第1章 二次根式讲义-2024-2025学年浙教版数学八年级下册

二次根式 【知识点一.二次根式的定义】 形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号； 判断一个式子是二次根式，需要满足以下条件：（1）根指数必须是2；（2）被开方数为非负数. 知识点二.二次根式有无意义的条件： （1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数． （2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 【例题讲解一：二次根式的基本概念】 例1．下列根式是二次根式的是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1-2】下列各式：① ② ③ ④，其中一定是二次根式的是 ．（只填序号） 【变式1-3】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．是二次根式的为 ． 【变式1-4】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： ，，，，，，，，（）． 【例题讲解二：求二次根式的值】 例2.已知二次根式，当时，此二次根式的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式2-1】当时，二次根式的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】当时，二次根式的值是 ． 【变式2-3】当时，二次根式的值为 ． 【变式2-4】已知二次根式. （1）求x的取值范围； （2）求当x=-2时，二次根式的值； （3）若二次根式的值为零，求x的值. 【例题讲解三：求二次根式中的参数】 例3.已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【变式3-1】已知是正整数，是整数，则的值可以是（    ） A．5 B．7 C．9 D．10 【变式3-2】若是一个整数，则最小正整数的值是 ． 【变式3-3】如果是一个整数，那么最小正整数 ． 【变式3-4】（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【例题讲解四：二次根式有意义的条件（直接问题）】 例4.若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】若代数式有意义．则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】有意义，则x的取值范围为 ． 【变式4-3】在函数中，自变量的取值范围是 ． 【变式4-4】求下列函数中自变量的取值范围： (1) (2) 【例题讲解五：二次根式有意义的条件（间接问题）】 例5.若有意义，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D． 【变式5-1】成立的条件是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如果，那么 ． 【变式5-3】若，则的值是 ． 【变式5-4】已知：，求的值． 【例题讲解六：二次根式的其他问题】 例6.已知实数满足，则的值为（      ） A． B． C． D． 【变式6-1】若、、是两两不等的实数，且满足下列等式：，则的值是（　　） A． B． C． D．条件不足，无法计算 【变式6-2】已知，则值等于 ． 【变式6-3】已知，则的值是 ． 【变式6-4】“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约为． (1)小丽站在海边的一幢高楼顶上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时的值； (2)已知一座山的海拔为，这座山到海边的最短距离为，天气晴朗时站在山巅能否看到大海？请说明理由． 【课堂习题】 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 4．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在函数中，自变量的取值范围是 ． 7．已知函数，则自变量的取值范围是 ． 8．已知为实数，，则 ． 9．若实数，，满足关系式，则的值为 10．已知，则值等于 ． 11．若，为实数，且，求的值． 12．已知a、b满足，求的平方根． 13．（1）若，都是实数，且，求的立方根； （2）已知的立方根是3，的算术平方根是3，是的整数部分，求的值． 14．已知实数满足等式． (1)的取值范围是 ； (2)小明求出的值为，他的答案正确吗？为什么？ 15．已知、、满足． (1)求 、、 的值； (2)判断： 以 、、为三角形的三边长能否构成三角形?若能，判断这个三角形的形状；若不能，请说 明理由． 【课后作业】1．下列各式一定是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（　　）. A． B． C． D． 3．下列各式中，是二次根式有（　　） ① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ . A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．若是二次根式，则x的值可以是（　　） A．1 B．-1 C．-2 D．-3 5．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．x>-1 B．x<-1 C．x≥-1 D．x≤-1 6．二次根式中字母的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．要使式子有意义，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a＞﹣2且 a≠0 C．a＞2或 a≠0 D．a≥﹣2且 a≠0 8．使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 9．若x，y为实数，且，则x+y的值为(　　) A．7 B．1 C．-7 D．-1 10．若代数式 有意义，那么直角坐标系中点P（m，n）的位置在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．二次根式中x的取值范围是　 　． 12．代数式 有意义，则x的取值范围是　 　. 13．要使二次根式有意义，则x的值可以是　 　 （写出一个即可） 14．已知x，y均为实数，y=，则x+y的值为　 　 15．若，则=　 　. 16．若实数a、b满足等式 ，且a，b恰好是等腰三角形ABC的边长，则这个等腰三角形的周长是　 　. 17． 为何值时，下列各式有意义？ （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 二次根式的性质 【知识点一.二次根式的性质】 （1），（双重非负性）． （2）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． 应用：在实数范围内分解因式：（3） （4）=·（a≥0，b≥0） （5）=（a≥0，b>0） 【知识点二.