第七章 相交线与平行线课件 2024-2025学年人教版数学七年级下册

第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合 1 知识点 平行线的性质与判定的综合 1.如图，,, ,则 的度数是( ) B （第1题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.［教材复习题变式］ 如图，直线和 被直线和所截， ， ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.一个由4条线段，，， 组成的“鱼”形图案 如图所示.若 ， ， ，则 的度数是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 4. [2024保定期末] 数学课上，老师让同学们将图中 的解题过程补充完整，下列选项中不正确的是( ) 如图，已知， . 试说明： . 解： （已知）， . （已知）， ◎（同角的补角相等）， ， . 1 星题 夯实四基 5 A. 表示两直线平行，同旁内角互补 B.◎表示 C. 表示内错角相等，两直线平行 D. 表示两直线平行，内错角相等 √ 1 星题 夯实四基 5.[2024秦皇岛月考] 如图，已知直线，被所截，平分 ， 若 ，则 _____. （第5题） 1 星题 夯实四基 7 （第6题） 6.把下面的说理过程补充完整： 已知：如图， , . 试说明： . 解： （已知）， ____（__________________________）. （________________________）. （已知）， ______（__________）. （________________________）. （________________________）. 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，同位角相等 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等 1 星题 夯实四基 8 7.[2024张家口宣化区期末] 如图，，和 相交于点，是上一点，是 上一点，且 . （1）试说明： ； 解： ， （两直线平行，内错角相等）. 又， ， （同位角相等，两直线平行）. 1 星题 夯实四基 9 （2）若 ， ，求 的度数. 解： , . . 又,， . 1 星题 夯实四基 10 （第8题） 8.如图，已知， ，若 ，且 ，则 的 度数为( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 11 （第9题） 9. [2024潍坊中考] 一种路灯的示意图 如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆 与底 部支架所成锐角 .顶部支架与灯杆 所成 锐角 ，则与 所成锐角的度数为( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 10.[2024邯郸永年区期末] 如图，点， 在线段 的异侧，点，分别是线段， 上的点， 已知， . （1）与 平行吗？请说明理由； 解：，理由： ， ， ， ， . 2 星题 提升四能 13 （2）若 ，且，求 的度数. 解：， ， ， ， . ， ， ， ， . ， ， . 2 星题 提升四能 14 11. [2024邢台校级调研] 【阅读】如图①，光线从空气中射入玻璃砖时，光线的传播方向发生了 改变，即玻璃砖中的光线与原来空气中的光线不在同一条直线上，这是 光线在玻璃砖中的折射现象. 3 星题 发展素养 15 【探究】为了探究光折射时的特点，科学实验小组将一束光 斜射到 一块玻璃砖的上表面上的点处，光从下表面上的点 处射出，于点 ，如图②所示，图中所有的点都在同一平面内， 查阅相关科学知识，得到 . 3 星题 发展素养 16 （1）若 ， ，求光的传播方向改变了多少度； 解： ， 即光的传播方向改变了 . 3 星题 发展素养 17 （2）请判断射入光线与射出光线 是否平行，并说明理由； 解：射入光线与射出光线 平行，理由如下： ， . 又 ， ， 即， . 3 星题 发展素养 18 （3）已知光线与的夹角为 ，如图③所示.若射出光线 与光线 垂直，则入射光线与上表面所夹的角 的度数为_____. [解析] 点拨：如图， 与 垂直， ， ， . 3 星题 发展素养 19 $$第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.1 平行线的概念 1 知识点1 平行线的认识 1.下列生活实例：①交通道口的斑马线；②天上的彩虹；③体操方队的 纵队；④百米跑道线；⑤火车的平直铁轨线，其中属于平行线的有 ( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 星题 夯实四基 2 2.[2024唐山二模] 如图，同一平面内，直线和直线 的位置关系是 ( ) A （第2题） A.相交 B.垂直 C.平行 D.重合 1 星题 夯实四基 3 3.[2024承德期末] 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是 ( ) C A.平行 B.相交 C.平行或相交 D.平行或垂直 1 星题 夯实四基 4 4.观察如图所示的长方体. （第4题） （1）用符号表示下列两棱的位置关系： ___ ，___，___，___ ； // // （2）与 所在的直线是两条不相交的直线， 它们______平行线（填“是”或“不是”），由此 可知在__________内，不相交的两条直线才能 叫作平行线. 不是 同一平面 1 星题 夯实四基 5 知识点2 平行公理及其推论 5.[2024张家口期中] 如图，经过直线外一点画 的平行线，能画出 ( ) B A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 1 星题 夯实四基 6 6.三条直线，，，若，，则与 的位置关系是 ( ) B A. B. C.或 D.无法确定 1 星题 夯实四基 7 7.[2024石家庄校级调研] 已知直线 ，在同一平面内，甲、乙、丙得到 如下结论，下列判断正确的是( ) 甲：与直线 垂直的直线有且只有一条； 乙：经过一点，有且只有一条直线与直线 平行； 丙：若两条直线，都与直线平行，则直线， 平行 D A.甲对乙错 B.甲错乙对 C.甲对丙错 D.乙错丙对 1 星题 夯实四基 8 8.如图是一个可折叠晾衣架，是地平线，当， 时， 就可以确定点，， 在同一条直线上，这样判定的依据是_________ ___________________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 1 星题 夯实四基 9 知识点3 平行线的画法 9.［教材练习变式］ 如图，直线，交于点，为， 外一点，过点画直线，直线 . 解：如图所示. 1 星题 夯实四基 10 10.[2024唐山月考] 如图，在平面内过点 作已知直 线的平行线和垂线，可作的条数分别是和 ，则 的值为( ) C A.0 B.1 C.2 D.无法确定 2 星题 提升四能 11 11.[2024石家庄新华区期中] 如图，将一张长方形纸对折两次，产生的 折痕与折痕之间的位置关系是( ) A A.平行 B.垂直 C.平行或垂直 D.无法确定 2 星题 提升四能 12 12.在同一平面内有三条直线，它们的交点个数可能是( ) D A.0或1 B.1或2 C.2或3 D.0，1，2或3 2 星题 提升四能 13 13.在同一平面内，直线与 满足下列条件，把它们的位置关系填在后 面的横线上. （1）与没有公共点，则与 ______； （2）与有且只有一个公共点，则与 ______； （3）与有无数个公共点，则与 ______. 平行 相交 重合 2 星题 提升四能 14 14.如图，在的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，是 的边上的一点，是内部的一点，点，，，， 均在格 点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，并回答问题： 2 星题 提升四能 15 （1）过点画的平行线，交于点 ； 解：如图所示. 2 星题 提升四能 16 （2）过点画的垂线，交于点 ； 解：如图所示. （3）点到射线 所在直线的距离是线段____的长度. 2 星题 提升四能 17 15.在书写艺术字时，常常运用画“平行线段”这种基 本作图方法，如图是书写的字母“ ”. （1）请从正面、上面、右面三个不同的方向上各 找出一组平行线段，并用字母表示出来； 解：正面：；上面： ；右面： .（答案不唯一） 3 星题 发展素养 18 （2）与有何位置关系？与 有何位置关系？为什么？ 解：，.理由：因为,,所以 . 因为,,所以 . 3 星题 发展素养 19 （3）图中所在的直线与 所在的直线有公共点吗？若没有公共点， 能否说明这两条直线平行？你还能找出一组具有类似位置关系的直线吗？ 由此可知在叙述平行线的概念时，应注意什么？ 解：题图中所在的直线与 所在的直线没有公共点；不能说明这两 条直线平行；直线与直线 也具有类似位置关系（答案不唯一）； 这样的两条直线不在同一个平面内，由此可知在叙述平行线的概念时， 应注意“在同一平面内”这一限制条件，即在同一平面内不相交的两条直 线叫作平行线. 3 星题 发展素养 20 $$第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.1 两条直线相交 1 知识点1 邻补角和对顶角的概念 1.［教材P练习T变式］ 下列四个图中， 与 互为邻补角的是 ( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.[2024沧州期末] 如图，直线，， 相交于 点，则 的对顶角为( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 （第3题） 3.[2024唐山三模] 如图，直线与直线交于点 ，此 时图中有两对对顶角，若过点再画一条不与直线 ， 重合的直线 ，则新增加的对顶角有( ) C A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 1 星题 夯实四基 4 4.