第01讲 平面向量的概念（2大知识点+5大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（人教A版2019必修二）

第01讲 平面向量的概念 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的模 4 题型03 零向量与单位向量 7 题型04 相等向量 9 题型05 平行向量（共线向量） 11 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 25 知识点01向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线. 【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 知识点02向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 题型01平面向量的概念与表示 【例1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【详解】由向量的几何表示知，A、B、C正确，D不正确．故选D． 【变式1】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【答案】A 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量有大小有方向的特点逐项判断. 【详解】对于A，摩擦力和重力都及有大小，也有方向，所以摩擦力，重力都是向量，A正确； 对于B，轴，轴有方向，但没有大小，所以它们都不是向量，B错误； 对于C，温度只有大小，没有方向，所以温度不是向量，C错误； 对于D，身高只有大小，没有方向，所以身高不是向量，D错误； 故选:A． 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【答案】④ 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念判断即可. 【详解】解：向量是既有大小，又有方向的量，它不能比较大小，但向量的模是可以比较大小的. 则只有④正确， 故答案为：④ 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 【答案】(1)答案见解析． (2)答案见解析． 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】（1）以为起点，向右作长度是3cm的有向线段； （2）以为起点，向下作长度为的有向线段． 【详解】（1）， 以为起点，向右作有向线段，它的长度是3cm，    （2），时，， 以为起点，向下作有向线段，长度为：    题型02 向量的模 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【答案】2 n mile． 【知识点】向量的模 【分析】在直角三角形中求得向量的长度． 【详解】由题意， 所以向量的长度为2 n mile． 【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【答案】答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量定义找出向量，再求模长即可. 【详解】所有的边可以构成以下向量：、、、、、、、. 它们的模分别为： ， . 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【答案】（1）个；（2）个 【知识点】向量的模 【分析】数出与所占同样大小的矩形个数，再根据向量和向量模的定义求解即可. 【详解】（1）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个； （2）每个的矩形中有个符合要求的向量，这样的矩形共有个，则共有个向量的模与相等，但本身除外，故共有39个. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模 【分析】根据向量的方向和模长画出和，利用相反向量画出. 【详解】（1）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （2）根据平面向量的方向和模长，画出，如下： （3）根据相反向量的定义，画出，如下： 题型03 零向量与单位向量 【例3】（20-21高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量 【分析】根据零向量的定义、性质判断各项的正误即可. 【详解】由零向量定义及性质知：其方向任意，且与任意向量共线，故①错误，②③正确； 故选：C 【变式1】（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量，则与方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量 【分析】求出，计算即得． 【详解】由题意，． 故选：C． 【变式2】（22-23高一·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【知识点】向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 【变式3】（高一上·江苏盐城·期末）已知单位向量、，则下面所有正确的式子有 ． （1）；（2）；（3）；（4） 【答案】（2）（4） 【知识点】零向量与单位向量 【解析】依次判断每个选项：，（1）错误；，（2）正确；方向不一定相同，（3）错误；，（4）正确，得到答案. 【详解】（1），（1）错误； （2），（2）正确； （3）单位向量方向不一定相同，（3）错误； （4），（4）正确 故答案为：（2）（4） 【点睛】本题考查了单位向量的基本知识，意在考查学生对于向量知识的灵活运用. 题型04 相等向量 【例4】（23-24高一·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【答案】D 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【详解】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的模、相等向量 【分析】根据向量的相关概念及等腰梯形的定义即可求解. 