1.4 解直角三角形 课件 2024—2025学年北师大版数学九年级下册

1.4 解直角三角形 1.如下图,在Rt△ABC中,有 条边, 个角,共有个 元素,AB可以表示为 ，AC可以表示为 ，BC可以表示为 . 3 3 6 A C B a c b 复习回顾 a b c 学习目标 (1分钟) 1.能熟练解直角三角形; 2.掌握两个基本模型,并能用其解题; 3.掌握特殊到一般的数学思想. 自学指导1 (3分钟) 认真阅读P16的做一做前的内容,并思考回答下面的问题: (1)如图，a=4,∠A=60°， ∠B=___,b= ,c= . (2)b=10,∠A=60°， ∠B=___,a= ,c= . A C B a c b (3)∠A=30°,∠B= ; a= ,b= ,c= . 1.如图，在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别是a,b,c.根据下面的条件解直角三角形: 由直角三角形中 的元素,求出所有 元素的过程,叫做 . 已知 未知 解直角三角形 要解直角三角形,必须要知道三角形中的 个元素,而且其中必须有一个元素是 . 边 3 30° 30° x 2x 4 20 60° 无法确定 自学指导2 (10分钟) 根据图中的条件解非直角三角形. 两个基本图形的计算 D sinC= . C△ABC= , S△ABC= . 12 构造直角三角形，利用三角函数或勾股定理 解直角三角形、求三角函数. C A B 450 6 4 D 变式练习:根据图中条件解非直角三角形. A B C 600 450 4 D 2 A B C D 题型2：已知最长边解非直角三角形 解：设CD=3x，则AD=4x，BD=8x ∵BD+CD=33 ∴8x+3x=33 解得x=3 ∴AB=4x=12 AC=5x=15 1如图,在数学活动课中,小敏为了测量校园内旗杆AB的高度,站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°,测得旗杆顶端A的仰角为30°,若旗杆与教学楼的距离为9m,则旗杆AB的高度是 m(结果保留根号). 中考链接 (8分钟) 9 9 自学指导3 (8分钟) 根据图中条件解非直角三角形. A B C 1350 300 (结果保留根号) D 两个基本图形的计算 45° 4cm 4cm 8cm 自学指导3:(8分钟) 根据图中条件解非直角三角形. A B C 1350 300 (结果保留根号) A B C 1350 300 4cm D D 两个基本图形的计算 45° 4cm 4cm 8cm xcm 45° xcm 2xcm (4+x)2+x2=(2x)2 1.如图,小明在一块平地上测山高,先在B处测得山顶A的仰角为30°,然后向山脚直行100米到达C处,再测得山顶A的仰角为45°,那么山高AD为　 　米(结果保留整数,测角仪忽略不计, ≈1.414, ≈1.732) 中考链接 (12分钟) 100 x x 2x (4+x)2+x2=(2x)2 137 2.如图,将45°的∠AOB按下面的方式放置在一把刻度尺上:顶点O与尺下沿的端点重合,OA与尺下沿重合,OB与尺上沿的交点B在尺上的读数恰为2cm.若按相同的方式将30°的∠AOC放置在该刻度尺上,则OC与尺上沿的交点C在尺上的读数约为 cm.(结果精确到0.1cm) ？ 45° 30° 4 30° 0.5 2 2 A B C D ┌ A B C D ┌ 35° 20° 10 A D C B 45° 30° 50° 30° 5 m 1.如图,根据图中已知数据,求BC.(只列方程) B A D 20 C 45° 30° ┌ ┌ 设BC=x 当堂训练 (10分钟) 2.如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan∠APD的值是 ． 2 3.如图,在鱼塘两侧有两棵树A、B,小华要测量此两树之间的距离,他在距A树30m的C处测得∠ACB=30°,在B处测得∠ABC=120°,求A、B两树之间的距离.(结果精确到0.1m) (参考数据: , ) 解：如图，作BD⊥AC，垂足为D ∵∠C=30°，∠ABC=120° ∴∠A=30° ∴∠A=∠C ∴AB=BC ∴AD=CD=AC=×30=15m 在Rt△ABD中，AB===10≈17.3m 答：A、B 两树之间的距离为17.3m D 4.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交成的锐角为α,若AC=a,BD=b, 则▱ABCD的面积是________(用含a、b的代数式表示) α 5.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，求CD的长． 解：过点B作BM⊥FD于点M， 在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=45°，AC=12， ∴BC=AC=12 ∵AB∥CF ∴BM=BC×sin45°=12×()=12 CM=BM=12 在△EFD中，∠F=90°，∠E=30° ∴∠EDF=60° ∴MD=BM÷tan60°=4 ∴CD=CM-MD=12-4 5.一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90°，∠E=30°，∠A=45°，AC=12，求CD的长． M 6.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ. (1)求证:△BDQ≌△ADP; (2)已知AD=5,AP=3,求sin∠BPQ的值(结果保留根号). 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD=∠ABC，AD∥BC， ∵∠A=60° ∴△ABD是等边三角形，∠ABC=120° ∴AD=BD，∠CBD=∠A=60° ∵AP=BQ， ∴△BDQ≌△ADP（SAS） (2)解：过点Q作QE⊥AB，交AB的延长线于E ∵BQ=AP=2，AD∥BC， ∴∠QBE=60° ∴QE=QB・sin60°=2×()= BE=QB・cos60°=2×()=1 ∵AB=AD=3 ∴PB=AB-AP=3-2=1 ∴PE=PB+BE=2 ∴在Rt△PQE中，PQ= =， ∴cos∠BPQ=PE/PQ== E 7.如图，已知△ABC. 按如下步骤作图:①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD. (1)求证：△ABC≌△ADC (2)若∠BAC=30°，∠BCA=45°，BC=4，求AB的长. 30° 45° 解：(1)证明：在△ABC与△ADC中， ∵ AB=AD BC=CD AC=AC ∴△ABC≌△ADC（SSS） 7.如图，已知△ABC. 按如下步骤作图:①以A为圆心，AB长为半径画弧；②以C为圆心，CB长为半径画弧，两弧相交于点D；③连结BD，与AC交于点E，连结AD，CD. (2)若∠BAC=30°，∠BCA=45°，BC=4，求AB的长. 30° 45° （2）解：∵△ABC≌△ADC ∴∠BAE=∠DAE 又∵AB=AD ∴AE⊥BD ∴∠AEB=∠AED=90° ∵BC=4√2，∠BCE=45° ∴BE=EC=4 ∵∠BAC=30° ∴AB=2BE=8 $$