精品解析：河北省职教高考研究联合体2024-2025学年高三上学期第三次联合考试数学试题

2024～2025学年河北省职教高考研究联合体第三次联合考试 数学试题 2025-01 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分．考试时间120分钟．其中第一道大题（20个小题）为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效．不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记． 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回． 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 设集合，，则等于（ ）． A. B. C. 或 D. 且 2. 若复数，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知的解集是，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 4. 下列函数不是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 5. 若函数与的图像关于直线对称，则满足不等式的x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知和分别是方程的两个根，则（ ） A. 1 B. 10 C. 100 D. 7. 若，则在区间上解的个数为（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 直线与圆的位置关系是（ ）． A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 9. 如图所示，已知网格纸的各小方格都是正方形，实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）． A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥 10. 已知是定义在上的奇函数，当，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3 11. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 12. 已知直线l经过圆的圆心，且直线l的倾斜角满足，则直线l的方程为（ ）． A. B. C. D. 13. 设l，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 14. 设随机变量X的概率分布列见下表，已知，则等于（ ）． X 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 15. 已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（ ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 16. 在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（ ） A. B. C. D. 17. 已知等比数列的前3项之和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 2或 18. 下列关于函数的描述，正确的是（ ）. A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数在区间上为增函数 19. 以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程是（　　） A. B. C. D. 20. 若函数定义域为R，则a的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 已知函数，若，则__________． 22. 在中，，则的大小为__________． 23. 已知双曲线的两个焦点，，经过右焦点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，且，则的周长为__________． 24. 已知圆锥的底面圆半径是，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为__________． 25. 将4个大小相同、颜色不同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，则每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号的概率为__________． 三、解答题（本大题共5小题，共45分．要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 26. 已知数列是公差不为0的等差数列，，． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）设，求数列的通项公式． 27. 已知的内角的对边分别为，并且. （1）求角C的大小； （2）若，，求c的值及的面积. 28. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 29. 某校100名学生参加中华传统文化知识竞赛，将他们的分数按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率直方图，其中. （1）求频率直方图中，的值； （2）采用分层抽样的方法，从分数在，的学生中抽取容量为6的样本，再从这6个样本中随机抽取2个，求至少一人分数在的概率. 30. 如图所示，已知椭圆经过两点，. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆左焦点且与直线平行的直线l交椭圆于两点，椭圆右焦点为，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年河北省职教高考研究联合体第三次联合考试 数学试题 2025-01 说明： 一、本试卷共4页，包括三道大题30个小题，共120分．考试时间120分钟．其中第一道大题（20个小题）为选择题． 二、答题前请仔细阅读答题纸上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．在答题纸上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题纸非题号对应的答题区域的答案一律无效．不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题纸上做任何标记． 三、做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选涂答案擦干净，再选涂其他答案． 四、考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回． 一、选择题（本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求．） 1. 设集合，，则等于（ ）． A. B. C. 