精品解析：山东省潍坊市国开中学（春考班）中职2024-2025学年高三上学期数学开学考试题

高三上学期数学入学检测 一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 1. 若，且为有理数，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 4. 已知集合，则等于（ ）. A. B. C. D. 5. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若函数的最小正周期为，则（    ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则角的终边与单位圆的交点的坐标（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 9. 已知，且是第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 11. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 12. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 15. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 16. 如图所示，叙述正确的选项是（ ） A. 函数在定义域内既是奇函数又是增函数 B. 函数在区间是奇函数 C. 函数是偶函数，它有最小值 D. 函数在定义域内是非奇非偶函数 17. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 18. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 19. 指数函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 20. 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 21. 使得有意义的的取值范围是______. 22. 若的最大值为，则_____． 23. 计算：_____． 24. 函数的定义域为_____（用区间表示）． 25. 若，则的取值范围是_____（用区间表示）． 三．解答题（共5小题，每小题8分，共20分） 26. 已知集合，，且．求实数的取值范围． 27. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）若，求的取值范围． 28. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 29. 已知函数的定义域是． （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 30. 已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． （1）求实数的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期数学入学检测 一．选择题（共20小题，每小题3分，共60分） 1. 若，且为有理数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由以及排除法即可求解． 【详解】当时，满足为有理数，且， 所以A、B、C错误， 又，所以，故D正确. 故选：D． 2. 下列函数中既是奇函数又是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数，二次函数和反比例函数的性质判断奇偶性和单调性即可. 【详解】对A：为一次函数，，所以函数是奇函数且为增函数，故A正确， 对B：为反比例函数，，所以函数是奇函数， 在，上单调递减，故B错误， 对C：为二次函数，，所以函数为偶函数，且图像开口向上， 在上单调递减，上单调递增，故C错误， 对D：为一次函数，，所以函数是奇函数且为减函数，故D错误. 故选：A. 3. 若，则（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入求解即可． 【详解】已知， ， 故选：A． 4. 已知集合，则等于（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义，两个集合的交集是由这两个集合的公共元素组成的集合． 【详解】，. 故选：. 5. 将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（），纵坐标不变，得到函数的图象，若函数的最小正周期为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由伸缩变换求出的解析式，再由周期公式得出答案. 【详解】由题意可知，由，解得. 故选：A. 6. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分母不等于0，0和负数无对数，列不等式求解即可． 【详解】要使函数有意义， 必须有, 解得，所以函数的定义域为． 故选：A． 7. 已知，则角的终边与单位圆的交点的坐标（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，求出的值，结合单位圆的定义与任意角三角函数的定义计算求解即可． 【详解】，所以， 且单位圆， 角的终边与单位圆的交点的坐标，即， 故选：C． 8. 设函数，则等于（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据计算求解即可． 【详解】， ， 故选：B． 9. 已知，且是第二象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式和同角三角函数基本关系式求解即可． 【详解】，且是第二象限角， ， 故选：D． 10. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的性质即可求解． 【详解】由，得或， 不等式的解集为. 故选：D. 11. 与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由终边相同角的定义，可得答案． 【详解】由终边相同角的定义可得，与角终边相同角的集合可表示为． 故选：D． 12. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换判断AB，举反例排除CD，从而得解 【详解】对A、B：若，则有，又由，则有，故A项正确；B项错误； 对C：当时，，即，故C项错误； 对D：当时，，即，故D项错误. 故选：A. 13. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两不等式的解集，然后结合解集的包含关系和充分条件与必要条件的概念即可判断． 【详解】由，得或， 由得，或， 因为或，或， 因为，所以能推出，但不能推出， 所以“”是“”充分不必要条件． 故选：A． 14. 若，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式、同角三角函数的基本关系以及对数运算即可求解． 【详解】， 又， ， ． 故选：B． 15. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及单调性即可求解． 【详解】是偶函数不是奇函数，A不符合题意； 既是奇函数又在区间上单调递增，符合题意； 是偶函数不是奇函数，不符合题意； 是非奇非偶函数，D不符合题意． 故选：B． 16. 如图所示，叙述正确的选项是（ ） A. 函数在定义域内既是奇函数又是增函数 B. 函数在区间是奇函数 C. 函数是偶函数，它有最小值 D. 函数在定义域内是非奇非偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数、偶函数的图像特征，以及函数的定义域、最值、单调性的概念可判断结果. 【详解】对A选项，函数的图像不关于原点对称，不是奇函数，故错误； 对C选项，函数的定义域为，故错误； 对C选项，函数的图像关于y轴对称，且有最低点，所以函数是偶函数，它有最小值，故正确； 对D选项，函数的图像关于原点对称，是奇函数，故错误； 故选：C 17. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复合函数结构，根据函数的单调性即可求解． 【详解】，， ， ， 函数的定义域为， 的对称轴，开口向下， 在上单调递减，而函数在定义域上递增， 函数的单调递减区间为． 故选：D． 18. 已知函数，则是（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性判断即可 【详解】易知函数定义域为， 因为. 所以函数是偶函数. 故选：B. 19. 指数函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的定义域求解即可. 【详解】因为指数函数. 所以函数的定义域为. 故选：B. 20. 若奇函数在上的图象如图所示，则该函数在上的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质即可判断. 【详解】因为奇函数在上图像如图所示， 奇函数的图像关于原点对称，因此奇函数在上的图像可能是 故选：C. 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 21. 使得有意义的的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦函数的值域得到所求. 【详解】因为，所以， 解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 22. 若的最大值为，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由正弦函数的最值列方程，即可得出答案． 【详解】因为，所以， 所以， 因为最大值为， 所以，解得． 故答案为：． 23. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干信息和特殊角的三角函数值和对数、指数的运算法则计算求解即可． 【详解】 ， 故答案为：． 24. 函数的定义域为_____（用区间表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出使函数有意义的不等式组，进而求解即可． 【详解】因为函数， 所以，解得或． 即函数的定义域为：． 故答案为：． 25. 若，则的取值范围是_____（用区间表示）． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据对数函数的单调性得出，再由指数函数的单调性即可得出的取值范围. 【详解】∵， 且在上为增函数， 且， ∴，又为增函数， ，， ，， 的取值范围是． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，每小题8分，共20分） 26. 已知集合，，且．求实数的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】根据交集的定义即可求解． 【详解】因为集合或， ，且， 所以，解得， 故实数的取值范围是． 27. 已知函数． （1）求函数的定义域； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对数式的真数大于零，可求解； （2）根据对数函数的单调性，解对数不等式即可. 【小问1详解】 由得 . 故函数的定义域为； 【小问2详解】 由得 ， 从而 解得. 所以的取值范围为. 28. 已知函数的图像过点． （1）求实数的值； （2）判断函数的奇偶性并证明． 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）将点代入函数即可求解. （2）根据函数的奇偶性的定义证明即可． 【小问1详解】 已知函数的图像过点， 将点代入，，解得. 【小问2详解】 由（1）可知，，为奇函数， 函数的定义域为，关于原点对称， 又， 函数是奇函数． 29. 已知函数的定义域是． （1）求实数的取值范围； （2）解关于的不等式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的定义及二次函数的性质得出且恒成立,故,由此求得的范围. （2）由题意解指数不等式,求得的范围. 【小问1详解】 由函数的定义域是, 可知恒成立且 所以 所以 所以的取值范围是 【小问2详解】 由关于的不等式,即, 因为的取值范围是 所以 解得 所以不等式解集为. 30. 已知函数是定义在上的奇函数，点在函数的图象上，当时，． （1）求实数的值； （2）求函数的解析式； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）或2或3 【解析】 【分析】（1）由函数的奇偶性得，代入求解即可； （2）由（1）知时，函数的解析式，再利用函数的奇偶性求解即可； （3）由（2）知，分段函数的解析式，分和两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 因为点在函数的图象上，所以， 因为是奇函数，所以， 又因为当时，， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得当时，， 时，，所以， 因为是奇函数， 所以， 即当时，， 故； 【小问3详解】 由（2）知，， 当时，， 即，解得或（舍）， 当时，， 即，解得或， 综上所述，的值为或2或3． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $