28.1 第1课时 锐角三角函数的定义 课件-2024-2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.1 第1课时 锐角三角函数的定义 1.理解并掌握锐角正弦、余弦和正切的的定义并能进行相关运算.． 2.在直角三角形中求锐角的正弦值、余弦值和正切值．(重点) 3.能灵活运用锐角三角函数进行相关运算.（难点） 情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌.先测得斜坡的坡脚（∠A）为30°，为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管？ Rt△ABC ∠C=90° ∠A=30° ∠A的对边BC 斜边AB 35 70 50 100 k 2k 已知直角三角形的边长求正弦值 一 互动探究 A B C 35m ? 30° 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. 在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半 你发现了什么？ 50m k 斜边 对边 重要发现！！ 直角三角形中，不管三角形的大小如何，30°角的对边与邻边的比都等于 如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？ B A C 斜边 对边 45° ∵∠A=45°∠C=90°∴AC=BC 由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2 你发现了什么？ 直角三角形中，45°角的对边与邻边的比都等于 重要发现！！ 直角三角形中，45°角的对边与邻边的比都等于 斜边 对边 固定值 一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 问题来了？？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝ ，那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ A B C B' A' C' 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C' 由于∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个 ． 固定值 知识要点 认识新朋友sine B A C 斜边 对边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正弦，记号里习惯省去角的符号“∠”；但是sin∠ABC这样的表示不省略角的符号 sinA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中∠A的对边与斜边的比； sinA不表示“sin”乘以“A”。 注意 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． A B C 13 5 (2) 试着完成图（2） 例题示范 (1) A B C 3 4 A B C 6m 10m D E F 判断对错 直角三角形中 才有对边比邻边 √ √ × × × 互动探究 问题 同学们，从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 35m ? 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. 30° 已知直角三角形的边长求正弦值 一 A B C 30° 35m 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m,求AB. 所以AB=2BC=70m. 因为在直角三角形中，30°的角所对的边等于斜边的一半 问题：如果出水的高度为50m,那么需要准备多长的水管？ 50m 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 归纳 问题：如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？ 因为∠A=45°，则AC=BC，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2. 问题：如果∠A=45°，那么BC与AB的比是一个定值吗？ A B C 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C＝90°， ∠A＝45 计算∠A的对边与斜边的比 ， 你能得出什么结论？ 所以 ,因此 归纳 当∠A 是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 在直角三角形中，如果一个锐角等于45°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 . 任意画Rt△ABC 和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°， ∠A＝∠A'＝α，那么 有什么关系．能解释一下吗？ A B C A' B' C' 因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α， 所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'. ∴ ∴ ∴ 这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比也是一个固定值． 定义 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦（sine），记作sinA 即 例如，当∠A＝30°时，我们有 当∠A＝45°时，我们有 A B C c a b ∠A的对边 斜边 在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c 当锐角A的度数变化时， ∠A 的对边与斜边的比随之变化。 注意： 小刚说：对于任意锐角α，都有 你认为他说得对吗？为什么？ 0 ＜ ＜1 议一议： 锐角α的对边总会小于斜边而又大于0 1.正弦的定义:在直角三角形中 3.sinA是∠A的函数. 这节课我们学习了： 2.在Rt△ABC中，锐角A的对边和斜边同时扩大 100倍，sinA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小 C.不变 D.不能确定 C 牛刀小试 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值为（ ） A. A Ｃ B 3.如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10， sinB= ， BC的长是 ． 2.若sin（65°-∠A)= ,则∠A= 20° 8 学以致用 B 4、如图2：P是平面直角坐标系上 的一点，且点P的坐标为（3,4）， 则sin = A O P( 3 , 4 ) 在直角三角形中 如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，图中sinB等于哪两条线段的比。 D C B A 解：在Rt△ABC中， 在Rt△BCD中， 因为∠B=∠ACD，所以 求一个角的正弦值，除了用定义直接求外，还可以转化为 求和它相等角的正弦值。 转化思想 1.判断对错: A 10m 6m B C (1) （ ） (2) （ ） (3)sin A=0.6m （ ） (4)sin B=0.8 （ ） √ √ × × sin A是一个比值（注意比的顺序），无单位； 2)如图②， （ ） × 巩固练习 A B C 1) 如图① 图① 图② 2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 ( ) A. 扩大100倍 B. 缩小 C. 不变 D. 不能确定 C 3.如图，在正方形网格中有△ABC，则 sin∠ABC 的值为 . 例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求sinA和sinB的值． 解：（1）在Rt△ABC中， 因此 （2）在Rt△ABC中， 因此 素养考点 1 利用正弦的定义求有关角的正弦值 A B C 3 4 （1） A B C 13 5 （2） 求sinA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比 课本p64 问题引入 如图所示， △ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？ 已知直角三角形的边长求余弦值和正切值 一 余弦 一 互动探究 我们来试着证明前面的问题： ∵ ∠A=∠D=α ，∠C=∠F=90°， ∴ ∠B=∠E. 从而 所以 ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. ∠A=∠D = α，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ 法一： 法二： 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦（cosine），记作cosA 即 A B C c a b ∠A的邻边 斜边 　　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，求cosA和cosB的值． 　　在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，求∠B的余弦值． 解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，AC＝4， 正切 二 　　我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边（或邻边）与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？ 想一想 问题 如图， △ABC 和△DEF 都是直角三角形， 其中∠A=∠D=α ，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？ ∴ Rt△ABC∽Rt△DEF. 即 BC·DF = AC·EF ， ∠A=∠D = α，∠C =∠F = 90°， ∵ ∴ ∴ 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 角 的对边 角 的邻边 　　如下图，在直角三角形中，我们把锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tanα， 即 由此可得，在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切（tangent），记作tanA 即 A B C c a b ∠A的邻边 ∠A的对边 　　如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，求tanA和tanB的值． 　　在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，c＝3a，tanA的值为(　　) B 例2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值和余弦值. 解：如图，设点 A (3，0)，连接 PA . A (3，0) 在Rt△APO中，由勾股定理得 因此 α 素养考点 2 在平面直角坐标系内求锐角的三角函数值 结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解. 　　在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝45°，求sinB的值． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∴∠B＝45°， 则AC＝BC, ∴ AB＝ AC, 　　在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝3，求sinB的值． 解：在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝1，BC＝3， A B C c a b ∠A的邻边 ∠A的对边 在Rt△ABC中∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c， 斜边 锐角三角函数的定义 正弦函数的概念 余弦函数的概念 正切函数的概念 敬请指导! $$