5.1.1变化率问题（第一课时）课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.1 变化率问题 5.1导数的概念及其意义 1 在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识，定性的研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长” 是越来越慢的，“指数爆炸” 比“直线上升” 快得多，进一步的能否精确定量的刻画变化速度的快慢呢，下面我们就来研究这个问题。 （一）创设情境，导入新课 问题1 跳水运动员的速度 高台跳水运动中，运动员在运动过程中速度是变化的吗？什么时候快一些？什么时候慢一些，如何去刻画这种不同时刻的不同速度问题？ 速度是变化的，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快。 （一）创设情境，导入新课 1.瞬时速度的概念 探究1.在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度（单位：)与起跳后的时间(单位：)存在函数关系 如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？ (二)探究归纳，形成概念 直觉和物理学的知识告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动的越来越慢，在下降阶段运动的越来越快，我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似的描述它的运动状态。 问题1.1 如何求函数中的取值范围？ 由和求得的取值范围. 问题1.2 你能计算在 这段时间里的平均速度吗？在 1≤ t ≤2这段时间里的平均速度吗？ (二)探究归纳，形成概念 问题1.3 一般地，在 这段时间内的平均速度公式是什么？ 在这段时间里的平均速度. 在这段时间里的平均速度. 问题1.3 请计算运动员在 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 我们发现，运动员在这段时间里的平均速度为0.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态. 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. (二)探究归纳，形成概念 (二)探究归纳，形成概念 探究2.瞬时速度与平均速度有什么关系？如何利用这种关系求运动员在时的瞬时速度？ 设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是 . 可以想象，如果不断缩短这一段时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度. (二)探究归纳，形成概念 (二)探究归纳，形成概念 (二)探究归纳，形成概念 (二)探究归纳，形成概念 追问1.求运动员在时的瞬时速度？ 追问2.如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？ 题型一:运动物体的平均速度 典例1．已知米. (1)求从3秒到3.1秒的平均速度； (2)求从3秒到3.01秒的平均速度. （三）例题讲解，学以致用 解: （1） （2） 题型一:运动物体的平均速度 跟踪训练1．一物体的运动速速则在小段时间内相应的平均速度为（ ）. A.0.41 B.3 C.4 D.4.1 （三）例题讲解，学以致用 解: 题型二:运动物体的瞬时速度 典例2．已知质点做直线运动，且位移(单位:cm)随时间(单位:s)变化的函数为 . (1)当时，求平均速度； (2)求质点时的瞬时速度. （三）例题讲解，学以致用 解: （1）当时 （2）时,瞬时速度 题型二:运动物体的瞬时速度 跟踪训练2．一质点的运动方程为,其中表示位移(单位:m),表示时间(单位:s). (1)求该质点在这段时间内的平均速度； (2)求该质点在时的瞬时速度. （三）例题讲解，学以致用 解: (1) (2)时,瞬时速度 方法技巧： 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为，则求物体在时刻的瞬时速度的步骤如下: 1.写出时间改变量，位移改变量 求平均速度: 求瞬时速度: 当 时， →(常数). 本节课你学习了那些知识和技能？ （四）归纳总结，形成素养 1.平均速度的概念； 2.瞬时速度的概念； 3.求运动物体瞬时速度的三个步骤： 设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为，则求物体在时刻的瞬时速度的步骤如下: (1)写出时间改变量，位移改变量 (2)求平均速度: (3)求瞬时速度: 当 时， →(常数). （五）达标检测 1.B 2.C 3.1 4 $$