【详解】解：由题意，四边形是等腰梯形得，且，， 所以选项A错误，选项B正确， 又向量不能比较大小， 所以选项C，D错误， 故选：B 【变式2】（21-22高一上·青海西宁·期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义直接判断即可. 【详解】与方向不同，与均不相等； 与方向相同，长度相等，. 故选：D. 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 【答案】 3 1 【知识点】相等向量 【分析】根据向量相等求参. 【详解】因为, 所以, 所以. 故答案为：3；1. 题型05 、平行向量（共线向量） 【例5】（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【知识点】零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】结合共线向量的定义，分别判断条件①②③④下与是否共线，由此可得结论. 【详解】对于①，若与方向相反，则与共线， 对于②，由，只能确定两向量的大小相等，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线， 对于③，由或，可得或，由零向量与任意向量共线可得与共线， 对于④，由与都是单位向量，只能确定两向量的大小都为，不能确定它们的方向是否相同或相反， 故与不一定共线. 故选：B. 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、平行向量的定义、向量数乘运算依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，两个向量具有公共终点，但两向量的起点和终点可能不共线，则两向量不是平行向量，①错误； 对于②，向量有大小和方向两个维度，无法比较大小；但向量模长仅有大小一个维度，可以比较大小，②正确； 对于③，当时，可以为任意实数，③错误； 对于④，当时，，此时可以不共线，④错误； 对于⑤，向量的大小即向量的模长，与方向无关，⑤错误. 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【答案】 A、B、C三点共线 B是的中点 平行四边形 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】（1）根据共线向量的概念即可判断； （2）根据相等向量的概念即可判断． 【详解】（1）且有一个公共点， A、B、C三点共线； ，方向相同， B是的中点， 故答案为：A、B、C三点共线；B是的中点； （2）在四边形中，若，则一组对边平行且相等，则四边形是平行四边形； 故答案为：平行四边形 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 【答案】①②④ 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量） 【分析】根据模长相等的向量、平行向量的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，四边形，，都是全等的菱形，，即，①正确； 对于②，，，则与反向，，②正确； 对于③，若，则，， 若四边形，，都是全等的正方形，如下图所示， 此时，，即，③错误； 对于④，三点共线，方向相反，，④正确. 故答案为：①②④. 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二上·河北唐山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 【答案】D 【分析】由相等向量、相反向量、模长相等的向量的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，单位向量方向不同时并不相等，A错误； 对于B，的相反向量为，B错误； 对于C，，则与的长度相等，与方向无关，C错误； 对于D，相反向量是模长相等，方向相反的向量，D正确. 故选：D. 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 【答案】A 【分析】根据共线向量的概念，以及向量共线定理，逐项判断，即可得出结果. 【详解】非零向量与共线， 对于A，，，故A错误； 对于B，∵向量与共线，∴向量与平行，故B正确； 对于C，∵向量与共线，∴与方向相同或相反，故C正确； 对于D，∵与共线，∴存在实数，使得，故D正确． 故选:A． 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 【答案】C 【分析】根据向量的几何表示，可判断出选项A和C的正误，再利用相反向量及相等向量的概念，结合图形，即可判断选项B和D的正误. 【详解】对于选项A，因为向量，的起点为，而向量的起点为，所以选项A错误， 对于选项B，因为相反向量是方向相反，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项B错误， 对于选项C，向量，，的模长均为圆的半径，所以选项C正确， 对于选项D，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，而向量，，方向不同，所以选项D错误，    故选：C. 4．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据向量的定义，相等向量的定义，向量的模，向量共线依次判断各命题即可. 【详解】对于①，两个相等向量时，它们的起点相同，则终点也相同，①正确； 对于②，若，方向不确定，则不一定相同，∴②错误； 对于③，若，、不一定相等，∴四边形不一定是平行四边形，③错误； 对于④，若，，则，④正确； 对于⑤，若，，，当时，不一定成立，∴⑤错误； 对于⑥，向量没有固定的起点，所以向量不是有向线段，但向量可以用有向线段表示，∴⑥错误； 对于⑦，任何一个非零向量都可以平行移动，∴⑦正确； 综上，假命题是②③⑤⑥，共4个， 故选：C. 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 6．（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 【答案】ABD 【分析】根据题意可直接判断A正确；当与方向相反时，可知B正确；利用两点间的距离公式计算可知C错误；利用中点坐标公式进行计算可知D正确. 【详解】数轴上零向量的坐标为正确. 若与都是单位向量，当方向相反时， 的最小值为正确. 若，则，错误. 若，则线段的中点坐标为，正确. 故选：ABD. 三、填空题 7．（23-24高一上·全国·课后作业）若与任意都平行，则 . 【答案】 【分析】根据零向量的性质可直接得到结果. 【详解】零向量与任意向量都平行，. 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 【答案】 、 、 、、、、、、、、、、 【分析】根据向量的定义，把所有向量罗列出来，找出符合条件的向量即可． 【详解】（1）与相等的向量：； （2）的负向量：; （3）与共线的向量：. 故答案为：①②③. 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】（1）根据起点和终点作出向量即可； （2）根据起点和模长作出向量即可； （3）根据向量相等作出向量即可； （4）根据向量平行作出向量即可. 【详解】（1）    （2）答案不唯一，向量的终点在以为圆心2为半径的圆弧上即可.    （3）答案不唯一，向量只要和向量同向等长即可.    （4）答案不唯一，向量只要和向量平行即可.    10．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 【答案】(1) (2) 【分析】由题意可得，，结合向量夹角的定义即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. （2）由题意知，， 所以， 所以与的夹角为. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    【答案】，，，. 【分析】根据正八边形的性质及相等向量的定义判断即可. 【详解】依题意可得，，，. 12．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 【答案】(1) (2) (3)、、、、、. 【分析】根据向量相等的定义直接求解即可. 【详解】（1）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以； （2）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以 （3）相等向量为大小相等方向相同的向量，所以、、、、、. 13．（22-23高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【答案】(1)答案见解析； (2)答案见解析； (3)答案见解析； (4)答案见解析． 【分析】（1）从向东作长度为3m的有向线段； （2）从向西作长度为3m的有向线段； （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段； （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段． 【详解】（1）从向东作长度为3m的有向线段：    （2）从向西作长度为3m的有向线段：    （3）从点起向北偏东方向作长度为4m的有向线段：    （4）从点起向南偏西方向作长度为2m的有向线段：    【能力提升】 一、单选题 1．（20-21高一上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于0 D．就是所在的直线平行于所在的直线 【答案】C 【分析】根据向量定义判断． 【详解】方向相同且长度相等的向量叫做相等向量，A错； 共线向量只要方向相同或相反，表示向量的有向线段不一定在同一直线上，B错； 长度等于0的向量是零向量，C正确； 就是所在的直线与表示所在的直线平行或重合，D错． 故选：C． 2．（21-22高一上·四川泸州·期末）已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的有关概念及单位向量的定义依次判断即得. 【详解】对于A，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同，A错误； 对于B，向量，为单位向量，但向量， 不一定为相反向量，B错误； 对于C，向量，为单位向量，则，C正确； 对于D，向量，为单位向量，向量，的方向不一定相同或相反，即与不一定平行，D错误. 故选：C. 3．（2023高一·全国·单元测试）已知与为两个单位向量，下列四个命题正确的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 【答案】D 【分析】根据相等向量，共线向量的定义进行判断. 【详解】A选项，与为两个单位向量，它们模长相等，但方向不一定相同，A选项错误； B选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，当它们反向共线时，与不相等，B选项错误； C选项，两个单位向量的夹角为或，它们才共线，但这是不一定的，C选项错误； D选项，如果与平行，即与共线，根据共线向量性质，此时它们可能同向共线或者反向共线，即或，D选项正确. 故选：D 4．（23-24高一·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合共线向量，单位向量，以及充分，必要条件的概念判断即可. 【详解】对于非零向量， 由可知向量共线，但不一定是，所以充分性不成立； 由，可知向量共线同向，则，所以必要性成立， 所以设是非零向量，则是成立的必要不充分条件， 故选：C. 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 【答案】BC 【分析】利用零向量的定义及相等向量的定义，可判断出选项A、B和C的正误，再由向量的定义知选项D错误. 【详解】对于选项A，因为零向量的方向是任意的，所以选项A错误， 对于选项B，因为零向量是方向任意，长度为0的向量，所以选项B正确， 对于选项C，因为相等向量是方向相同，长度相等的向量，所以选项C正确， 对于选项D，向量不能比较大小，向量的模长可以比较大小，所以选项D错误， 故选：BC. 6．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）下列命题中不正确的是（    ） A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则、、、四点共线 C．四边形是平行四边形，则必有 D．若非零向量与共线，则 【答案】ABD 【分析】根据相等向量，相反向量，以及共线向量的概念，逐项判定，即可求解. 【详解】A选项，由相等向量的始点相同，则终点一定也相同，所以A错误； B选项，向量与共线，只能说明、方所在直线平行或在同一条直线上， 所以B错误；， C选项，因为四边形是平行四边形，所以与是相反向量，所以，所以C正确； D选项，由向量与共线，说明与方向相同或相反，向量与不一定相等，所以D错误， 故选：ABD. 三、填空题 7．（20-21高一·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 . 【答案】平行四边形 【分析】根据平面向量的概念，可知AB与CD之间的关系，从而得到四边形ABCD的形状. 【详解】由，可知与为相等向量， ∴与方向相同且长度相等，即ABDC，且AB=DC， 又∵ABCD为四边形， ∴四边形ABCD为平行四边形（根据对边平行且相等可知）， 故答案为：平行四边形. 8．（2022高一·全国·专题练习）下列叙述： （1）单位向量都相等； （2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； （3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； （4）方向不同的两个向量一定不平行. 其中正确的有 .(填所有正确的序号) 【答案】（2） 【分析】（1）单位向量的方向不一定相同，故不相等；（2）零向量方向不确定；（3）共线向量可以起点不同，终点相同；（4）方向相反的向量是平行的. 【详解】（1）错误,单位向量模都相等，但是方向不一定相同. （2）正确,若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的. （3）错误,共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同. （4）错误,方向相反的两个向量一定平行. 故答案为：（2） 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 【答案】答案见解析. 【分析】根据方向角及飞行距离可作出向量，然后在三角形中求向量的模和方向． 【详解】以为原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴正方向建立直角坐标系． 由题意知点在第一象限，点在x轴正半轴上，点在第四象限， 向量如图所示， 由已知可得， 为正三角形，所以． 又，， 所以为等腰直角三角形， 所以，． 故向量的模为，方向为东南方向． 10．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 【答案】答案见解析． 【分析】根据有向线段的定义作图． 【详解】如图，有向线段表示方向向上、大小为20N的力，有向线段表示方向向下、大小为30N的力， 11．（24-25高一上·全国·课后作业）在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，在以点A，B，C，D，M，N为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？ 【答案】24 【分析】根据题意，画出图形，结合图形得出相等的向量共有多少对. 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示：    由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 12．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 【答案】相等，证明见解析 【分析】根据平行四边形的定义及性质可得证. 【详解】设，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 同理，，则，且， 则四边形是平行四边形， 所以，； 因此，， 则四边形是平行四边形， 所以. 即选择不同的始点作出的向量差相等， 同理可得，选择不同的始点作出的向量和相等. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 【答案】(1)8个 (2)个 【分析】（1）按向量的模长进行分类求解； （2）按向量的模长进行分类求解． 【详解】（1）解：当时，则等分点有，，，共3个，则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点时， 模长为1时，有2个，为：， 模长为2时，有2个，为：， 模长为3时，有2个，为：， 模长为4时，有2个，为：， 总共有8个． （2）由（1）知，当模长为1时，有2个， 当模长为2时，有2个， 当模长为3时，有2个，依次类推，当模长为时，有2个， 总共有个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量的概念 目录 题型归纳 1 题型01 平面向量的概念与表示 2 题型02 向量的模 3 题型03 零向量与单位向量 5 题型04 相等向量 5 题型05 平行向量（共线向量） 6 分层练习 7 夯实基础 7 能力提升 12 知识点01向量的有关概念 1、向量的模：向量的大小叫向量的模 模的特点：（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小． 2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． 3、单位向量：长度等于1个单位的向量. 将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同． 4、相等向量：长度相等且方向相同的向量. 5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线. 【注意】1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别. 2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； 共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量． 知识点02向量共线 1、向量共线的条件 （1）当向量时，与任一向量共线． （2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么由实数与向量的积的定义知与共线． 反之，已知向量与（）共线且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同向时，；当与反向时，． 2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线． 3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使． 【注意】 （1）两个向量定理中向量均为非零向量，即两定理均不包括与共线的情况； （2）是必要条件，否则，时，虽然与共线但不存在使； （3）有且只有一个实数，使． （4）是判定两个向量共线的重要依据，其本质是位置关系与数量关系的相互转化，体现了数形结合的高度统一. 题型01平面向量的概念与表示 【例1】（23-24高一·全国·假期作业）已知向量如图所示，下列说法不正确的是（    ） A．也可以用表示 B．方向是由M指向N C．起点是M D．终点是M 【变式1】（24-25高一上·北京·阶段练习）下列关于向量的说法正确的是（   ） A．物理学中的摩擦力、重力都是向量 B．平面直角坐标系上的轴、轴都是向量 C．温度含零上和零下温度，所以温度是向量 D．身高是一个向量 【变式2】（24-25高一上·上海·随堂练习）针对以下命题： ①数量可以比较大小，向量也可以比较大小；②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小；③向量的大小与方向有关；④向量的模可以比较大小 说法正确的是 （填序号）. 【变式3】（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段表示下列物体运动的速度． (1)向正东方向匀速行驶的汽车在2h内的位移是60km（用的比例尺）； (2)做自由落体运动的物体在1s末的速度（用1cm的长度表示速度2m/s）． 题型02 向量的模 【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）如图，某船从点O出发沿北偏东30°的方向行驶至点A处，求该船航行向量的长度（单位：n mile）．    【变式1】（24-25高一上·上海·随堂练习）如图，设的边长分别为1和2，其所有的边能构成哪些向量？这些向量的模分别是多少？ 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）如图，在的矩形中，起点和终点都在小方格顶点且模与相等的向量共有多少个？（除外） （2）如果扩展到的矩形呢？（除外） 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）按要求，分别以A、B、C为向量的起点，在图中画出以下向量.（图中每个小正方形的边长均为1） (1)正北方向，且模为2的向量； (2)长度为，方向为北偏西45°的向量； (3)向量的负向量. 题型03 零向量与单位向量 【例3】（20-21高一·全国·课后作业）下列说法： ①零向量是没有方向的向量； ②零向量的方向是任意的； ③零向量与任意一个向量共线. 其中，正确说法的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】（21-22高一上·内蒙古包头·期末）已知向量，则与方向相反的单位向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一·新疆·期中）下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【变式3】（高一上·江苏盐城·期末）已知单位向量、，则下面所有正确的式子有 ． （1）；（2）；（3）；（4） 题型04 相等向量 【例4】（23-24高一·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【变式1】（21-22高一·全国·课后作业）如图，四边形是等腰梯形，则下列关系中正确的是（       ） A． B． C． D． 【变式2】（21-22高一上·青海西宁·期末）如图，在正中，均为所在边的中点，则以下向量和相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·上海·课后作业）已知，，若，则 ， . 题型05 、平行向量（共线向量） 【例5】（24-25高一上·北京·阶段练习）若，为两个向量，给出以下4个条件：①与方向相反；②；③或；④与都是单位向量其中可以得到与共线的（   ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式1】（23-24高一上·全国·课后作业）给出下列命题： ①两个具有公共终点的向量，一定是平行向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③（为实数），则必为零； ④为实数，若，则与共线； ⑤向量的大小与方向有关． 其中正确的命题的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·上海·课后作业）（1）A、B、C是平面上三个不同的点，若，则A、B、C的位置关系是 ；若进一步有，则A、B、C的位置关系是 ； （2）如图，在四边形中，若，则四边形是 ． 【变式3】（23-24高一上·全国·课后作业）四边形，，都是全等的菱形，与相交于点，则下列关系中正确的序号是 ． ①；②；③；④． 【夯实基础】 一、单选题 1．（21-22高二上·河北唐山·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．若，则与的长度相等，方向相同或相反 D．若与是相反向量，则 2．（20-21高一·全国·课后作业）已知两个非零向量与共线，下列说法不正确的是（　　） A．或 B．与平行 C．与方向相同或相反 D．存在实数，使得 3．（25-26高一上·全国·随堂练习）如图，在圆中，向量，，是（    ）    A．有相同起点的向量 B．相反向量 C．模相等的向量 D．相等向量 4．（23-24高一上·全国·课后作业）下列命题： ①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同； ②若，则； ③若，则四边形ABCD是平行四边形； ④若，，则； ⑤若，，； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段； ⑦任何一个非零向量都可以平行移动． 其中，假命题的个数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多选题 5．（22-23高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 6．（23-24高一上·辽宁·期末）下列命题正确的是（    ） A．数轴上零向量的坐标为0 B．若与都是单位向量，则的最小值为0 C．若，则 D．若，则线段的中点坐标为 三、填空题 7．（23-24高一上·全国·课后作业）若与任意都平行，则 . 8．（24-25高一上·上海·课后作业）在矩形中，，分别为、的中点，在以为起点和终点的所有非零向量中，找出所有符合条件的向量： （1）与相等的向量： ； （2）的负向量： ； （3）与共线的向量： . 四、解答题 9．（24-25高一上·全国·课后作业）在如图所示的网格图中，每个小方格的边长为1个单位长度，请你用直尺和圆规画出下列向量．    (1)； (2)，使； (3)，使； (4)，使． 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，在中，，，，D是的中点.    (1)求与的夹角； (2)求与的夹角. 11．（24-25高一上·上海·课后作业）设点为正八边形的中心，分别写出与、、、相等的向量.    12．（24-25高一上·上海·课堂例题）设O是正六边形的中心，写出满足条件的向量.    (1)与相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与的模相等且平行的向量（除外）. 13．（22-23高一·全国·随堂练习）选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量． (1)终点A在起点O正东方向3m处； (2)终点B在起点O正西方向3m处； (3)终点C在起点O东北方向4m处； (4)终点D在起点O西南方向2m处． 【能力提升】 一、单选题 1．（20-21高一上·内蒙古赤峰·期末）下列说法正确的是（    ） A．方向相同的向量叫做相等向量 B．共线向量是在同一条直线上的向量 C．零向量的长度等于0 D．就是所在的直线平行于所在的直线 2．（21-22高一上·四川泸州·期末）已知单位向量，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023高一·全国·单元测试）已知与为两个单位向量，下列四个命题正确的是（    ） A．与相等 B．如果与平行，那么与相等 C．与共线 D．如果与平行，那么或 4．（23-24高一·广东江门·阶段练习）设是非零向量，则是成立的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·随堂练习）（多选）下列说法正确的是（    ） A．零向量是没有方向的向量 B．零向量的长度为0 C．相等向量的方向相同 D．同向的两个向量可以比较大小 6．（22-23高一上·辽宁铁岭·单元测试）下列命题中不正确的是（    ） A．两个有共同始点且相等的向量，其终点可能不同 B．若非零向量与共线，则、、、四点共线 C．四边形是平行四边形，则必有 D．若非零向量与共线，则 三、填空题 7．（20-21高一·全国·课后作业）已知在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的形状是 . 8．（2022高一·全国·专题练习）下列叙述： （1）单位向量都相等； （2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定； （3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同； （4）方向不同的两个向量一定不平行. 其中正确的有 .(填所有正确的序号) 四、解答题 9．（20-21高一·全国·课后作业）已知飞机从地按北偏东方向飞行到达地，再从地按南偏东方向飞行到达地，再从地按西南方向飞行到达地．画图表示向量，并指出向量的模和方向． 10．（22-23高一·全国·随堂练习）用有向线段分别表示一个方向向上、大小为20N的力，以及一个方向向下、大小为30N的力（用1cm的长度表示大小为10N的力）． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点，在以点A，B，C，D，M，N为起点或终点的向量中，相等的非零向量共有多少对？ 12．（24-25高一上·上海·课后作业）在求作两个向量的和（或差）时，可能选择不同的始点求和（或差）.思考：选择不同的始点作出的向量和（或差）都相等吗？证明此结论. 13．（24-25高一上·上海·课后作业）已知线段被n（）等分，等分点为，，，…，.从这个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当时，一共可以构成多少个互不相等的非零向量？ (2)求互不相等的非零向量总数，用n表示. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$