精品解析：浙江省永嘉县职业教育中心2022-2023学年高三上学期开学摸底数学试题

高三数学摸底试卷 2022.8 满分100分 考试时间90分钟 本试题共三大题 全卷共4页 一、单项选择题（本大题共16小题每小题2分，共32分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. –3 C. D. –1 3. 函数在其定义域上为增函数则此函数的图像所经过的象限为（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 4. 已知，则下面式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 6. 在0°～360°范围内，与终边相同的角是（ ） A. 30° B. 60° C. 210° D. 330° 7. 对于二次函数，下述结论中不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 与x轴有两交点 D. 区间上单调递增 8. 等于（ ） A. B. C. D. 0 9. 若，为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 10. 直线平行于平面，点，则过点且平行于的直线（ ） A. 只有一条，且一定在平面内 B. 只有一条，但不一定在平面内 C. 有无数条，但不都在平面内 D. 有无数条，都在平面 11. 根据数列2，5，9，19，37，75……的前六项找出规律，可得（ ） A. 140 B. 142 C. 146 D. 149 12. 乘积的最后结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或负数 D. 零 13. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 14. 若直线与直线互相垂直，则 （ ） A. B. C. D. 15. 在 中，若，则三边之比（ ） A. B. C. D. 16. 直线与圆 的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 17. 已知，，则________. 18. _________． 19. 已知等比数列的前n项和公式为，则公比_______________． 20. 已知，则的最大值等于_______________. 21. 经过点，且斜率为0的直线方程一般式为_______________. 22. 用平面截半径的球，所得小圆的半径，则截面与球心的距离等于__________． 三、解答题（本大题共7小题，共50分） 23. 比较与大小． 24. 在等差数列中，已知 （1）求的值. （2）求和 25. 在中，已知，，，求和． 26. 计算：. 27. 若展开式中第六项的系数最大，求展开式的第二项. 28. 如图在棱长为2的正方形中，求： （1）二面角平面角的正切值； （2）三棱锥 体积. 29. 1992年巴塞罗那奥运会开幕式中，运动员安东尼奥雷波洛以射箭方式点燃主会场的圣火成为历史经典．如图所示，如果发射点离主火炬塔水平距离，塔高．已知箭的运动轨迹是抛物线，且离火炬塔水平距离处达到最高点． （1）若以为原点，水平方向为轴，为单位长度建立直角坐标系．求该抛物线标准方程； （2）求射箭方向（即与抛物线相切于点的切线方向）与水平方向夹角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高三数学摸底试卷 2022.8 满分100分 考试时间90分钟 本试题共三大题 全卷共4页 一、单项选择题（本大题共16小题每小题2分，共32分）在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的.错涂、多涂或未涂均无分. 1. 全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集定义求解即可. 【详解】由题意得，属于全集U但不属于集合M的元素为b，d，f，g， ∴. 故选：B. 2. 已知，则（ ） A. 0 B. –3 C. D. –1 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的解析式，代入计算即可得解. 【详解】因，令，得， 所以. 故选：C. 3. 函数在其定义域上为增函数则此函数的图像所经过的象限为（ ） A. 一、二、三象限 B. 一、二、四象限 C. 一、三、四象限 D. 二、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】由一次函数的图像与性质即可解得. 【详解】解：因为函数在其定义域上为增函数， 所以.此函数的图像经过一、三象限. 因为，所以图像向下平移，经过第四象限. 所以此函数的图像经过一、三、四象限. 故选：C 4. 已知，则下面式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件判断不等式是否成立即可. 【详解】选项A，当时，，故不正确； 选项B，根据不等式的加法法则可知，不等式两边同时减一个数不等号不改变方向，故正确； 选项C，，因为可正可负，故不一定成立，故不正确； 选项D，当时，，故不正确； 故选：B 5. 在等差数列中，若，，则（ ） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】将、分别代入等差数列通项公式可求出首项和公差，从而可求出. 【详解】由已知，解得， 所以. 故选：C. 6. 在0°～360°范围内，与终边相同的角是（ ） A. 30° B. 60° C. 210° D. 330° 【答案】D 【解析】 【分析】与终边相同的角，即为与相差个的角.再将角限制在0°～360°范围内即可求得. 【详解】，因此在0°～360°范围内，与终边相同的角是. 故选：D. 7. 对于二次函数，下述结论中不正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为 C. 与x轴有两交点 D. 在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像和性质即可判断. 【详解】因为二次函数的二次项系数为，所以开口向上，A正确； 又因为其对称轴，开口向上， 所以函数在区间上单调递减，故B正确，D错误； 在中，， 所以函数图像与与x轴有两交点，故C正确. 故选：D. 8. 等于（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法法则求解. 【详解】. 故选：B. 9. 若，为第四象限角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据角所在的象限判断角余弦的正负，再根据同角三角函数的平方关系求解. 【详解】因为为第四象限角，所以， 又，所以， 故选：C. 10. 直线平行于平面，点，则过点且平行于的直线（ ） A. 只有一条，且一定在平面内 B. 只有一条，但不一定在平面内 C. 有无数条，但不都在平面内 D. 有无数条，都在平面 【答案】A 【解析】 【分析】由平行公理及直线与平面平行的定义即可得解. 【详解】假设过点且平行于的直线有和两条. 则，. 由平行公理得. 这与两条直线和相交于点相矛盾． 又∵点. ∴过点且平行于的直线只有一条，且一定在平面内． 故选：. 11. 根据数列2，5，9，19，37，75……的前六项找出规律，可得（ ） A. 140 B. 142 C. 146 D. 149 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列的递推关系得到答案. 【详解】由数列2，5，9，19，37，75……的前六项可知数列的递推关系为， 所以， 故选：D. 12. 乘积的最后结果为（ ） A. 正数 B. 负数 C. 正数或负数 D. 零 【答案】B 【解析】 【分析】用诱导公式化简，分别求出每一项的正负性，再相乘得到最终结果. 【详解】，， . 因此，即为负数. 故选：B. 13. 函数的最大值和最小正周期分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角公式化简表达式，进而由正弦型函数的最值与周期求解即可. 【详解】因为函数， 所以函数的最大值为，最小正周期为， 故选：B 14. 若直线与直线互相垂直，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件列方程求解即可. 【详解】已知直线与直线互相垂直， 则，解得， 故选：A. 15. 在 中，若，则三边之比（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意根据角度之比求出各个角角度，即可得边长之比. 【详解】因为在中，， 可得，，， 根据正弦定理可得 故选：D. 16. 直线与圆 的位置关系是（ ） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离与半径的大小比较判断即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交， 故选：B. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 17. 已知，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先由指数和对数运算求出a和b的值，再由指数幂运算计算即可. 【详解】因为，所以， 解得， 因为，所以， 所以. 故答案为:. 18. _________． 【答案】4 【解析】 分析】，然后化简求值即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 19. 已知等比数列的前n项和公式为，则公比_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式得到数列前两项，即可解得公比. 【详解】由题等比数列前项和为， 则， ， 则数列公比， 故答案为： 20. 已知，则的最大值等于_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时取得等号； 所以，即的最大值为， 故答案为： 21. 经过点，且斜率为0的直线方程一般式为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到点斜式方程，进而转化一般式即可. 【详解】因为直线过点，且斜率为0， 所以直线方程为，即. 故答案为：. 22. 用平面截半径的球，所得小圆的半径，则截面与球心的距离等于__________． 【答案】3 【解析】 【分析】球半径为R，球截面的半径为r，则球心到球截面的距离. 【详解】已知球半径为，球截面的半径为， 球心到截面的距离为d，则． 故答案为：3. 三、解答题（本大题共7小题，共50分） 23. 比较与的大小． 【答案】. 【解析】 【分析】作差法比较大小即可得解. 【详解】. 所以. 24. 在等差数列中，已知 （1）求的值. （2）求和 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据等差数列的通项公式求出，再代入通项公式中求出即可. （2）根据等差数列的前项和求值即可. 【小问1详解】 设等差数列公差为d， 已知等差数列中，且， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 . 25. 在中，已知，，，求和． 【答案】， 【解析】 【分析】根据正余弦定理求解即可. 【详解】在中，根据已知条件， 由余弦定理可知，,即， 由正弦定理得，. 26. 计算：. 【答案】 【解析】 【分析】对每一项分别进行计算即可. 【详解】原式 27. 若展开式中第六项的系数最大，求展开式的第二项. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式中第六项的系数最大确定幂指数，进而求解即可. 【详解】由条件“展开式中第六项的系数最大”可推知幂指数.即二项式为. 其通项公式为. 所以展开式的第二项为 28. 如图在棱长为2的正方形中，求： （1）二面角的平面角的正切值； （2）三棱锥 的体积. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线线垂直得出二面角的平面角为，再求出正切值即可. （2）根据三棱锥的体积公式求值即可. 【小问1详解】 ∵为正方体， ∴平面，且平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 在中，， 所以. 【小问2详解】 三棱锥的体积， . 29. 1992年巴塞罗那奥运会开幕式中，运动员安东尼奥雷波洛以射箭方式点燃主会场圣火成为历史经典．如图所示，如果发射点离主火炬塔水平距离，塔高．已知箭的运动轨迹是抛物线，且离火炬塔水平距离处达到最高点． （1）若以为原点，水平方向为轴，为单位长度建立直角坐标系．求该抛物线的标准方程； （2）求射箭方向（即与抛物线相切于点的切线方向）与水平方向夹角的正切值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先写出点，，，的坐标，在求解抛物线的方程即可. （2）联立抛物线的方程与切线的方程，解方程组求即可. 【小问1详解】 设抛物线的标准方程为， 因为，，， 设点，所以点， 把点与点代入抛物线方程有 ， 解得，， 故该抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 设切线的斜率为， 由（1）可知点， 设切线的方程， 由， 得， 因为直线与抛物线相切， 所以， 即， 即， 解得， 即， 故射箭方向（即与抛物线相切于点的切线方向）与水平方向夹角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$