精品解析：江苏省对口单招教学联盟2024-2025学年高二上学期单招班期末联合考试数学试ti

江苏省对口单招教学联盟 2024～2025学年第一学期单招班期末联合考试 二年级·数学 2025－01 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第II卷第2至4页．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知，复数为纯虚数，则复数的模为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 25 2. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. －42 B. 36 C. 14 D. －14 3. 已知是等比数列，若，，则公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 4. 如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 6. 从，，，，这7个整数中取2个不同的数，则2个数之和为偶数的不同取法有（ ） A. 9种 B. 18种 C. 21种 D. 42种 7. 若随机变量服从二项分布，则（ ） A. 10 B. 5 C. 6 D. 12 8. 有5名学生参加3项不同的比赛，每名学生只参加1项比赛，则不同的参赛方法有（ ） A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种 9. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 1 D. 10. 已知函数的图像为，则以下结论不正确的是（ ） A. 图像关于直线对称 B. 函数在区间上是增函数 C. 图像关于点对称 D. 将的图像向右平移个单位，即得图像 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 已知，则________. 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． 13. 某学校高一年级有1500名学生，一次数学考试的成绩近似服从正态分布，已知，则估计高一年级数学成绩在120分以上的有________人. 14. 已知向量，，则的最大值为________． 15. 若，，则方程可表示________条不同的双曲线． 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知复数满足（i为虚单位）． （1）求复数； （2）若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 17. 已知，，且，求的值． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，交于点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且． （1）求的面积； （2）若，求的值． 20. 数列中，，且在平面直角坐标系中的中点坐标为. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 21. 某自行车租赁公司初期投入36万元，正式经营后每年收入25万元．记该公司第年需要付出的维修费用为万元，已知为等差数列，相关信息如表所示． 1 2 6 8 （1）设该公司前年总盈利（即年总收入减去初期投入额及总维修费用）为万元，试把表示成的函数，并求出总盈利的最大值； （2）该公司经营几年后，年平均盈利最大，并求出最大值． 22. 4名男生和3名女生排成一排拍摄毕业照，求按下列要求各有多少种排法： （1）男生必须排在一起； （2）女生互不相邻； （3）男，女生相间； （4）女生按指定顺序排列． 23. 从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： （1）的分布列； （2）选出的医护人员中至少有2名医生的概率； （3）选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省对口单招教学联盟 2024～2025学年第一学期单招班期末联合考试 二年级·数学 2025－01 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分．第Ⅰ卷第1至2页，第II卷第2至4页．两卷满分150分．考试时间120分钟． 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请选出符合要求的答案，并将答题卷上对应的字母涂黑） 1. 已知，复数为纯虚数，则复数的模为（ ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 25 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的分类求得参数，再利用复数模的计算公式即可得解. 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得， 所以，则， 则. 故选：A. 2. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. －42 B. 36 C. 14 D. －14 【答案】C 【解析】 【分析】先写出二项式的通项公式，再求常数项的系数. 【详解】二项式的通项为 ， 令则， 常数项为. 故选：C. 3. 已知是等比数列，若，，则公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可得解. 【详解】因为是等比数列，，， 所以，所以. 故选：B. 4. 如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】找出直线与平面所成的角，然后在直角三角形中根据正切函数的定义求出正切值. 【详解】 连接，因为平面 ， 所以 在平面 上的射影为 ， 则就是 与平面 所成的角， 因为是中点，设正方体的棱长为，则. . 故选：A. 5. 已知数列满足，，则（ ） A. 61 B. 62 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用数列的递推关系即可求解. 【详解】由，得，则，， ，，. 故选：C. 6. 从，，，，这7个整数中取2个不同的数，则2个数之和为偶数的不同取法有（ ） A. 9种 B. 18种 C. 21种 D. 42种 【答案】A 【解析】 【分析】先对个整数分奇数和偶数，再根据2个数之和为偶数利用组合易得答案. 【详解】因为在，，，，这7个整数中，奇数有个，偶数有个， 取2个不同的数和为偶数有两种情况， 第一种都取奇数有种，第二种都取偶数有种， 所以不同取法有种. 故选：A. 7. 若随机变量服从二项分布，则（ ） A. 10 B. 5 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】由和的关系，可以得到. 【详解】由可以得到，. 代入公式，得到. 故选：C. 8. 有5名学生参加3项不同的比赛，每名学生只参加1项比赛，则不同的参赛方法有（ ） A. 8种 B. 15种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步计数原理可求. 【详解】每个学生都有三种选择，则有种； 故选：D. 9. 设，，若是与的等比中项，则的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给题意，运用基本不等式进行求解即可. 【详解】因为是与的等比中项， ，即，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4. 故选：B. 10. 已知函数的图像为，则以下结论不正确的是（ ） A. 图像关于直线对称 B. 函数在区间上是增函数 C. 图像关于点对称 D. 将的图像向右平移个单位，即得图像 【答案】D 【解析】 【分析】将x代入，由函数值得到函数图像关于点和线的对称性，再根据正弦函数的单调性和“左加右减”的平移原则，即可求解. 【详解】A中，代入，得到，是的最小值，因此图像关于直线对称，A正确. B中，由的增区间为，解得. 代入，故函数在区间上是增函数，B正确. C中，代入，解得，因此图像关于点对称，C正确. D中， 向右平移后的方程为，与形式不同且无法通过转化得到，D错误. 故选：D. 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填写在答题卷中横线上） 11. 已知，则________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用赋值法即可得解. 【详解】因为， 令，得. 故答案为：0. 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据等差数列的前项和，结合等差数列的性质求值即可. 【详解】已知为等差数列，且， 则， 即，解得， 故答案为：6. 13. 某学校高一年级有1500名学生，一次数学考试的成绩近似服从正态分布，已知，则估计高一年级数学成绩在120分以上的有________人. 【答案】240 【解析】 【分析】先根据正态分布的对称性求出，再根据总人数求出成绩在120分以上的人数. 【详解】对于正态分布，， 所以， 又因为，且， 所以， 所以， 因为高一年级共有名学生， 所以高一年级数学成绩在分以上的有. 故答案为：. 14. 已知向量，，则的最大值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量模的坐标表示，向量的线性运算，同角三角函数的基本关系式，正弦函数的性质，两角和与差的正弦公式即可求解. 【详解】由题意得，向量 . 当时，取最大值，即为. 故答案为：. 15. 若，，则方程可表示________条不同的双曲线． 【答案】13 【解析】 【分析】根据双曲线方程的特点得出，在根据分步和分类计数原理易得答案. 【详解】因为，，方程表示双曲线， 所以在中选一个，且在中选一个，总共条， 或在中选一个，且在中选一个，总共条， 所以方程可表示条不同的双曲线． 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知复数满足（i为虚单位）． （1）求复数； （2）若复数是关于x的方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的乘法运算化简即可解得. （2）将复数代入方程解得，进行相乘即可解得. 【小问1详解】 ， 即，， 所以. 【小问2详解】 由题复数是关于x的方程的一个根， 则将代入方程，即， 整理可得， 即， 故解得 所以. 17. 已知，，且，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差公式，进行化简，即可求解. 【详解】，， ． ，， 又，． ， ． 18. 如图，在棱长为2的正方体中，，交于点． （1）求证：平面平面； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理与面面平行的判定定理即可得证； （2）利用等体积法，结合棱锥的体积公式即可得解. 【小问1详解】 因为在正方体中，，， 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面， 同理：平面， 又因为，平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 因为， 因为在正方体中，平面， 所以. 19. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，且． （1）求的面积； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用内积公式求出，利用同角三角函数基本关系式求出，然后利用三角形面积公式可求； （2）利用余弦定理结合（1）求出，然后利用正弦定理可求. 【小问1详解】 ，， 即，， ，， ． 【小问2详解】 ， ， 由，解得， ． 20. 数列中，，且在平面直角坐标系中的中点坐标为. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据中点坐标公式求出，即可写出等差数列的通项公式. （）整理数列的通项公式，利用分组求和即可得解. 【小问1详解】 由题意得：. 即. 所以是公差为2的等差数列. . 【小问2详解】 当. 所以的前n项和为. 所以数列的前项和为. 21. 某自行车租赁公司初期投入36万元，正式经营后每年收入25万元．记该公司第年需要付出的维修费用为万元，已知为等差数列，相关信息如表所示． 1 2 6 8 （1）设该公司前年总盈利（即年总收入减去初期投入额及总维修费用）为万元，试把表示成的函数，并求出总盈利的最大值； （2）该公司经营几年后，年平均盈利最大，并求出最大值． 【答案】（1），最大值为64万元 （2）6年，最大值为8万元． 【解析】 【分析】（1）由等差数列的求和公式建立关于y表示成n的函数即可求解； （2）平均盈利是一个关于n的函数，利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意，是首项为6，公差为2的等差数列，则， 所以，， 所以当时，，即总盈利的最大值为64万元． 【小问2详解】 年平均盈利为， 当且仅当，即时，年平均盈利最大． 所以该公司经营6年后，年平均盈利最大，最大值为8万元． 22. 4名男生和3名女生排成一排拍摄毕业照，求按下列要求各有多少种排法： （1）男生必须排在一起； （2）女生互不相邻； （3）男，女生相间； （4）女生按指定顺序排列． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）运用“捆绑法”列式，结合排列数计算法则计算即可. （2）运用“插空法”列式，结合排列数计算法则计算即可. （3）运用“位置限定法”列式，结合排列数计算法则计算即可. （4）用总数除以女生的全排列的数量，结合排列数计算法则计算即可. 【小问1详解】 首先将4名男生排列有种排法， 再将4名男生看成一个元素，与余下的3名女生排列有种排法， 则共有（种）. 【小问2详解】 首先将4名男生排列有种排法， 4名男生形成5个空，将余下的3名女生放入5个空中排列有种排法， 则共有（种）. 【小问3详解】 首先将4名男生排列有种排法， 将3名女生排列有种排法，男，女生相间， 故男生只能排第一，三，五，七的位置， 所以（种）. 【小问4详解】 首先个人全排列共有种排法， 将3名女生排列有种排法， 则女生按指定顺序排列共有（种）. 23. 从3名医生，4名护士中随机选出3人参加志愿服务，记选出的医生人数为，求： （1）的分布列； （2）选出的医护人员中至少有2名医生的概率； （3）选出的医护人员中至多有2名医生的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知的可能取值为，，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由选出的医护人员中至少有2名医生有2种情况，分别是选出2名医生和选出3名医生，利用分布列求出其概率； （3）由选出的医护人员中至多有2名医生，利用间接法可知排除选出3名医生的情况结合分布列求出其概率. 【小问1详解】 根据题意，的取值为，，，． ， ， ， ． 的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】 ． 选出的医护人员中至少有2名医生的概率是． 【小问3详解】 ． 选出的医护人员中至多有2名医生的概率是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $