精品解析：浙江省衢州市中职学校2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷题

衢州市中职学校2024学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学试卷 考生须知： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、学校用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题卷规定的位置上；答题时，选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 2．全卷分试卷和答题卷．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 3．试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（有20小题，共40分．每小题有1个符合题意的选项，多选、不选均不给分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，下列集合中不是的子集的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形中，不能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 在0°~360°范围内，与750°角终边相同的角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 130° 7. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 8. 已知点，，点是线段的中点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 10. 为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 11. 与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 13. （ ） A. B. C. D. 14. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 15. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 17. 双曲线的实轴长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 18. 下列命题中，正确的是（    ） A. 3点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 两个平面相交，可以只有一个公共点 D. 三角形是平面图形 19. 已知角是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 20. 如图所示，是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（有5小题，共15分） 21. 函数的定义域为______． 22. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的半径为______． 23. 顶点为原点、焦点为的抛物线的标准方程为______． 24. 已知，，则______． 25. 中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶．如图所示，现从雨水、谷雨、小满、大暑、秋分、冬至6个节气中任选1个节气，则这个节气在春季的概率是______． 三、解答题（有6小题，共45分，请写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 26. 计算： （1）； （2）． 27. 已知角的终边经过点，求： （1）、和的值； （2）． 28. 已知圆的圆心为，且点在圆上． （1）求圆的半径； （2）写出圆的标准方程； （3）判断直线与圆的位置关系． 29. 如图所示，已知正方体的棱长为2． （1）写出图中与棱垂直的平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的大小． 30. 如图所示，过椭圆的左焦点且倾斜角为45°的直线交椭圆于，两点．求： （1）椭圆的左焦点的坐标； （2）直线的方程； （3）线段的长度． 31. 美丽乡村建设不仅是美丽中国建设的核心内容，也是实现乡村振兴战略的基础．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委决定把一块长为、宽为的矩形空地改建成健身广场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为四个全等的等腰直角三角形），空白区域为健身活动区，出口宽度不小于36m且不大于．设绿化区的直角边长为（单位：），健身活动区面积为（单位：）．求： （1）的取值范围； （2）关于的函数解析式； （3）健身活动区面积的最大值，以及取最大值时绿化区的直角边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衢州市中职学校2024学年度第一学期期末质量检测 高二年级数学试卷 考生须知： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号、学校用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在答题卷规定的位置上；答题时，选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分使用0.5毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 2．全卷分试卷和答题卷．请将答案做在答题卷的相应位置上，写在试卷上无效． 3．试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题（有20小题，共40分．每小题有1个符合题意的选项，多选、不选均不给分） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念即可求解. 