或 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的并集的概念和运算，结合题意，即可求解. 【详解】因为集合，， 所以且. 故选：D. 2. 若复数，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出共轭复数，然后利用复数的乘法运算求解即可. 【详解】复数的共轭复数为， 则； 故选：A. 3. 已知的解集是，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由，解得，结合其解集，列出方程组，从而得解. 【详解】由，解得， 又的解集是， 所以，解得，， 则. 故选：C. 4. 下列函数不是偶函数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性逐项判断即可得解. 【详解】选项，定义域为，，为偶函数； 选项，定义域为，，为奇函数； 选项，定义域为，，为偶函数； 选项，定义域为，，为偶函数. 故选：. 5. 若函数与的图像关于直线对称，则满足不等式的x的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数互为反函数，图像关于直线对称，可得的解析式，根据对数函数的单调性，即可求解不等式. 【详解】因为函数与的图像关于直线对称， 所以， 因为，即，解得， 即x的取值范围是. 故选：D. 6. 已知和分别是方程的两个根，则（ ） A. 1 B. 10 C. 100 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用韦达定理找到两根之间关系，再利用对数的运算性质进行求解 【详解】为的根， ，. 故选：D． 7. 若，则在区间上解的个数为（ ）． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的值，可求得x的取值集合，结合题意，即可求得满足条件的x得取值，继而求解. 【详解】因为， 所以，则， 因为， 所以时，； 时，； 时，； 时，； 故它在区间上解的个数为4个. 故选：B. 8. 直线与圆的位置关系是（ ）． A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离判断即可. 【详解】因为圆，所以圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线与圆相离. 故选：C 9. 如图所示，已知网格纸的各小方格都是正方形，实线画出的是一个几何体的三视图，则该几何体是（ ）． A. 三棱锥 B. 三棱柱 C. 四棱柱 D. 四棱锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图判断几何体即可. 【详解】 由三视图的正视图可知，有一个面为直角三角形， 由侧视图与俯视图可知其余各面为长方形， 综合可判断为三棱柱； 故选：B 10. 已知是定义在上的奇函数，当，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义和性质，结合题意，先求出参数a，继而求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，当，， ，解得， 当，，， 所以. 故选：A. 11. 已知向量，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的模的计算，结合题意即可判断求解. 【详解】因为向量，， 所以， 所以，故选项B正确，选项A错误； 所以， 所以，故选项C错误； 所以，故选项D错误； 故选：B. 12. 已知直线l经过圆的圆心，且直线l的倾斜角满足，则直线l的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程求出圆心坐标，结合题意，利用同角三角函数的关系，结合题意求出斜率，继而求出直线方程． 【详解】因为， 所以， 所以圆心坐标为， 因为，， 所以， 所以，即直线l的斜率， 因为直线l经过圆心， 所以直线l的方程为，即． 故选：B． 13. 设l，m是两条不同的直线，是平面，则下列命题正确的是（ ）． A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质定理和空间中的直线的位置关系判断即可. 【详解】选项A，根据线面垂直的判定定理，当垂直平面内两条相交直线时，则，故不正确； 选项B，由线面垂直的性质可知，平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直这个平面，故正确； 选项C，，则或两线异面，故不正确； 选项D，，则，故不正确； 故选：B 14. 设随机变量X的概率分布列见下表，已知，则等于（ ）． X 1 2 3 4 P m n A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的性质与均值公式求解即可. 【详解】由分布列可知，，即， 因为，即， 所以, 所以， 故选：C 15. 已知取表中的数值，若具有线性相关关系，线性回归方程为，则＝（ ） 0 1 3 4 a 4.3 4.8 6.7 A. 2.2 B. 2.4 C. 2.5 D. 2.6 【答案】A 【解析】 【分析】根据线性回归方程经过样本中心，计算即可求解. 【详解】由题意可知：，， 所以样本中心为， 代入回归方程有：，解得. 故选：. 16. 在6个不同元素进行全排列，若其中两个元素必须排两端，且两元素必须相邻，那么排法种数有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先对两个元素进行全排列，再运用捆绑法考虑和余下的元素，最后运用乘法计数原理计算即可得出结果. 【详解】已知必须在两端，所以先排列，共有种排法， 且必须相邻，所以排列，共有种排法， 最后将当成一个元素，和余下的两个元素一起排列，共有种排法， 综上所述，排法种数共有， 故选：B. 17. 已知等比数列的前3项之和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为（ ） A. 1 B. C. 或1 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得出等式求解. 【详解】设前3项,得, 求得. 故选:C. 18. 下列关于函数的描述，正确的是（ ）. A. 函数为偶函数 B. 函数的值域为 C. 函数的最小正周期为 D. 函数在区间上为增函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式，先将函数化简为正弦型函数，结合正弦型函数的图象和性质，即可判断求解. 【详解】A，因为， 所以函数为奇函数，不是偶函数，故A错误； B，函数的值域为，故B错误； C，函数的最小正周期为，故C正确； D，令，则， 而不是的子集， 所以函数在区间上不为增函数，故D错误； 故选：C. 19. 以原点为顶点，x轴为对称轴的抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知写出焦点坐标，再由焦点坐标求出抛物线方程即可解得. 【详解】由题意得，该抛物线的焦点在x轴上，则焦点纵坐标为0，代入直线方程，解得 ， 即抛物线焦点为，则，即，所以此抛物线的方程为； 故选：B 20. 