二次根式的化简】 （1）二次根式化简的步骤： ①把被开方数分解因式； ②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来； ③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，所得结果为最简二次根式或整式． （2）最简二次根式的条件： 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【例题讲解一：利用二次根式的性质化简】 例1．化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【变式1-1】已知，则（   ） A． B． C．10 D．100 【变式1-2】化简： ． 【变式1-3】化简： ． 【变式1-4】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【例题讲解二：数轴与二次根式的化简】 例2.实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【变式2-1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【变式2-2】已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【变式2-3】在数轴上表示a，b，c三数的点的位置如图所示，化简： ． 【变式2-4】实数，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： 【例题讲解三：利用二次根式的性质化简含未知数的式子】 例3.若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，则化简后为 ． 【变式3-3】已知，则 ． 【变式3-4】在下列条件下化简． (1)； (2)； (3) 【例题讲解四：复合二次根式的化简问题】 例4.下列各式中，与化简所得结果相同的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简： ． 【例题讲解五：利用二次根式的性质计算】 例5.计算：． 【变式5-1】计算：． 【变式5-2】计算：. 【变式5-3】计算：． 【变式5-4】先化简，再求值：，其中． 【课堂习题】 1．实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 2．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 4．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 6．已知，，在数轴上的位置如图：化简代数式的值为 ． 7．若满足等式，则的值为 ． 8．已知：，m，n均为正整数，则的最小值为 ． 9．实数，在数轴上的位置如图所示，化简：．    10．计算： (1)． (2)． 【作业题】 1、若实数、、在数轴上的对应点如图所示，则的结果是（　　） A． B． C． D． 2、若a、b为实数，在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ）． A． B． C． D． 3、如图是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律，第2022行从左向右数第2021个数是（    ） A．2021 B． C． D． 4、下列计算正确的是（　　） A．＝±4 B．﹣＝﹣8 C．＝2 D．﹣ 5、如图是由一串有公共点O的直角三角形演化而成的，，那么的长为（    ） A． B．4 C．3 D． 6、把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 7、下列各式中，正确的是  （    ） A． B． C． D． 8、已知x，y是正整数，若，则x+y的值是（    ） A．187或143 B．137或275 C．143或275 D．5或11 9、把化为最简二次根式得________． 10、直接写出下列各式的结果； （1）_________；      （2）_________；     （3）_________；（4）_________；   （5）_________； （6） _________；（7）__________ 11、若实数a满足a﹣1，且0＜a，则a＝__． 12、计算：＝_____． 13、已知是整数，则正整数n的最小值为___________． 14、对于正数a，b，化简可得_____． 15、已知a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式：的值为 _____． 16、 若a≤1，则化简为_____． 17、实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简 18、实数a、b在数轴上的位置如图所示．化简． 19、如图，四边形中，于B，且，若，求四边形的面积． 20、实数a，b，c是数轴上三点A，B，C所对应的数，如图，化简＋|a－b|－|b-c| 二次根式的运算 【知识点1. 二次根式的乘除法】 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： （1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如. 【知识点2.二次根式的加减法】 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 【知识点3. 最简二次根式】 （1）被开方数是整数或整式； （2)被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 【知识点4.同类二次根式】 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 【例题讲解一：二次根式的乘法】 例1．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】计算 ． 【变式1-3】计算∶ ． 【变式1-4】计算：． 【二：二次根式的除法】 例2.计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【变式2-1】计算÷的结果是（　　） A．4 B．2 C． D． 【变式2-2】计算的结果是 ． 【变式2-3】 ． 【变式2-4】计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【例题讲解三：二次根式的乘除混合运算】 例3.计算的结果是（　　） A．1 B． C． D． 【变式3-1】计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】计算： ． 【变式3-3】计算： ． 【变式3-4】计算： (1)； (2)． 【例题讲解四：最简二次根式的判断】 例4.下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】二次根式、、、中，最简二次根式是 ． 【变式4-3】下列二次根式中：①；②；③；④，是最简二次根式的是 （填序号）． 【变式4-4】判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【例题讲解五：化为最简二次根式】 例5.