【详解】因为集合，集合，则； 故选：C. 2. 已知，则下列式子中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 【详解】选项A：因为，两边同时减去一个数，不等号方向不变，因此选项 A 一定正确. 选项B：与已知条件相矛盾，因此选项B不正确. 选项C：因为，所以，因此选项 C 不正确. 选项D：因为，所以，所以D是不正确的. 故选：A. 3. 已知集合，下列集合中不是的子集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据子集的定义逐项判断即可得解. 【详解】，故是集合的子集； ，所以不是集合的子集； ，所以是集合的子集； ，所以是是集合的子集； 故选：. 4. 下列图形中，不能表示函数图像的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】函数的定义为对于定义域内的任意一个值，都有唯一的值与之对应， 由图可知，A选项中，有一部分对应到有两个值，故不满足函数的唯一性； 选项B，C，D，满足函数的定义， 故选：A 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用因式分解法求解一元二次不等式即可. 【详解】不等式可化为， 解得或， 故不等式的解集为或. 故选：D 6. 在0°~360°范围内，与750°角终边相同的角是（ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 130° 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的定义求解. 【详解】∵， ∴在0°~360°范围内，与750°角终边相同的角为30°. 故选：A. 7. 已知函数，则（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将代入函数中即可得解. 【详解】函数，则， 故选：. 8. 已知点，，点是线段的中点，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式即可解得. 【详解】由题，， 则中点坐标为. 故选：D 9. 已知圆柱的底面半径是3，高是4，那么圆柱的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式直接可得. 【详解】由题意设底面半径为，母线为， 圆柱的侧面积为. 故选：C. 10. 为了了解高一年级学生的视力情况，特别是近视率问题，抽查了其中100名同学的视力情况.在这个过程中，100名同学的视力情况（数据）是（　　） A. 总体 B. 个体 C. 总体的一个样本 D. 样本容量 【答案】C 【解析】 【分析】根据总体，个体，样本和样本容量的定义进行求解. 【详解】对A：高一年级学生的视力情况为总体，故A项错误； 对B：高一年级每一个学生的视力情况为个体，故B项错误； 对C：100名同学的视力情况（数据）是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合， 所以是总体的一个样本，故C项正确； 对D：100为样本容量，故D项错误. 故选：C. 11. 与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行直线的求法即可求解. 【详解】直线与直线的斜率不同，因此两直线相交； 直线与直线的斜率相同，截距不同，因此两直线平行； 直线与直线的斜率不同，因此两直线相交； 直线与直线的斜率不同，因此两直线相交. 故选：B. 12. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解含绝对值的不等式即可得解. 【详解】不等式，解得， 所以解集为， 故选：. 13. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则即可得解. 【详解】， 故选：. 14. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由诱导公式即可得解. 【详解】由诱导公式可得. 故选:. 15. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件的充分性与必要性进行判断即可. 【详解】因为，若，则，充分性得证； 若，推不出，则必要性无法证明， 则“”是“”的充分不必要条件； 故选：A. 16. 下列函数中，在区间上为减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用常见函数在区间上的单调性直接得到答案. 【详解】在区间上，函数、、有定义且单调递增， 函数在区间上单调递减. 故选：C. 17. 双曲线的实轴长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线方程得到，即可求解实轴长. 【详解】双曲线为，则，， 则双曲线的实轴长为； 故选：D. 18. 下列命题中，正确的是（    ） A. 3点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面 C. 两个平面相交，可以只有一个公共点 D. 三角形是平面图形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面的基本性质进行判断即可解得. 【详解】选项A：不共线的3点才能确定一个平面，错误； 选项B：一条直线和直线外一点确定一个平面，错误； 选项C：两个平面相交，有一条公共直线，有无数个公共点，错误； 选项D：角形的两条边一定相交，根据“过两条相交直线，有且只有一个平面”，三角形的两条边确定一个平面， 而第三边的两个端点在该平面内，根据“如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线在此平面内”确定第三边在该平面内，故三角形是一个平面图形，正确. 故选：D 19. 已知角是第一象限角，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用同角三角函数基本关系式结合三角函数在各象限的符号可求. 【详解】因为角是第一象限角，且，则， 则； 故选：C. 20. 