5.1.1变化率问题（第二课时）课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

数学 必修第二册 舒城一中　　 *5.1.1变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用 （第2课时：从割线斜率到切线斜率） 制作：文老师 1 1.瞬时速度和平均速度的关系 平均速度 瞬时速度 瞬时速度的本质是平均速度的极限. (1) 平均速度： (2) 瞬时速度： 2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤： 几何意义？ 复习引入 时间段[t0,t0+△t]内的平均速度 当t=t0时的瞬时速度 问题1：抛物线的切线的斜率 我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切. 探究新知 追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？ x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 探究新知 　　由此，我们不能再像研究直线与圆的位置关系时那样，通过交点的个数来定义相切了。 x y O f(x)＝x2 1 1 2 2 3 4 P0 探究新知 问题2：你认为应该如何定义抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线？ 类比上一节课的研究思路：我们为了研究运动员在某一时刻瞬时速度，如时的瞬时速度。我们先研究了运动员在１s后或1前的某一时间段.譬如到的平速度，再将时间间隔不断缩小，当无限趋近于0，也就是让无限趋近于1 时的平均速度会无限趋近于一个常数。这个常数就是运动员在时的瞬时速度。 5 x O 1 1 2 2 3 4 P0 P 将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况. f(x)＝x2 y 追问：对于抛物线，应该如何定义它在点处的切线呢？ 在抛物线（1，1）附近取一点得到割线 几何画板 探究新知 6 T 追问1：当点沿着抛物线趋近于点时，割线有什么变化趋势？ 　　当点Ｐ沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置。 　　这个确定的位置的直线称为抛物线在点处的切线。 探究新知 当点P无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线. 斜率是确定直线的一个要素，在已知切点的情况下，如果能知道直线的斜率，就能确定直线的方程。 追问2：对于抛物线，应该如何定义它在点处的切线呢？ 探究新知 从几何图形上看,抛物线在点处的切线是由过这一点的割线当点无限接近时的极限位置所确定的。 从几何上看，抛物线在点P0的切线是由过这一点的割线P0P当点Ｐ无限接近P0时的极限位置所确定的 我们知道，斜率是确定直线的一个要素，在已知切点的情况下，如果能知道直线的斜率，就能确定直线的方程。 8 问题3：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点处的切线的斜率呢？ 割线位置 切线位置 无限逼近 割线斜率 切线斜率 无限逼近 取极限 记点的横坐标 则点P的坐标即为: 探究新知 ∴当时，斜率 ∆x <0 ∆x >0 ∆x ∆x 通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2. 我们可以用割线P0P的斜率k近似地表示切线P0T的斜率k0，并且可以通过不断缩短横坐标间隔|∆x|来提高近似表示的精确度，得到如下表格： 探究新知 10 即：当△x→0时，割线的斜率的极限，就是曲线在点P处的切线的斜率. △x △y 探究新知 问题3：我们知道斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 f(x)=x2在点处的切线的斜率呢？ 1、切线的定义：设P0是曲线上一定点，P是曲线上的动点，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线在点P0处的切线. 归纳总结 2.切线的斜率：设是曲线上一点，则曲线在点处的切线的斜率为： 斜率： 抛物线的割线及切线的斜率 1.割线的斜率 2.切线的斜率 点P0(x0, f(x0))与P两点间的斜率 函数图象在点P0(x0, f(x0))处的斜率 x y O 1 2 1 2 3 4 P P0 T 概念形成 x y O 1 2 1 2 3 4 P0 记点的横坐标 ，则点P的坐标即为 于是割线 的斜率 故抛物线在点处的切线的斜率为4. P 探究新知 问题4：你能用上述方法，求抛物线 在点 处的切线的斜率吗？ 例1 求抛物线在点处切线的斜率. 