如图，直线，交于点，射线将 分 成了两部分.下列说法中，错误的是( ) C A.与 是对顶角 B.与 是邻补角 C.与 是对顶角 D.和都是 的邻补角 1 星题 夯实四基 5 知识点2 邻补角和对顶角的性质 5.如图，直线与相交于点，则 的度数为( ) B （第5题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 （第6题） 6.[2024日照中考] 如图，直线,相交于点 . 若 , ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 7 7.［教材P练习T 变式］ [2024承德期末] 如图是一把剪刀的示意图， 我们可想象成一个相交线模型，若 .则 ( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 8.[2024石家庄校级月考] 如图，直线和直线相交于点， 平分 . （1）图中的对顶角是_______， 的邻补角是_______和 _______； 1 星题 夯实四基 9 （2）若 ，求 的度数. 解：因为平分，所以 . 因为 ，所以 . 因为 ， 所以 . 1 星题 夯实四基 10 （第9题） 9.[2024衡水桃城区月考] 如图，直线与 相交于 点，已知射线将 分成了两部分，若 ， ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 11 （第10题） 10.[2024唐山迁安期中] 如图，直线，， 两两相交，若 ，则图中与 相 等的角有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2 星题 提升四能 12 （第11题） 11. 光线从空气射入玻璃时， 光的传播方向发生了改变，一部分光线经过玻璃 表面反射形成反射光线（虚线与玻璃表面所成角 均为 ），一部分光线穿过玻璃发生了折射， 形成折射光线，如图所示，由科学实验知道， ， ，下列结论正确的是( ) B A.与是对顶角 B. C.与是对顶角 D. 2 星题 提升四能 13 12.如图，将长方形纸条沿折叠后，，两点分别落在点 ， 的位置上.若比的度数大 ，则 的度数是______. （第12题） 2 星题 提升四能 14 13.[2024沧州期末] 如图，直线与相交于点， . 2 星题 提升四能 15 （1）如图①，若平分，求 的度数； 解：因为 ，平分 ， 所以 . 因为 ，所以 ,即的度数为 . 2 星题 提升四能 16 （2）如图②，若，且平分，求 的度数. 解：因为，所以设 ，则 ，所 以 . 因为平分 ， 所以 . 2 星题 提升四能 17 因为 , ,所以 ，所以 ， 所以 ， 即的度数为 . 2 星题 提升四能 18 14. [2024邯郸期末] 如图，直线与 相交于点 ，平分，平分 . 3 星题 发展素养 19 （1）若 ，求和 的度数； 解：因为 ，所以 . 因为平分，所以 .因为 平分， , 所以 ， 所以 . 3 星题 发展素养 20 （2）当的度数发生变化时， 的度数是否发生变化？请说明 理由； 解： 的度数不发生变化. 理由：因为 ，为定值，所以 的度数不发生变化. （3）请写出图中的补角和 的余角. 解：的补角有和 ； 的余角有和 . 3 星题 发展素养 21 $$第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 第1课时 垂线 1 知识点1 垂直的概念 1.如图，已知，若 ，则 的度数为( ) B （第1题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.[2024沧州月考] 如图，点，， 在同一条直 线上， ， ，则下列结论正 确的是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 （第3题） 3.[2024北京中考] 如图，直线和相交于点 ， ，若 ，则 的大小为 ( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 4 4.如图，，，三点在同一条直线上，已知 ， ， 则与 的位置关系是_________. （第4题） 1 星题 夯实四基 5 5.如图，直线与相交于点， ， ，则 .请说明理由（补全解答过 程）. 解：因为 ， 所以 _____（垂直的定义）. 所以 . 因为_____________， 所以 . 所以_________. 1 星题 夯实四基 6 6.[2024邢台调研] 如图，直线，相交于点 ， ， . （1）试说明： ； 解：因为，所以 ， 所以 . 因为，所以 ， 即 ，所以 . 1 星题 夯实四基 7 （2）若，求 的度数. 解：因为，所以 . 因为，所以 ，所以 . 因为，所以 . 所以 . 1 星题 夯实四基 8 知识点2 垂线的画法 7.[2024石家庄期中] 下列各图中，过直线外一点画 的垂线，三角板 放置正确的是( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 8.［教材例2变式］ 如图，已知和点，过点画 两边的 垂线. 解：画图如图所示. 1 星题 夯实四基 10 知识点3 垂线的基本事实 9.如图，在同一平面内，经过直线外一点画 的垂线，能画出( ) A A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 1 星题 夯实四基 11 （第10题） 10.[2024邢台三模] 如图， ， ， 垂足为,交于点，，则 ( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 11. 在直线上任取一点，过点作射线， ，使 ，当 时， 的度数是( ) D A. B. C. 或 D. 或 2 星题 提升四能 13 （第12题） 12. 如图是光的反射定律示意 图，，， 分别是入射光线、反射光线和 法线（提示：反射角和入射角分别是反射光线和 入射光线与法线的夹角，且反射角等于入射角， 法线与反射面垂直）.若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 2 星题 提升四能 14 13.[2024廊坊期中] 如图，已知直线，相交于点， 平分 ， . （1）如果 ，求， 的度数； 2 星题 提升四能 15 解：因为直线，相交于点 ， 所以 ， . 因为 ， 所以 ， . 因为平分 ， 所以 . 2 星题 提升四能 16 （2）如果，求 的度数； 解：因为 ， 所以设 ，则 . 因为 ，所以 ， 解得 ，所以 ， 所以 .因为平分 ， 所以 . 因为，所以 ， 所以 . 2 星题 提升四能 17 （3）写出图中所有与 互余的角：______________. 和 [解析] 点拨：因为 ， 所以 ， ， 即与互余.又因为 ， 所以 ，即与 互余. 综上所述，图中所有与互余的角有和 . 2 星题 提升四能 18 14. 3 星题 发展素养 19 （1）在图①中以为顶点画，使的两边分别和 的两边垂直. 解：如图①. （2）量一量图①中和 的度数，它们之间的数量关系是 ________________________________； 或 3 星题 发展素养 20 （3）同样在图②和图③中以为顶点作，使 的两边分别和 的两边垂直，分别写出图②和图③中和 之间的数量关系； （不要求写出理由） 解：图②中，，图③中， . （4）由上述三种情形可以得到一个结论：如果一个角的两边分别和另 一个角的两边垂直，那么这两个角____________. 相等或互补 3 星题 发展素养 21 $$第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.2 平行线的判定 1 知识点1 同位角相等，两直线平行 1.[2024唐山丰南区月考] 如图，在探索直线平行的条件时，将木条， 固定，使 ，转动木条，当____ 时，木条与木条 平行. 60 （第1题） 1 星题 夯实四基 2 2.如图，若，则____// ____；若 ，则____//____. （第2题） 1 星题 夯实四基 3 3.如图，已知，那么与 平行吗?为什么? 解：与平行.理由：， （对顶角相等）, （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）. 1 星题 夯实四基 4 知识点2 内错角相等，两直线平行 4.如图，下列条件能得到 的是( ) A （第4题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 5.［教材习题变式］ 如图是一条街道的两个拐角，与 均为 ，则街道与街道 的位置关系是______，这是因为 _________________________. 平行 内错角相等，两直线平行 （第5题） 1 星题 夯实四基 6 6.[2024张家口期中] 将下面的解答过程补充完整. 已知：如图，在三角形中，于点, 是 上一点，且 ，试说明： . 解： （已知）， _____（____________）. _______ . （______）， _______ （__________）. _________（________________________）. 垂直的定义 已知 等量代换 内错角相等，两直线平行 1 星题 夯实四基 7 知识点3 同旁内角互补，两直线平行 7.如图， ，要使 ，则需具备的另一个条件是( ) C （第7题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 8 8.如图，一个零件需要边与 边平行，现只有一个量角器， 测得拐角 ， ，这个零件合格吗？______ （填“合格”或“不合格”）. 合格 （第8题） 1 星题 夯实四基 9 9.如图，， .试说明： . 解：， （已知）， （等量代换）. （同旁内角互补，两直线平行）. 1 星题 夯实四基 10 10.［教材P练习T变式］ 如图，已知 ，为保证两条铁轨平 行，添加的下列条件中，正确的是( ) C A. B. C. D. 2 星题 提升四能 11 11.[2024沧州期末] 如图，下列不能判定 的条件是( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 12. 下面是验证纸 条两条边线， 是否平行的不同折 叠方式： ①小明：如图①，展开后测得 ； ②小丽：如图②，测得 ； ③小君：如图③，展开后测得 ； ④小晨：如图④，展开后测得 . 则其中能判定 的是________. （填序号） ①②③ 2 星题 提升四能 13 13.[2024邢台月考] 如图，直线，交于点，， 分别平分 和 . （1）若，求 的度数; 2 星题 提升四能 14 解：平分, . ， . ， ， .平分 ， ， . 2 星题 提升四能 15 （2）在（1）的条件下，若 ， 吗？请说明理由. 解： . 理由：由（1）可知 . ，， . 2 星题 提升四能 16 14. [2024邯郸月考] 将一副透明三角尺按如图所示 方式叠放在一起（其中 ， ， ， ）. （1）若 ，则 的度数为_____； 3 星题 发展素养 17 （2）如图，在此位置将三角尺绕点顺时针转动，设 ， ①若，求 的度数； 解：当在 的上方时， ， . ， ， 即 ； 3 星题 发展素养 18 当在 的下方时， ， . ， ，即 . 综上所述，若， 的度数为 或 . 3 星题 发展素养 19 ②三角尺绕点继续转动，直至，， 三点共线停止转动，则在 此过程中，这两块三角尺除了 外，是否还存在互相平行的边？ 若存在，请写出 的所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说 明理由. 解：除了 外，还存在互相平行的边. 当时， ;当时， ; 当时， ;当时， ; 综上所述， 为 或 或 或 . 3 星题 发展素养 20 $$第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 1 知识点1 命题与定义 1.下列语句是命题的是( ) C A.作直线的垂线 B.在线段上取点 C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗？ 1 星题 夯实四基 2 2.下列四种说法： ①因为，所以是 的中点； ②在线段的延长线上取一点，如果，那么是 的中点； ③因为是的中点，所以 ； ④因为，，在同一条直线上，且，所以是 的中点. 其中正确的是( ) C A.①③④ B.①② C.②③④ D.③④ 1 星题 夯实四基 3 3.下列语句是命题的是________.（填序号） ①直角都相等； ②等角的余角相等吗？ ③画两个相等的角； ④同旁内角的平分线互相垂直； ⑤平行四边形的对角线互相平分. ①④⑤ 1 星题 夯实四基 4 知识点2 命题的组成 4.命题“整数一定是有理数”的结论是( ) D A.整数 B.有理数 C.一个数是整数 D.这个数一定是有理数 1 星题 夯实四基 5 5.下列命题的条件是什么？结论是什么？ （1）能被2整除的数也能被4整除； 解：条件：一个数能被2整除；结论：它能被4整除. （2）相等的两个角是对顶角； 解：条件：两个角是相等的角；结论：它们是对顶角. （3）若，则 ； 解：条件：；结论： . 1 星题 夯实四基 6 （4）角平分线上的点到这个角两边的距离相等. 解：条件：一个点在一个角的平分线上；结论：它到这个角两边的距离 相等. 1 星题 夯实四基 7 知识点3 真命题和假命题 6.[2024廊坊期末] 下列命题中，是假命题的是( ) D A.对顶角相等 B.两点之间，线段最短 C.互补的两个角不一定相等 D.同位角相等 1 星题 夯实四基 8 7.已知命题 任何偶数都是8的整数倍.在下列选项中，可以作为“命题 是假命题”的例子的是( ) D A.16 B.15 C.24 D.42 1 星题 夯实四基 9 8.［教材习题 变式］ 下列两个命题： ①一个数的绝对值是正数； ②两个奇数的和是偶数. 哪个是真命题？哪个是假命题？说明你的理由. 解：①是假命题. 的绝对值是0，0不是正数； ②是真命题.设两个奇数为和,为整数，且 ,它们 的和为 ，是偶数. 1 星题 夯实四基 10 知识点4 定理与证明 9.下列三个真命题，哪些是基本事实？哪些是定理？哪些既不是基本事 实也不是定理？ ①两点之间，线段最短；②同角的余角相等； 不是4的倍数. 解：①是基本事实；②是定理；③既不是基本事实也不是定理. 1 星题 夯实四基 11 10.下列语句中，不是命题的是( ) D A.所有的平角都相等 B.锐角小于 C.两点确定一条直线 D.过一点作已知直线的平行线 2 星题 提升四能 12 11.[2024秦皇岛月考] 下列命题中，为假命题的是( ) A A.若，则 B.两点之间，线段最短 C.等角的补角相等 D.一个偶数与一个奇数的差，一定是奇数 2 星题 提升四能 13 12.[2024邯郸月考] 下列说法正确的是( ) C A.命题一定是正确的 B.真命题都是基本事实 C.定理都是真命题 D.不正确的判断就不是命题 2 星题 提升四能 14 13.下列命题中，属于真命题的是( ) A A.如果，那么 B.如果，那么 C.如果两个角相等，那么这两个角都为 D.如果，那么 2 星题 提升四能 15 14.在学习了命题后，七年级（3）班举行了一场知识竞赛，在“快问快 答”环节，小舟选中的一道题目是这样的：“请举一个例子说明命题‘若 ，则是假命题.”小舟的回答是“， ”.你认为 主持人接下来会对小舟说的是( ) D A.“回答正确，加10分” B.“回答错误，例子可以是， ” C.“回答错误，例子可以是， ” D.“回答错误，例子可以是， ” 2 星题 提升四能 16 15.若命题“不是方程的解”为假命题，则数 满足： ________. 2 星题 提升四能 17 16.下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？是命题的，请先将它 改写为“如果……那么……”的形式，再指出命题的题设和结论. ①同号两数的和一定不是负数;②若,则 ；③延长线段 至点，使是 的中点；④互为倒数的两个数的积为1. 解：①是命题.如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数.题设： 两个数同号，结论：这两个数的和一定不是负数.②是命题.如果 ,那 么.题设：,结论： .③不是命题.④是命题.如 果两个数互为倒数，那么这两个数的积为1.题设：两个数互为倒数，结 论：这两个数的积为1. 2 星题 提升四能 18 17. [2024石家庄月考] 已知命题“若 是自然数，则 代数式 的值是3的倍数”. （1）写出命题的题设和结论； 解：命题的题设是“是自然数”，结论是“代数式 的值是3的倍数”. 3 星题 发展素养 19 （2）该命题是真命题还是假命题？如果你认为是假命题，请说明理由； 如果你认为是真命题，请给出证明. 解：是真命题. 证明： . 为自然数， 是3的倍数. 原命题是真命题. 3 星题 发展素养 20 $$第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 1 知识点1 两直线平行，同位角相等 1.[2024重庆中考A卷] 如图，， ，则 的度数是 ( ) B （第1题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 2 2.[2024邢台校级调研] 如图，已知直线， ，则 的度 数为( ) B （第2题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024廊坊安次区期末] 如图所示，将一副透明三角尺按如图所示的位 置摆放在直尺上，则 的度数为_____. 1 星题 夯实四基 4 4.如图，，，点，分别在，上.若 ， 求 的度数. 解：， . ， . 1 星题 夯实四基 5 知识点2 两直线平行，内错角相等 （第5题） 5.[2024河南中考] 如图，乙地在甲地的北偏东 方向 上，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 6 （第6题） 6.[2024沧州月考] 一条木杆秤在称物时的状态如图 所示，已知 ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 7 7.如图，平分，， ，求 ，， 的度数. 解：， . 平分， . ， . 1 星题 夯实四基 8 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 （第8题） 8.[2024湖北中考] 如图，一条公路的两侧铺 设了， 两条平行管道，并有纵向管道 连通，若 ，则 的度数是 ( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 9 9.[2024陕西中考] 如图，，， ，则 的度 数为( ) B （第9题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 10 10.如图，，，与 相等吗？试说明理由. 解：.理由如下： ， （两直线平行，同旁内角互补）. ， （两直线平行，同旁内角互补）. （同角的补角相等）. 1 星题 夯实四基 11 11. [2024达州中考] 当光线从空气射入水中时，光 线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），图中 ， ，则 的度数为( ) B （第11题） A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 （第12题） 12.一副直角三角板按如图所示的方式摆放，点 在的延长线上，当时， 的度数 为( ) B A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 （第13题） 13.[2024海南中考] 如图，直线 ，把一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式放置， 点在直线上， ，若 ，则 等于( ) D A. B. C. D. 2 星题 提升四能 14 14.[2024秦皇岛期末] 如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底 部与支撑平台平行.若 ，则 的度数为______. （第14题） 2 星题 提升四能 15 15. [2024衡水武邑期末] 如图①，有一张长方形纸 条， . 2 星题 提升四能 16 （1）将纸条沿折叠，如图②所示，求 的度数； 解：如图，根据题意可知 ， ， ， . 由折叠的性质得 ， ， . 2 星题 提升四能 17 （2）将图②中的纸条再沿折叠，如图③所示，求 的度数. 解：在题图①中，由（1）可知， ，在 题图②中，易知 , ，在题图③中， . 2 星题 提升四能 18 16. [2024保定校级调研] 如图是驱逐舰、巡洋舰两艘 舰艇参与某次演练的情境，已知 ， . 3 星题 发展素养 19 （1）已知驱逐舰在方向上航行，巡洋舰在 方向上航行，假设在航 行过程中各自航行方向保持不变，试判断这两艘舰艇会不会相撞，请说 明理由； 解：不会，理由如下： ， . ， ， ， 这两艘舰艇不会相撞. 3 星题 发展素养 20 （2）已知驱逐舰到达点后沿继续航行，巡洋舰到达点 后沿 继续航行，且， .若驱逐舰在原航向上向 左转动后，才能与巡洋舰航向相同，求 的值. 3 星题 发展素养 21 解：如图，假设驱逐舰在原航向上向左转动 后的航向为 方向.若要驱逐舰与巡洋舰航向 相同，则 ， ， ， ， ， . 3 星题 发展素养 22 $$第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 第2课时 垂线段 1 知识点1 垂线段最短 1.过点作线段所在直线的垂线段 时，有一部分同学画出下列四种 图形，其中错误的有( ) C A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.[2024邢台校级期中] 如图，， ， 点是射线上的一个动点，则线段 的长度不 可能是( ) A A.5.5 B.6 C.8 D.15 1 星题 夯实四基 3 知识点2 点到直线的距离 （第3题） 3.[2024保定期末] 如图，点，，， 在直 线上，点在直线外，连接点与， ， ， 四点的线段被一块挡板遮住，则下面哪条 线段的长是点到直线 的距离？( ) B A.线段 B.线段 C.线段 D.线段 1 星题 夯实四基 4 4.［教材练习变式］ 如图，已知点在直线上， ， 于点，连接，则点到 的距离是线段____的长度. 1 星题 夯实四基 5 5. 在平面内，点是直线上一点，点，到直线 的距离分别是 ，，且，，则线段 的长度是____________. 或 2 星题 提升四能 6 6.如图，已知 ，，，，若点 在线 段上运动，则线段 长度的最小值是___. 2 星题 提升四能 7 7. 某处噪声的大小和此处与噪声来源的距离有关， 离噪声来源越近，噪声越大.如图，一辆汽车在笔直的公路上由点 向点行驶，是位于 一侧的某所学校.请解答下列问题. 3 星题 发展素养 8 （1）汽车行驶到什么位置时，学校 受噪声影响最严重？请作图说明； 解：如图，过点作的垂线，垂足为 ，根据“垂线段最短”，可知汽 车行驶到点时，与学校最近，学校 受噪声影响最严重. 3 星题 发展素养 9 （2）在什么范围内，学校 受噪声影响越来越大？在什么范围内，学 校 受噪声影响越来越小？ 解：如图，汽车行驶在段时，离学校越来越近，学校 受噪声影响 越来越大；汽车行驶在段时，离学校越来越远，学校 受噪声影响 越来越小. 3 星题 发展素养 10 $$第七章 相交线与平行线 7.4 平移 1 知识点1 平移及相关概念 1.下列生活现象中，属于平移的是( ) B A.足球在草地上滚动 B.拉开抽屉 C.投影片的文字经投影转换到屏幕上 D.钟摆的摆动 1 星题 夯实四基 2 2. [2024保定竞秀区期末] 甲骨文是我国的一种古代文 字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是 ( ) A A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.如图，三角形经过平移之后成为三角形，则（1）点 的对应 点是点___；（2）点的对应点是点___；（3）点___的对应点是点 ； （4）线段的对应线段是线段____；（5）线段 的对应线段是线段 ____；（6）的对应角是______；（7）_______的对应角是 . 1 星题 夯实四基 4 知识点2 平移的性质 4.[2024沧州期末] 如图，将三角形平移得到三角形 ，下列结 论中不一定成立的是( ) D （第4题） A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 5 （第5题） 5.[2024邢台期中] 如图，将三角形 平移到三角形 的位置，对下列说法判断正确的是( ) D 甲：连接，，，则 ； 乙：平移的方向一定是点到点 的方向； 丙：平移的最短距离为线段 的长. A.甲对丙错 B.甲错丙对 C.乙对丙错 D.乙错丙对 1 星题 夯实四基 6 6.如图，将三角形平移至三角形，则图中与线段 平行且相 等的线段有___条. 2 （第6题） 1 星题 夯实四基 7 7.如图，将三角形沿直线向右平移后到达三角形 的位置.若 ， ，则 的度数为_____. （第7题） 1 星题 夯实四基 8 知识点3 平移作图 8.［教材P练习T 变式］ 如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度.