若函数定义域为R，则a的取值范围是（ ）. A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用对数型函数的定义域，结合一元二次不等式恒成立的问题求解即可. 【详解】函数的定义域满足， 因为函数的定义域为R， 所以的解集为R， 则，解得或， 所以a的取值范围是且. 故选：B. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 21. 已知函数，若，则__________． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】根据分段函数求函数值，结合题意，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. 22. 在中，，则的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正切函数的和角公式化简，然后利用三角形内角和为可求. 【详解】 ， ， ， ，则， 因为三角形内角和为，则， 则. 故答案为：. 23. 已知双曲线的两个焦点，，经过右焦点的直线与双曲线的右支交于A，B两点，且，则的周长为__________． 【答案】22 【解析】 【分析】根据双曲线的定义与双曲线方程求解即可. 【详解】因为双曲线，则， 所以由双曲线定义可知， 所以两式相加可得， 所以， 即的周长为22. 故答案为：22 24. 已知圆锥的底面圆半径是，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据底面圆半径求出底面圆周长，设母线长为，再由侧面展开图的弧长等于底面圆的周长列方程求解 【详解】已知圆锥的底面圆半径是， 则底面圆周长为，设母线长为， 且侧面展开图为半圆， 则，解得， 故答案为：. 25. 将4个大小相同、颜色不同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，则每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号的概率为__________． 【答案】##0.625 【解析】 【分析】根据组合的应用与概率的公式求解即可. 【详解】由题意知，将4个大小相同、颜色不同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里， 每个球都有两种放法，故共有种放法， 满足题意的放法有两类： 第一类，1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有种放法； 第二类，1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种放法； 所以每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号的概率为， 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，共45分．要写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．） 26. 已知数列是公差不为0的等差数列，，． （1）求数列的通项公式及前n项和； （2）设，求数列的通项公式． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，先求出公差，继而求得数列的通项公式和前n项和； （2）根据题意，结合，利用裂项相消法，即可求得数列的通项公式. 【小问1详解】 因为数列是公差不为0的等差数列，，， 所以，即， 整理得，所以， 所以数列的通项公式； 前n项和； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以. 即数列的通项公式. 27. 已知的内角的对边分别为，并且. （1）求角C的大小； （2）若，，求c的值及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合余弦定理，即可求解； （2）根据余弦定理，代入即可求得c的值，根据三边之间的关系，易判断是直角三角形，继而求得三角形的面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）知，又，， 所以， 所以， 所以，所以是直角三角形， 所以. 28. 如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧棱平面，且，求： （1）二面角的大小； （2）三棱锥的体积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的判定定理和性质定理及菱形的性质，易证是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥的体积公式，即可求解. 【小问1详解】 如图，连接，交于O，连接， 因为底面是边长为2的菱形， 所以, 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 所以是二面角的平面角， 因为， 因为， 所以, 所以， 在中，， 所以， 即二面角的大小为； 【小问2详解】 由题意，,, 所以， 所以三棱锥的体积. 29. 某校100名学生参加中华传统文化知识竞赛，将他们的分数按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率直方图，其中. （1）求频率直方图中，的值； （2）采用分层抽样的方法，从分数在，的学生中抽取容量为6的样本，再从这6个样本中随机抽取2个，求至少一人分数在的概率. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中，纵坐标的和组距=1，即可求解. （2）先按照题意求出抽取人数，然后运用分类计数原理求解. 【小问1详解】 由频率直方图可知，组距为20， 所以. 又由， 解得，. 【小问2详解】 分数在，的学生频率分别为和， 因此采用分层抽样的方法，从这两组中抽取容量为6的样本， 应从中抽2人，从中抽4人. 从这6个样本中随机抽取2个，至少一人分数在，有两种情况， 一人在，一人在，概率为， 两人都在，概率为， 利用分类计数原理，至少一人分数在的概率为. 30. 如图所示，已知椭圆经过两点，. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆左焦点且与直线平行的直线l交椭圆于两点，椭圆右焦点为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，将已知两点的坐标代入椭圆方程，求出的值，继而求出椭圆的标准方程； （2）根据题意，先求出直线的斜率，结合题意，表示出直线l的方程，与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理，利用弦长公式，求出弦长，利用点到直线的距离公式求出点到直线l的距离，即可求出的面积. 【小问1详解】 因为椭圆经过两点，， 所以，即，，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 由（1）知，椭圆方程为， 所以，所以， 因为点，，所以直线的斜率， 所以过椭圆左焦点且与直线平行的直线l的方程为，即， 所以，消元整理得， 设，则， 所以弦长， 又点到直线l的距离为， 所以的面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $