2.7 正方形 课件 2024—2025学年湘教版八年级数学下册

湘教版·初中数学·八年级下册 第二章：四边形 2.7正方形 正方形 应用 性质 定义 判定 研究几何图形流程图 观察思考 形成概念 你能用一张矩形纸片,折出一个最大的正方形吗?说说折出的四边形是正方形的依据. 观察思考 形成概念 正方形的定义: 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 正方形是我们熟悉的几何图形,它的四条边都相等,四个角都是直角.因此,正方形既是矩形,又是菱形.它既有矩形的性质,又有菱形的性质. 正方形是轴对称图形吗？ 它的对称轴是什么？ 回顾思考　提出猜想 平行四边形 矩形特殊性质 菱形特殊性质 性质 边 对边平行且相等 四条边都相等 角 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 对角线 对角线互相平分 对角线相等 对角线互相垂直 每一条对角线平分一组对角 回顾思考　提出猜想 猜想：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 验证猜想 探究新知 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°,AB=AD (正方形的定义). 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形(矩形的定义), 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB= BC=CD=AD. 验证猜想 探究新知 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 验证猜想 探究新知 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? A B C D 回顾思考　再探新知 问题1:矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现? 回顾思考　再探新知 问题2:菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 四边形 平行四边形 矩形 正方形 菱 形 特殊的平行四边形之间的隶属关系 例1、求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. 已知：正方形ABCD中，对角线AC、BD相较于点O. 求证：△ABO,△BCO,△CDO,△DAO是全等的等腰 直角三角形. 正方形的应用 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO,△BCO,△CDO,△DAO都是等腰直角三角形, 并且△ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 例2、如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长． 正方形的应用 正方形的应用 例3、如图，在正方形ABCD中，△BEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° 变式1、四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 正方形的应用 变式2、如图，在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB， PB=PC，连接AC、PD． （1）求证：△APB≌△DPC； （2）求证：∠BAP=2∠PAC． 正方形的应用 正方形的应用 常用全等： 知一得二： ∠EAF=45°、EF=BE+DF、 EA、FA分别平分∠BEF、∠DFE 正方形的应用 例4、正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，∠EAF=45° 求证：EF=BE+DF. M 例5、如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC与BD相交于点O，AO＝2，求正方形的周长与面积． 正方形的应用 正方形的应用 例6、如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点,而且这两个正方形的边长相等.无论正方形A1B1C1O绕点O怎样转动,两个正方形重叠部分的面积等于ー个正方形面积的 .想一想,这是为什么? 如果这两个正方形的边长不相等，结论还成立吗？ 正方形的应用 变式2、将n个边长都为2的正方形如下图摆放，点A1，A2， …An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是（　　） A．n B．n﹣1 C．4n D．4（n﹣1） 正方形的应用 变式1、如图，三个边长均为 的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（　　） A．1 B．2 C． D．4 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 Lavf57.62.100 $$