4.5.1函数的零点与方程的解教学设计-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

教学设计 课程基本信息 课题 函数的零点与方程的解 教学目标 1.掌握函数的零点与方程解的关系. 2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理． 3.学会运用函数观点判断方程的解的问题． 教学重点：函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用． 教学难点：函数零点存在定理的导出，函数零点定理的充分不必要性． 教学过程 【新课引入】 问题引入：我们已经学习了用二次函数的观点认识一元二次方程，知道一元二次方程的根就是相应二次函数的零点.像这样不能用公式求解的方程，是否也能采用类似的方法，用相应的函数研究它的解的情况呢？ 设计意图：通过如何判断一个没有求根公式的方程是否有实数解的讨论，了解利用函数观点研究方程解的必要性． 师生活动：复习二次函数零点的定义. 设计意图：引导学生回忆二次函数与一元二次方程的关系，为得到一般函数零点的概念作铺垫． 【新课讲解】 1.函数零点的概念 问题1：你能类比二次函数的零点得出一般函数零点的定义吗？ 定义：对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点. 这样，函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标． 方程有实数解函数有零点函数的图象与轴有公共点． 即对于函数的零点，其代数意义就是的实数解，其几何意义就是函数的图象与轴的公共点． 2. 函数零点存在定理 探究活动：对于二次函数，观察它的图象，发现它在区间[2，4]上有零点．这时，函数图象与x轴有什么关系？函数的取值有什么规律？你能用在区间[2，4]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？ 设计意图：通过观察函数图象得出规律，使学生经历数形结合、将形转化为数的过程，学会用代数的语言描述图象的方法． 追问：函数在区间[-2，0]上也有零点，这时，函数图象与x轴有什么关系？函数f(x)的取值有什么规律？你能用在区间[-2，0]上的两个具体的函数值来刻画这种关系和规律吗？ 区间[2，4]和区间[-2，0]上都有零点，通过上面的分析，说说它们有什么共性？ 问题2：若函数在区间 上有， 则函数在区间内一定有零点吗？ 函数零点存在定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程的解． 【例题讲解】 例 求方程的实数解的个数． 师生活动：学生独立完成，然后展示交流．教师可以利用GGB等作图工具画出函数的图象，或利用计算器列出x，y的对应值表，帮助学生观察、判断零点所在区间．除了教科书给出的解法之外，有的学生可能会提出，直接计算函数取值，寻找函数零点所在的区间．如果没有学生提出用这种方法，教师也可以启发学生考虑这种思路． 【课堂小结】 1、函数零点的定义：对于一般函数，我们把使的实数x叫做函数的零点. 2、函数零点存在定理：如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得，这个c也就是方程的解． 3、函数零点存在定理的推论：如果函数是单调函数，在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有，那么，函数在区间(a，b)内有唯一零点，即存在唯一∈(a，b)，使得. 学科网（北京）股份有限公司 $$