精品解析：浙江省临海市2022-2023学年职业学校高三上学期期末统测数学试题

临海市2022学年第一学期期末职业学校统考试卷 高三数学（闭卷） 2023.1 考生须知： 1．本卷共4页，三大题35小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔将学校、班级、姓名、座位号、准考证号填写在答题卡相应位置，并在试卷上方填写好座位号，然后在答题卡规定的位置答题.答案做在试卷上不得分. 一、选择题（本大题共20小题，第1-10小题每题2分，第11-20小题每题3分，共50分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用并集的概念求解. 【详解】集合，，则. 故选：C. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据赋值法和不等式的基本性质，即可求解. 【详解】选项A中，若，满足，但，选项错误， 选项B中，，故，根据不等式的基本性质可知，，即，选项正确， 选项C中，若，满足，但，选项错误， 选项D中，若，满足，但，选项错误， 故选：B. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断. 【详解】∵中，，∴， ∴中，“”是“”的充要条件. 故选：C． 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式列不等式组求解. 【详解】要使函数有意义，需满足， 则函数的定义域是. 故选：D. 5. 如图所示，正方形中，点P是中点，则（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法法则运算即可. 【详解】 . 故选：A. 6. 角终边上有一点，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的定义求解. 【详解】，故D正确； 因为的正负情况不确定，所以ABC错误. 故选：D. 7. 倾斜角为0的直线经过点和点，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角计算斜率，再由直线经过的点坐标，即可求解. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以，即直线平行于轴， 又直线经过点和点，直线方程为. 故选：B. 8. 3位学生参加4个兴趣小组活动，每人选择一个小组，共有不同的选择结果数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】每人都可以有4种选择，所以种. 故选：C. 9. 椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆的标准方程确定，再根据求出，进而求出离心率. 【详解】由椭圆得， 所以，， 则离心率. 故选：. 10. 空间中有两不同直线和，平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行与线面垂直的概念及性质逐项判断. 【详解】若，，则或，故A错误； 若，，则或相交或异面，故B错误； 若，，则或，故C错误； ∵垂直同一平面的两直线互相平行， ∴若，，则，故D正确. 故选：D. 11. 在圆上的点到直线的距离等于3，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，结合半径的长度分析求解即可. 【详解】由圆的方程可知圆心为，半径， 圆心到直线的距离，，所以有三个点符合题意. 故选：C. 12. 某公司计划下一年度生产一种新产品，下面是各部门提供的数据信息：①人事部：明年可生产该新产品的工人不多于80人，且每人每年按2400工时计算；②市场部：预测明年该新产品销售量至少10000件；③技术部：生产一件该新产品，平均要用12个工时，每件产品需要安装某种主要部件5个；④供应部：今年年终库存这种主要部件2000个，明年能采购到这种主要部件80000个.根据这些信息，明年该公司的这种新产品产量范围可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设明年产量为台，根据用工工时和部件数量建立不等式，再结合明年该新产品销售量至少10000件，求解范围即可. 【详解】设明年产量为台，明年可用的总工时为（工时）， 部件库存个，明年采购个，共个， 则有， 又因为明年销量至少10000件，所以， 所以新产品产量范围可能是. 故选：C. 13. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设垂线为，将代入求解即可. 【详解】由题意，设垂线为，代入得到，即， 所以，所求垂线方程为. 故选：D. 14. 若角和满足，，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式计算判断. 【详解】，故A错误； 由A知， 而，则，故B正确； ，故C错误； ， 而，则，故D错误. 故选：B. 15. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，再令，则，根据的范围，求解值域即可. 【详解】要使函数有意义，则， 令，则， 所以， 所以函数的值域为. 故选：A. 16. 现有5个参观某个美术展的名额分配给A、B、C、D四个班级，每个班级至少分到1个名额，则A班分到2个名额的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用古典概型的概率公式求解. 【详解】将5个名额分配给A、B、C、D四个班级，每班至少1个名额，有以下4种不同分配方案： A班分到2个名额，B、C、D班每班各1个名额； B班分到2个名额，A、C、D班每班各1个名额； C班分到2个名额，A、B、D班每班各1个名额； D班分到2个名额，A、B、C班每班各1个名额. 所以A班分到2个名额的概率为. 故选：B. 17. 函数的最大值等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换化简函数，进而求解最大值即可. 【详解】 ， 因为，所以， 所以，即， 因此函数最大值为. 故选：B. 18. 过点的直线与双曲线有且仅有一个交点，则直线的方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知点双曲线右顶点右侧，则直线与渐近线平行，由此即可解答. 【详解】已知双曲线中，， 则，右顶点为，则点双曲线右顶点右侧， 渐近线为， 所以只有当直线与渐近线平行时才能与双曲线有且仅有一个交点， 所以直线的斜率为，则直线方程为. 即或， 故选：A. 19. 等比数列中，若，，则（ ） A. B. 17 C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质求解即可. 【详解】由题意知，成等比数列， 所以， 因为，所以. 故选：C. 20. 王明到一蛋糕店预先付款定制了如图所示式样的一个三层蛋糕，该蛋糕三层均为制作材料完全相同、形状相似的圆柱体，且每层高度相同，每层的半径尺寸成等差.等王明去蛋糕店取蛋糕时，店员告诉他由于店里原因无法提供王明定制的该款型蛋糕，但可以给他换成与定制蛋糕的中间层大小、制作材料等均相同的三个分开装的蛋糕且不再收取费用.如果仅考虑大小，不考虑其他因素，王明要是接受店员这个更换方案，则他所换的三个蛋糕总价值与原定蛋糕价值相比，一定是（ ） A. 赚便宜了 B. 吃亏了 C. 等价变换 D. 是否吃亏与蛋糕尺寸有关 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的定义与圆柱的体积公式分析求解即可. 【详解】设三层蛋糕半径公差，中间蛋糕半径， 则上下两层蛋糕半径分别为和， 原三层蛋糕体积大小为， 而3个中间层蛋糕总体积大小，显然， 所以他所换的三个蛋糕总价值与原定蛋糕价值相比，一定是吃亏了. 故选：B 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 函数，若，则_____. 【答案】或 【解析】 【分析】分别讨论当和两种情况，将代入解析式，列方程求解即可. 【详解】已知函数，且， 则当时，，解得， 当时，，解得， 故答案为：或. 22. 数列满足，则_____. 【答案】2035 【解析】 【分析】利用等比数列的求和公式及分组求和法计算. 【详解】 . 故答案为：2035. 23. 以坐标原点为对称中心、长轴在轴上的椭圆，其焦距等于2，且经过点，则椭圆标准方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的焦距和经过的点坐标得到，再结合焦点位置，即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距为2，所以， 又椭圆经过点，所以，即， 因为椭圆的长轴在轴上，故焦点在轴上， 即方程为. 故答案为： 24. 已知，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的商数关系，结合诱导公式，即可化简求值． 【详解】． 故答案为：． 25. 展开式中项的系数等于_____.（填具体数字） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由二项式，可得展开式的通项为 ， 由， 所以项的系数等于. 故答案为：. 26. 若，则的最小值是_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立， 所以最小值为. 故答案为：. 27. 表面积为的球体的体积等于_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据球体的表面积公式求出球的半径，再由球的体积公式求值即可. 【详解】由，得， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，每题须写出必要的解答步骤） 28. 计算： 【答案】8 【解析】 【分析】根据对数的运算法则、分数指数幂与根式的互化及组合数的计算求解即可. 【详解】原式 . 29. 如图所示，平行四边形中，是对角线交点，对角线，，，求： （1）边长； （2）平行四边形的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件求得，再利用正弦定理求解； （2）利用三角形面积公式求出，然后由求出答案. 【小问1详解】 ，， ，又， ， ，即，得：； 【小问2详解】 ， ， . 30. 已知圆，经过点的直线交圆于、两点，，求： （1）圆心和半径，并判断点与圆的位置关系； （2）直线的方程. 【答案】（1）圆心，半径3，点在圆内. （2）或. 【解析】 【分析】（1）首先将圆一般方程转化为标准方程，确定圆心与半径，再将点代入圆的标准方程中即可确定点与圆的位置关系. （2）设直线为：，根据弦长公式求出，再由点到直线的距离公式列方程求解出，再考虑斜率不存在时是否成立即可. 【小问1详解】 由圆， 可得， 圆心，半径， 点代入圆方程得：， 点在圆内. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时， 设直线为：，即：， 若圆心到直线距离为，由， 可得， 解得， ，解得：， 方程为：，即为：， 当当直线的斜率不存在时，圆心到直线的距离也是1， 所以直线也符合题意， 综上所述，直线的方程为或. 31. 已知，若，求： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据角的范围分析三角函数值的正负，利用同角三角函数平方关系求得，再根据两角和的正弦公式求解. （2）根据二倍角的余弦公式求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以 即 【小问2详解】 . 32. 数列中，，若，求： （1），，； （2）通项公式. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系式求解即可； （2）由递推关系式，结合累加法求解通项公式即可. 小问1详解】 【小问2详解】 ... 以上各式相加得到： . 33. 如图所示，直三棱柱中，，，，二面角的大小等于，求： （1）直线与平面所成角的正切值； （2）三棱锥体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件可得是二面角的平面角，从而，可求得，可证得平面，则是与平面所成的角，求解即可； （2）利用棱锥的体积公式求解. 【小问1详解】 平面，平面，，， 就是二面角的平面角，即有：， ，，． 平面，平面，， 又，，平面， 平面，就是与平面所成的角． ， . 【小问2详解】 ∵平面，， ∴三棱锥的体积 . 34. 已知以坐标原点为顶点的抛物线的焦点在轴上，经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若点到焦点的距离等于，求： （1）抛物线标准方程和值； （2）. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据焦半径公式可求出，写出抛物线标准方程，在将代入求出即可. （2）根据点的坐标和焦点的坐标，确定的直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立求出点，最后运用两点之间的距离公式求值即可. 【小问1详解】 因为抛物线的焦点在轴上，且点在抛物线上， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴，设其方程为， 因为点到焦点的距离等于， 则有，， 所以抛物线方程为：， 点代入得到：，得. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，则，焦点， 直线方程为：，即：， ，即， 解得或，， ； 当时，则，焦点， 直线方程为：，即：， ，即， 解得或，， ； 综上所述，. 35. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．求： （1）绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ （3）身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请写出的取值范围. 【答案】（1） （2）不能 （3） 【解析】 【分析】（1）抛物线的解析式为：，利用待定系数法求解即可； （2）求出绳子甩的最大高度，与小兵的身高比较即可； （3）由题意列出不等式求解. 【小问1详解】 因为抛物线过点，所以设抛物线的解析式为：， 又抛物线过点， ，解得：，， . 【小问2详解】 ， 绳子甩的最大高度为， ， 小兵不能站在绳子正下方让绳子通过他的头顶. 【小问3详解】 由题意，当时，需满足， 即，得， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临海市2022学年第一学期期末职业学校统考试卷 高三数学（闭卷） 2023.1 考生须知： 1．本卷共4页，三大题35小题，满分150分，考试时间120分钟. 2.请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔将学校、班级、姓名、座位号、准考证号填写在答题卡相应位置，并在试卷上方填写好座位号，然后在答题卡规定的位置答题.答案做在试卷上不得分. 一、选择题（本大题共20小题，第1-10小题每题2分，第11-20小题每题3分，共50分） 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 中，“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 函数定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，正方形中，点P是中点，则（ ） A. B. C. D. 6. 角终边上有一点，若，则一定有（ ） A. B. C. D. 7. 倾斜角为0的直线经过点和点，则有（ ） A. B. C. D. 8. 3位学生参加4个兴趣小组活动，每人选择一个小组，共有不同的选择结果数量是（ ） A. B. C. D. 9. 椭圆的离心率等于（ ） A. B. C. D. 10. 空间中有两不同直线和，平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 11. 在圆上的点到直线的距离等于3，这样的点有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 12. 某公司计划下一年度生产一种新产品，下面是各部门提供的数据信息：①人事部：明年可生产该新产品的工人不多于80人，且每人每年按2400工时计算；②市场部：预测明年该新产品销售量至少10000件；③技术部：生产一件该新产品，平均要用12个工时，每件产品需要安装某种主要部件5个；④供应部：今年年终库存这种主要部件2000个，明年能采购到这种主要部件80000个.根据这些信息，明年该公司的这种新产品产量范围可能是（ ） A. B. C. D. 13. 过点且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C D. 14. 若角和满足，，则下列等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 15. 函数的值域是（ ） A. B. C. D. 16. 现有5个参观某个美术展的名额分配给A、B、C、D四个班级，每个班级至少分到1个名额，则A班分到2个名额的概率是（ ） A. B. C. D. 17. 函数的最大值等于（ ） A. 1 B. C. D. 18. 过点的直线与双曲线有且仅有一个交点，则直线的方程是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 19. 等比数列中，若，，则（ ） A B. 17 C. 8 D. 20. 王明到一蛋糕店预先付款定制了如图所示式样的一个三层蛋糕，该蛋糕三层均为制作材料完全相同、形状相似的圆柱体，且每层高度相同，每层的半径尺寸成等差.等王明去蛋糕店取蛋糕时，店员告诉他由于店里原因无法提供王明定制的该款型蛋糕，但可以给他换成与定制蛋糕的中间层大小、制作材料等均相同的三个分开装的蛋糕且不再收取费用.如果仅考虑大小，不考虑其他因素，王明要是接受店员这个更换方案，则他所换的三个蛋糕总价值与原定蛋糕价值相比，一定是（ ） A. 赚便宜了 B. 吃亏了 C. 等价变换 D. 是否吃亏与蛋糕尺寸有关 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分） 21. 函数，若，则_____. 22. 数列满足，则_____. 23. 以坐标原点为对称中心、长轴在轴上的椭圆，其焦距等于2，且经过点，则椭圆标准方程是_____. 24 已知，则_____. 25. 展开式中项的系数等于_____.（填具体数字） 26. 若，则的最小值是_____. 27. 表面积为的球体的体积等于_____. 三、解答题（本大题共8小题，共72分，每题须写出必要的解答步骤） 28. 计算： 29. 如图所示，平行四边形中，是对角线交点，对角线，，，求： （1）边长； （2）平行四边形的面积. 30. 已知圆，经过点的直线交圆于、两点，，求： （1）圆心和半径，并判断点与圆的位置关系； （2）直线的方程. 31. 已知，若，求： （1）； （2）. 32. 数列中，，若，求： （1），，； （2）通项公式. 33. 如图所示，直三棱柱中，，，，二面角的大小等于，求： （1）直线与平面所成角的正切值； （2）三棱锥的体积. 34. 已知以坐标原点为顶点的抛物线的焦点在轴上，经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若点到焦点的距离等于，求： （1）抛物线标准方程和值； （2）. 35. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线．如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是，身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶．求： （1）绳子所对应的抛物线的解析式； （2）身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？ （3）身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请写出的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$