有一个三角形 ，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合. 1 星题 夯实四基 9 （1）将三角形 先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 得到三角形，请在方格纸中画出三角形 ； 解：如图，三角形 即为所求. 1 星题 夯实四基 10 （2）求出三角形 的面积. 解： . 1 星题 夯实四基 11 （第9题） 9.如图，三角形是由三角形沿 所在的直 线平移得到的，，的延长线交于点 ，若 ，则 的度数是( ) C A. B. C. D. 2 星题 提升四能 12 （第10题） 10.如图，将直角三角形沿着直角边 所在的 直线向右平移得到直角三角形，连接 ,已知 ，，， ，则 四边形 的面积等于( ) C A. B. C. D. 2 星题 提升四能 13 11.[2024东营中考] 如图，将三角形沿方向平移 得到三角形 ，若三角形的周长为,则四边形的周长为____ . 30 2 星题 提升四能 14 12.[2024邯郸邯山区期末] 在由小正方形组成 的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位 长度，三角形 的三个顶点的位置如图所示， 现将三角形平移，使点移动到点 处， 点，分别移动到点， 处. 2 星题 提升四能 15 （1）请画出平移后的三角形 ； 解：如图所示. 2 星题 提升四能 16 （2）试说明三角形是由三角形 如何平移得到的； 解：三角形是由三角形 先向左平移5个单位长度，再向下平 移2个单位长度得到的.（答案不唯一） （3）若连接， ，则这两条线段之间的关系是_________________ ______. ， 2 星题 提升四能 17 13. 如图①，将线段向右平移1厘米到 ， 得到封闭图形（即阴影部分），在图②中，将折线 向 右平移1厘米到，得到封闭图形 （即阴影部分）. 3 星题 发展素养 18 （1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1厘 米，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示（作出对应点字母的标注）； 解：如图所示.（答案不唯一） 3 星题 发展素养 19 （2）上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为,, （设图①、图②、图③的长方形的长均为6厘米，宽均为3厘米），则 ____平方厘米，____平方厘米， ____平方厘米； 15 15 15 （3）联想与探索：如图④，在一块长方形草地上，为了方便劳动，有 一条弯曲的小路（小路任何地方的水平宽度都是2米），长方形草地的 长为32米，宽为20米，请你求出空白部分表示的草地 的面积. 解： （平方米）. 3 星题 发展素养 20 $$第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 1 知识点 同位角、内错角、同旁内角的概念 1.如图，下列说法中不正确的是( ) C A.和是同旁内角 B.和 是内错角 C.和是同位角 D.和 是对顶角 1 星题 夯实四基 2 （第2题） 2.[2024张家口期末] 电子屏幕上显示的数字“9”的形状如图 所示，其中 的同位角是( ) B A. B. C. D. 1 星题 夯实四基 3 3.[2024邢台襄都区月考] 如图. （第3题） （1）当直线，被直线所截时， 的内错角是_______； （2） 的同位角是______________； （3） 的同旁内角是______________________. ， ，， 1 星题 夯实四基 4 4.［教材例3变式］ 如图，已知直线， 被直线 ，所截，直线，，相交于点 ，按要求完成下 列各小题. （1）在图中的 这9个角中，同位角共有多少 对？请你全部写出来； 解：同位角共有5对.分别是和，和，和，和， 和 . 1 星题 夯实四基 5 （2）和是什么位置关系的角？和之间的位置关系与和 的相同吗？ 解：和是同旁内角，和也是同旁内角，故和 之间的位 置关系与和 的相同. 1 星题 夯实四基 6 （第5题） 5. 风筝是中国古代劳动人民的产物， 其材质在不断改进之后，坊间开始用纸做风筝，称为 “纸鸢”.如图所示的纸鸢骨架中，与 构成同旁内角 的是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 7 6. 英文字母中也存在同位角、内错角、同旁内角 （不考虑字母宽度），下列字母中含同旁内角对数最多的是( ) A A. B. C. D. 2 星题 提升四能 8 7.[2024保定期中] 如图，在，，，，和 中，同位角对 数为，内错角对数为，同旁内角对数为，则 ____. 16 （第7题） 2 星题 提升四能 9 8.两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和 是内错角. （1）根据上述条件，画出符合题意的示意图； 解：画图如图所示（画法不唯一）. 2 星题 提升四能 10 （2）若，，求， 的度数. 解：因为 ， ， ，所以 ， 所以 ，所以 . 2 星题 提升四能 11 $$