典例分析 解:在附近任取一点,设点的坐标为,则有: ∴抛物线在点切线的斜率为: (2)二比； (3)三极限。 (1)一差； (1)一差； (2)二比； (3)三极限。 典例分析 例2、求抛物线在处的切线斜率。 解：Δy＝3(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－(3×12－2×1) ＝ ∵＝＝3Δx＋4 ∴ 变式 ：求抛物线在点处的切线方程. 即 巩固练习 解:由例1可知,抛物线在点处切线的斜率为: ∴抛物线在点处的切线方程为: 问题3：观察函数的图象，平均度速的几何意义是什么？瞬时速度呢？ 探究新知 瞬时速度表示函数图像在点（１，）处的切线的斜率。 与的几何意义： 平均速度表示过点的割线斜率. P0 P T 割线斜率 无限逼近 切线斜率 　　　 探究新知 思考：本节研究的斜率问题与上节研究的速度问题有什么关系呢？ 由平均速度的表达式可以看出，经过点Ｐ和点的纵坐标标之差比上它们的横坐标之差，这正是割线的斜率；由瞬时速度的表达式可以看到：对平均速度的表达式取极限，这也正是我们用割线斜率无限逼近切斜率的方法，因此，瞬时速度的几何意义也正是函数图像在点（１，）处的切线。 19 例3: 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程. 典例分析 解法一：由已知得，当时，。 取点，在点附近任取一点，则： ∴抛物线在处切线的斜率为： ∴抛物线在处的切线方程为： 又∵ 典例分析 例3: 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程. 解法二：抛物线在处切线的斜率为： ∴抛物线在处的切线方程为： 例4(多选)已知某物体的运动方程为，则（ ） A.该物体在1≤t≤3时的平均速度是28 B.该物体在t＝4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t＝5时的瞬时速度是70 解：该物体在1≤t≤3时的平均速度是 物体的最大位移是7×52＋8＝183，C错误； ABD 典例分析 例5 曲线上哪一点处的切线满足下列条件： (1)平行于直线； 解:(1)设点满足条件，曲线在点处切线的斜率为： 典例分析 ∵切线与直线平行, ∴ 即是满足条件的点. 例5 曲线上哪一点处的切线满足下列条件： (2)垂直于直线； 解：(2)设点满足条件，曲线在点处切线的斜率为： 典例分析 ∵切线与直线垂直, ∴,∴ 即是满足条件的点. 解：(3)设点满足条件，曲线在点处切线的斜率为： 因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即 例5 曲线上哪一点处的切线满足下列条件： (3)倾斜角为135°； 典例分析 ∴, 即是满足条件的点. 归纳总结 (1)求抛物线在某点处的切线方程的步骤： (2)求曲线过某点的切线方程需注意： 在点处与过点处的区别该点不是切点时，需另设切点坐标. 总结：求曲线在点p(x0,f(x0)处切线的方程，一般步骤： 先求割线的斜率： 再对割线的斜率取极限得切线的斜率： (3)点斜式写出切线方程。 26 思考：求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点O的切线方程． 拓展提升 ∴切点坐标为：或 思考：求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点O的切线方程． 拓展提升 解：设切点为。则有： 又∵ ∴ 又∵切点在函数图象上，∴ ∴ 解得：0或 ∴或 ∴或 物体运动的平均速度 物体运动的瞬时速度 函数的平均变化率 函数的瞬时变化率 几何意义 割线的斜率 几何意义 切线的斜率 无限逼近 无限逼近 小结：切线的斜率是割线的斜率的极限值；切线斜率的本质是瞬时变化率。 课堂小结 1. 你认为应该怎样定义抛物线f(x)=x2在点(x0, x02)处的切线? 试求抛物线f(x)=x2在点(－1, 1)处切线的斜率. 课本P64 课后作业 2. 求抛物线f(x)=x2+1在点(0, 1)处的切线方程. 课本P64 课后作业 Sheet1 △x<0 △x>0 △x k=△x+2 △x k=△x+2 -0.5 1.5 0.1 2.1 -0.05 1.95 0.01 2.01 -0.005 1.995 0.001 -0.0005 1.9995 0.0001 -0.00005 1.99995 0.00001 -0.000005 1.999995 0.000001 -0.0000005 1.9999995 0.0000001 -0.00000005 1.99999995 0.00000001 -0.000000005 1.999999995 0.000000001 Sheet2 Sheet3 物体在t＝4时的瞬时速度是 ＝ (56＋7Δt)＝56，故B正确； 物体在t＝5时的瞬时速度是 ＝ (70＋7Δt)＝70，故D正确. ＝＝28，A正确； $$