梯形绕所在直线旋转一周，得到一个封闭的几何体，求该几何体的表面积及体积. 【答案】， 【解析】 【分析】利用旋转体的性质，结合圆锥的表面积公式、体积公式，以及圆柱的表面积公式、体积公式可求. 【详解】如图，旋转后形成的几何体为上部为圆锥，下部为圆柱， 其表面积圆锥侧面积圆柱侧面积圆柱底面积， 因为，， 则圆锥的高为，圆锥的半径， 则圆锥的母线为，旋转体底面圆的周长为， 所以圆锥侧面积为， 圆柱侧面积，圆柱底面积， 所以该几何体的表面积， 几何体的体积圆锥体积圆柱体积， 圆锥体积，圆柱体积， 所以该几何体的体积. 20. 已知，求下列各式值. （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式得到，再代入求解即可； （2）利用正余弦函数的齐次式法即可得解. 【小问1详解】 已知， 根据诱导公式， 可得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， . 21. 某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调查100位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示. （1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄； （2）若已从年龄在，的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率. 【答案】（1）；37 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算各年龄组的频率再计算人数，由直方图计算平均数的方法可得平均年龄； （2）由分层抽样的方法选出年龄在，的人数，再列举出所有的情况，由古典概率公式计算即可. 【小问1详解】 由图可得，各年龄组的频率为， 所以100名使用者中各年龄组人数分别为：， 估计所有使用者的平均年龄为： (岁). 【小问2详解】 由题意可知抽取的6人中，年龄在范围内的人数：年龄在范围内的人数， 年龄在范围内的人数为，记为； 年龄在范围内的人数为，记为. 从这6人中选取2人，结果共有15种： ， 设“这2人在不同年龄组”为事件A， 则事件A所包含的基本事件有8种，故， 所以这2人在不同年龄组的概率为. 22. 某教育公司开发了一系列网络课程，现进行为期60天的线上销售．据市场调查，购买网络课程的人数和购课者的人均消费（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且购买网络课程的人数近似地满足，（，且，），购课者的人均消费为．已知第一天实现销售收入19.52万元，该公司第天的销售收入记为． （1）求的函数关系式； （2）当为何值时，最小并求此最小值． 【答案】（1）； （2）当取60时取得最小值，最小值为85400元． 【解析】 【分析】（1）根据，结合以及的值，即可求得结果； （2）根据（1）中所求函数解析式，结合基本不等式以及函数单调性即可求得的最小值. 【小问1详解】 由题意知； 又由，得，所以， 故 【小问2详解】 当，时， ， 当且仅当，即时等号成立，此时函数最小值为115200； 当，时，， 因为都是上的单调减函数，故也是单调减函数， 此时函数最小值为， 所以当取60时取得最小值，最小值为85400元． 23. 若圆的半径为，圆心到直线的距离为，其中，且. （1）求的取值范围； （2）求的值； （3）是否存在定圆既与直线相切又与圆相离？若存在，请写出定圆的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）1 （3）存在定圆；证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据方程表示圆要满足的条件求解即可； （2）根据圆的方程确定圆心坐标，求得圆心到直线的距离，进而求解即可； （3）写出定圆的方程，根据定圆到直线的距离等于半径且与圆相离证明即可； 【小问1详解】 因为，又，且， 所以，解得， 所以的取值范围为； 【小问2详解】 由题可知，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 所以； 【小问3详解】 存在定圆满足题意. 证明如下：定圆的圆心，半径. 因为到直线的距离为：，所以圆与直线相切； 又因为，且， 因为，则， 得，所以， 所以，所以圆与圆相离， 综上，存在定圆满足题意. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南通市职教高考2023~2024学年度高二上学期期初调研模拟 数学试题 2023.08 注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔填涂准考证号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 5.试卷共4页，共22小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 6.命题人：马超.命题范围：江苏职教高考数学课本基础模块 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ）. A. B. C. D. 2. 直线的（ ）. A. 倾斜角为，斜率为0 B. 倾斜角为，斜率不存在 C. 倾斜角为，斜率为0 D. 倾斜角为，斜率不存在 3. 某个年级有男生180人，女生160人，用分层抽样方法从该年级全体学生中抽取一个容量为68的样本，则该样本中女生人数为（ ） A. B. C. D. 4. 一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的体积为（ ）. A. B. C. D. 5. 角的终边经过点，且，则（ ）. A. B. C. D. 6. 若已知，，则函数与函数的图像可能是（ ）. A. B. C. D. 7. 已知数据的平均数为2，方差为5，则数据，，…，的平均数与方差分别为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是（ ）. A. B. C. D. 9. 直线与圆交于、两点，则弦的最大值与最小值之差为（ ） A. 3 B. 4 C. 2 D. 10. 已知直线与圆相交于，两点，为圆上的动点，则面积的最大值为（ ）. A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分. 11. 有一光线从点射到直线以后，再反射到点，则这条光线的反射线所在直线的方程为________. 12. 已知某正方体外接球的表面积为，则该正方体的棱长为__________. 13. 若，互为对立事件，且，，且，，则最小值为________. 14. 若函数的图象恒过定点，则在上的最小值为________. 15. 若直线与曲线有两个交点，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共8小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 已知函数. （1）求函数的定义域，并判断函数的奇偶性； （2）求使的的取值范围. 17. （1）计算 （2）已知，求值. 18. 已知圆. （1）若直线与圆相切，求的值； （2）若圆与圆无公共点，求的取值范围. 19. 四边形为直角梯形，，，，，现将该梯形绕所在直线旋转一周，得到一个封闭的几何体，求该几何体的表面积及体积. 20. 已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 21. 某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调查100位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示. （1）求100名使用者中各年龄组人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄； （2）若已从年龄在，的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率. 22. 某教育公司开发了一系列网络课程，现进行为期60天的线上销售．据市场调查，购买网络课程的人数和购课者的人均消费（单位：元）均为时间（单位：天）的函数，且购买网络课程的人数近似地满足，（，且，），购课者的人均消费为．已知第一天实现销售收入19.52万元，该公司第天的销售收入记为． （1）求的函数关系式； （2）当为何值时，最小并求此最小值． 23. 若圆的半径为，圆心到直线的距离为，其中，且. （1）求的取值范围； （2）求的值； （3）是否存在定圆既与直线相切又与圆相离？若存在，请写出定圆方程，并给出证明；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$