将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】设实数，则x的整数部分为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式5-2】将根式，，，，中是最简二次根式的填在横线上 ． 【变式5-3】已知，，化简 ． 【变式5-4】下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简． (1)； (2)； (3)． 【例题讲解六：已知最简二次根式求参数】 例6.与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【变式6-1】已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【变式6-2】已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的m的整数值： ． 【变式6-3】写出一个正整数n，使是最简二次根式，则n可以是 ． 【例题讲解七：同类二次根式】 例7.下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【变式7-3】若与最简二次根式可以合并，则 ． 【变式7-4】已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求出a的值； (2)若，化简． 【例题讲解八：二次根式的加减运算】 例8.下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】实数的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】计算： ． 【变式8-3】计算：= ． 【变式8-4】计算：． 【例题讲解九：二次根式的混合运算】 例9.下列各式计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】化简得（    ） A． B． C．2 D． 【变式9-2】计算的结果等于 ． 【变式9-3】计算： ． 【变式9-4】计算： (1)； (2)． 【例题讲解十：分母有理化】 例10.化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】如果，，那么、的关系是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】分母有理化： ； 【变式10-3】分母有理化： ． 【例题讲解十一：已知字母的值化简求值】 例11.若，则代数式的值为（    ） A． B．4 C．3 D．2 【变式11-1】已知，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】已知，，则 ． 【变式11-3】已知，则的值为 ． 【变式11-4】计算：已知：，，求． 【例题讲解十二：比较二次根式的大小】 例12.比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式12-1】已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【变式12-2】比较大小： （请用<， >或=填空） 【变式12-3】比较大小：① ；② ；③ （填“”，“”，“”号）． 【变式12-4】比较与的大小． 【例题讲解十三：二次根式的应用】 例13.一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为（   ） A．42 B．27 C．12 D．10 【变式13-1】高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分(阴影部分)的面积为 ． 【变式13-3】小明同学从一张面积为的正方形I中剪出一个面积为的小正方形II，并按如图所示摆放，其中，，三点共线，线段 ． 【变式13-4】如图，张大伯家有一块大长方形空地，长方形空地的长为宽为现要在空地中划出一块长方形地养鸡（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形养鸡场的长为宽为 (1)求大长方形空地的周长．（结果化为最简二次根式） (2)张大伯种植的蔬菜每平方米产量为15千克，求张大伯种植蔬菜的总产量． 【课堂习题】 1．估计的值应在（   ）之间． A．7到8 B．8到9 C．9到10 D．10到11 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．估计的运算结果应在（   ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 4．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．已知一列数据为，，，，，，，…，若第10个数据用字母a表示，则下列各数中，与的积为有理数的是（　　） A． B． C． D． 6．比较大小： ．（填“”、“”、“”）． 7．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 8．已知若、是分别是整数部分和小数部分，则的值为 ． 9．（1）用“”或“”号填空：____________． （2）化简：______，______． （3）计算：． 10．计算： (1) (2) 11．温州市2024年口袋公园建设成效显著，推动完善“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升了使命绿化感受度和获得感．在打造口袋公园的过程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块，长为米，宽为米，现要在其上修建两个形状大小相同的长方形绿地（图中阴影部分），每块长方形绿地的长为米，宽为米． (1)求长方形空闲地块的周长． (2)除去修建绿地的地方，其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为25元/平方米的地砖，要铺满整个通道，则购买地砖需要花费多少元? 【课后作业】 1.计算×的结果是(　　) A.　B.3　C.2　 D.7 2.下列计算正确的是(　　) A.2×=4　B.2×=3 C.×=　D.×=4 3.计算:×=　　　.   4.计算: ×. 5.下列计算正确的是(　　) A.÷=　B.= C.3÷=　 D.= 6.计算: (1)÷=　　　　　;  (2)=　　　　. 7.若a=1+,b=,则a与b的关系是(　　) A.互为倒数　B.互为相反数 C.相等　D.互为负倒数 8.计算的结果是　　　　.  9.计算÷4×的结果是 (　　) A.1　B.　C.　D. 10.计算: (1)×÷; (2) ×÷.  11.下列二次根式中,是最简二次根式的是(　　) A.　B.　 C.　D. 12.下列计算正确的是(　　) A.×=15　B.=2 C.=1+　D.×=5 13.计算×(a≥0)的结果是　　　　.   14.若x=-,则x=　　　　.   15.计算:4÷3×2a. 16.计算:÷·(a>b>0). 17.已知x,y为实数,且y=++1,能否求出·的值?若能,请求出结果;若不能,请说明理由. 18.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D.若S△ABC=3 cm2, BC= cm,求AC和CD的长. 学科网（北京）股份有限公司 $$