28.1.2 余弦函数和正切函数 课件 2024--2025学年人教版九年级数学下册

28.1 锐角三角函数 第二十八章 锐角三角函数 28.1.2 余弦函数和正切函数 核心素养 1.使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的邻边与斜边、对边与邻边的比值也都固定这一事实。 2.逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3.经历探索直角三角形边角关系的过程，初步感受数形结合的思想方法。 知识回顾 如图所示， 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA. 正弦函数的定义： A B C 即： 也就是说，在 Rt△ABC 中，当锐角 A 确定时，∠A的对边与斜边的比是一个固定值. 想一想：在 Rt△ABC 中，当锐角A确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与∠A的邻边的比是否也是一个固定值呢？ 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A确定时，∠A的对边与斜边的比随之确定.此时，其他边之间的比是否也随之确定呢？为什么？ 问题探究 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'， 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 知识探究 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角 形大小如何，∠A的邻边与斜边的比都是一个固定值. 知识梳理 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作 cos A，即cosA= A B C c b a 斜边 对边 锐角的余弦是一个比值，是一个没有单位的数值。 由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有0＜cosA＜1 邻边 课堂小练 A C B 12 13 求出以下直角三角形两个锐角的余弦值。 模拟真题 (2019·温州模拟)，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，则cos B的值是（ ） A C B A. B. C. D. B 任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使得∠C=∠C'=90°，∠A=∠A'， 那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ 知识探究 这就是说，在Rt△ABC中，当锐角A的度数一定时，无论这个直角三角 形大小如何，∠A的对边与邻边的比都是一个固定值. 知识梳理 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作 tan A，即tanA= A B C c b a 斜边 对边 正切是一个比，没有单位。 tan2A表示（tanA）2，不能写成tanA2 邻边 课堂小练 A C B 3 2 求出以下直角三角形两个锐角的正切值。 例题训练 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=7.5，则tan A的值是（ ） A C B A. B. C. D. C 例题 例2如图28.1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sin A，cos A， tan A的值. 问题探究 问题1：如图所示， 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°，45°，60°时，∠A的邻边与斜边的比是一个固定值吗？为什么？ A B C 容易得到： 当∠A=30°时， 当∠A=45°时， 当∠A=60°时， 由此可得，在Rt△ABC中，当∠A=30°，45°，60°时，∠A的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 想一想：当∠A是任意一个锐角时，∠A的邻边与斜边的比值还是 一个常数吗？ 问题2：如图所示，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 还是一个固定值吗？为什么？ A B C A' B' C' 问题探究 得出结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的邻边与斜边的比也是 一个固定值． 余弦函数的定义： 总结归纳 如图所示，在Rt△ABC中，我们把锐角∠A的邻边与斜边的比,叫做∠A的余弦，记作cos A，即: 当∠A＝30°时， 当∠A＝45°时， 当∠A＝60°时， 即：cosA随∠A的增大而减小. 　　我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 想一想 问题探究 问题3：如图所示， 在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°，45°，60°时，∠A的对边与邻边的比是一个固定值吗？为什么？ A B C 容易得到： 当∠A=30°时， 当∠A=45°时， 当∠A=60°时， 由此可得，在Rt△ABC中，当∠A=30°，45°，60°时，∠A的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 想一想：当∠A是任意一个锐角时，∠A的对边与邻边的比值还是 一个常数吗？ 问题4：如图所示，任意画Rt△ABC和Rt△A'B'C'，使∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 还是一个固定值吗？为什么？ A B C A' B' C' 问题探究 得出结论：这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与邻边的比也是 一个固定值． 正切函数的定义： 总结归纳 如图所示，在Rt△ABC中，我们把锐角∠A的对边与邻边的比,叫做∠A的正切，记作tan A，即: 当∠A＝30°时， 当∠A＝45°时， 当∠A＝60°时， 即：tanA随∠A的增大而增大. 由此，你发现了什么？与同伴交流. 问题探究 问题5：如图所示， 在Rt△ABC中，∠C=90°，写出∠A、∠B正弦函数、余弦函数和正切函数并计算sin2A+cos2A的值. 互余两个角的三角函数关系： 任意一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值 同一个锐角的正弦与余弦的平方的和为1. 互余的两个锐角的正切值互为倒数. 总结归纳 1.sinA=cosB =cos(90°-∠A) 2.cosA=sinB =sin(90°-∠A) 3.sin2A+cos2A=1 4.tanA·tanB=1 典例精析 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，求 sinA,cosA,tanA的值. A B C 10 6 解：由勾股定理得： =8 能力提升 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，tan B= .求sin A的值. A C B 能力提升 如图，在△ABC中，AB=AC=10，sinB= ， 求边BC的长度. 1.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），那么cosα的值是（　　） 巩固练习 D A. B. C. D. y A（4，3） O x α 2.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m， ∠A=35°，则直角边BC的长是（　　） A 练一练 A B C A. msin35° B.mcon35° C. D. A B C 6 例2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6， sinA = ，求 cosA、tanB 的值． ∵ 解：在Rt△ABC中， 又∵ 典例精析 方法技巧：在直角三角形中，如果已知一 边长及一个锐角的某个三角函数值，即可求出其他的所有锐角三角函数值 练一练 1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13. sinA=______，cosA=______，tanA=____， sinB=______，cosB=______，tanB=____. A B C 12 13 A B C 8 2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8， tanA= ， 求sinA，cosA 的值． 解析：由于∠A、∠C所对的弧相同，因此cosA=cosC，由此可得BF、AF、AB的比例关系，可用未知数表示出它们的长．连接BD，易证△BDF∽△ABF，根据所得比例线段即可求得未知数的值，从而得到直径AB的长，从而得到⊙O的半径． 典例精析 例2 如图，AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB于E，过点B的切线与AD的延长线交于点F．若cos∠C= ，DF=3， 求⊙O的半径． O F C D E A B 解：连接BD． 在⊙O中，∠C=∠A， ∵BF是⊙O的切线，∴∠ABF=90°． 设AB=4x，则AF=5x， 由勾股定理得，BF=3x． ∵AB是⊙O的直径，∴BD⊥AD， ∴△ABF∽△BDF， ∴ ⊙O的半径为： O F C D E A B ∴cosA=cosC= 解题过程： 1.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍, tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 2.已知，在Rt△ABC中，∠A,∠B为锐角， (1)若∠A=∠B,则cosA cosB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. A B C ┌ C = = 当堂练习 ┌ B C A 3 6 (1) B ┌ A C 3 (2) 当堂练习 3.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB; (2)如图(2),BC=3,tanA= ,求AC和AB. A B C 8 当堂练习 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8， tanA＝ ，求：sinA、cosB的值． A B C 当堂练习 5. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝ ，求sinA、tanA的值． 6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB， 垂足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值. 解: ∵ CD⊥AB ∴∠B+ ∠A=90° ∴∠B = ∠ACD， ∴ tan∠B = tan∠ACD = ∠ACB＝ ∠ADC =90° ∴ ∠ACD+ ∠A =90° 当堂练习 A B C D 7. 如图，在△ABC中，AB=AC=4，BC=6. 求cosB 及 tanB 的值. 解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D. ∵ AB = AC，BC=6， ∴ BD = CD = 3， 在 Rt△ABD 中， A B C D 提示：求锐角的三角函数值的问题，当图形中没有直角三角形时，可以用恰当的方法构造直角三角形. 当堂练习 当堂练习 8. 矩形ABCD中AB=10，BC=8，E为AD边上一点，沿CE将△CDE对折，使点D正好落在AB边上，求tan∠AFE． A B C D E F 解析：根据题意，结合折叠的性质，易得∠AFE=∠BCF，进而在Rt△BFC中，有BC=8，CF=10，由勾股定理易得BF的长，根据三角函数的定义，易得tan∠BCF的值，借助∠AFE=∠BCF，可得tan∠AFE的值． 小结 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(cosine)，记作 cos A，即cosA= 在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作 tan A，即tanA= 谢谢聆听 $$