如图所示，是一个几何体的三视图，根据图中数据可得该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据几何体三视图分析几何体的形状，再根据球的表面积公式即可解得. 【详解】由几何体三视图可知该几何体为球， 又知球的半径为， 则球的表面积为， 故选：D 二、填空题（有5小题，共15分） 21. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为零即可求得. 【详解】要使函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 22. 已知扇形的圆心角为，且弧长为，则该扇形的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据弧长公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为r，则由弧长公式， 解得. 故答案为：3. 23. 顶点为原点、焦点为的抛物线的标准方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意设出抛物线的标准方程，结合焦点坐标求出值即可得解. 【详解】由题意设抛物线的标准方程为， 因为焦点为，所以， 所以抛物线的标准方程为， 故答案为：. 24. 已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，，则， 故答案为：. 25. 中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶．如图所示，现从雨水、谷雨、小满、大暑、秋分、冬至6个节气中任选1个节气，则这个节气在春季的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】雨水、谷雨、小满、大暑、秋分、冬至6个节气中， 任选1个节气共有中选法， 其中春季的节气有雨水、谷雨2个， 所以这个节气在春季的概率是， 故答案为：. 三、解答题（有6小题，共45分，请写出必要的文字说明、过程或演算步骤） 26. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）利用对数的运算化简求值即可； （2）利用指数幂的运算化简求值即可. 【小问1详解】 原式； 【小问2详解】 原式． 27. 已知角的终边经过点，求： （1）、和的值； （2）． 【答案】（1），，； （2） 【解析】 【分析】（1）首先计算点到原点的距离，再分别计算、、； （2）由的值结合商数关系，代入计算. 【小问1详解】 点到原点的距离， 则，，； 【小问2详解】 原式． 28. 已知圆的圆心为，且点在圆上． （1）求圆的半径； （2）写出圆的标准方程； （3）判断直线与圆的位置关系． 【答案】（1）5 （2） （3）相交 【解析】 【分析】（1）已知圆心为，且点在圆上，直接计算两点距离得到半径； （2）已知圆心坐标和半径，写出圆的标准方程； （3）计算圆心到直线的距离，判断其与半径的大小关系. 【小问1详解】 圆的圆心为，且点在圆上， 则圆的半径. 【小问2详解】 已知圆心为，半径， 圆的标准方程为. 【小问3详解】 圆心到直线的距离， 直线与圆相交. 29. 如图所示，已知正方体的棱长为2． （1）写出图中与棱垂直的平面； （2）求三棱锥的体积； （3）求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）平面，平面 （2） （3）45° 【解析】 【分析】（1）根据正棱柱的结构特征即可求解. （2）根据三棱锥的体积公式，即可求解. （3）根据立体几何的射影知识，找到线面角，并求出该角的大小. 【小问1详解】 由正棱柱的结构特征即可知，平面与棱垂直，平面与棱垂直， 【小问2详解】 正方体的棱长为2， 所以， 又平面， . 【小问3详解】 平面 是在平面上的射影，即是直线与平面所成的角， 又在中，， 是等腰直角三角形，即 故直线与平面所成角的大小为. 30. 如图所示，过椭圆的左焦点且倾斜角为45°的直线交椭圆于，两点．求： （1）椭圆的左焦点的坐标； （2）直线的方程； （3）线段的长度． 【答案】（1）. （2）. （3）. 【解析】 【分析】（）根据椭圆方程求出值即可得解. （）根据直线的倾斜角求出直线斜率，结合直线的点斜式方程即可得解. （）方法一：联立方程组，利用韦达定理及弦长公式即可得解. 方法二：联立方程组求出坐标，代入两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 由题意可知：，，故，， 椭圆的左焦点的坐标为. 【小问2详解】 直线的斜率， 又直线过左焦点，故直线的方程为，即. 【小问3详解】 方法一：设，， 联立，消去整理得：， 由韦达定理可知：，， 由弦长公式可得线段的长度为， . 方法二：设，， 联立，消去整理得：， 解得或， 由两点间距离公式可得，线段的长度为 ． 31. 美丽乡村建设不仅是美丽中国建设的核心内容，也是实现乡村振兴战略的基础．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委决定把一块长为、宽为的矩形空地改建成健身广场．设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为四个全等的等腰直角三角形），空白区域为健身活动区，出口宽度不小于36m且不大于．设绿化区的直角边长为（单位：），健身活动区面积为（单位：）．求： （1）的取值范围； （2）关于的函数解析式； （3）健身活动区面积的最大值，以及取最大值时绿化区的直角边长． 【答案】（1） （2） （3），最大值为． 【解析】 【分析】（1）根据出口宽度的范围建立不等式，即可求解的范围. （2）根据健身活动区的面积等于矩形面积减去绿化区面积即可. （3）根据第二问的函数解析式求出最大值及相应的边长. 【小问1详解】 依题意，绿化区的直角边长为，则出口宽度的表达式为， 根据出口宽度不小于且不大于， ，得到， 故的取值范围为（单位：） 【小问2详解】 矩形面积为， 等腰直角三角形面积为， 故健身活动区面积关于的函数解析式为 ,（）． 【小问3详解】 由（2）可知， 又，开口向下，函数在上单调递减， 故当即绿化区直角边为时， 健身活动区面积取最大值，最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $