1.3 三角函数的计算课件-2024-2025学年北师大版数学九年级下册

1.3 三角函数的计算 第一章 直角三角形的边角关系 1.复习并巩固锐角三角函数的相关知识. 2.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算. (重点) 3.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算.（难点） 学习目标 2、直角三角形两锐角的关系: 直角三角形的边角关系 1、直角三角形三边的关系: b A B C a ┌ c 3、直角三角形边与角之间的关系: 锐角三角函数 勾股定理 a2+b2=c2 两锐角互余 ∠A+∠B=90° 特殊角的三角函数值表 三角函数 锐角α 正弦sinα 余弦cosα 正切tanα 300 450 600 复习回顾 例1 如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少? 你知道sin16°等于多少吗? 如图，在Rt△ABC中, ∠C=90°,BC=ABsin16° 利用科学计算器可以求得: BC=ABsin16°≈200×0.2756≈55.12. 自学指导1 用科学计算器求锐角的三角函数值,要用到三个键: 例如,求sin16°,cos42°, tan85°和sin72° 38′25″的按键盘顺序如下: sin cos tan 按键的顺序 显示结果 Sin160 Cos420 tan850 sin720 38′25″ sin 1 6 0.275635355 cos 4 2 0.743144825 tan 8 5 11.4300523 sin 7 2 3 8 °＇ ″ 2 5 °＇ ″ 0.954450312 = = = = °＇ ″ 1.用计算器求下列各式的值(精确到0.0001)： (1)sin47°；　　　(2)sin12°30′； (3)cos25°18′；　　(4)sin18°＋cos55°－tan59°. 解：根据题意用计算器求出： (1)sin47°≈0.7314； (2)sin12°30′≈0.2164； (3)cos25°18′≈0.9041； (4)sin18°＋cos55°－tan59°≈－0.7817. 自学检测1 第一步：按计算器 键， tan 2.求tan30°36'. 第二步：输入角度值30，分值36 (可以使用 键)， 屏幕显示答案：0.591 398 351； 第一步：按计算器 键， tan 第二步：输入角度值30.6 （因为30°36'＝30.6°） 屏幕显示答案：0.591 398 351. 第一种方法： 第二种方法： °＇ ″ 已知sinA=0.5018，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作： 还可以利用 键，进一步得到 ∠A＝30°07'08.97 " 第一步：按计算器 键， 2nd F sin 第二步：然后输入函数值0. 5018 屏幕显示答案： 30.11915867° °＇″ 2nd F 自学指导2 例2 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B的度数(结果精确到0.1°)： (1)sinA＝0.7，sinB＝0.01； (2)cosA＝0.15，cosB＝0.8； (3)tanA＝2.4，tanB＝0.5. 解：(1)由sinA＝0.7，得∠A≈44.4° 由sinB＝0.01，得∠B≈0.6° (2)由cosA＝0.15，得∠A≈81.4° 由cosB＝0.8，得∠B≈36.9° (3)由tanA＝2.4，得∠A≈67.4° 由tanB＝0.5，得∠B≈26.6° cos55°= cos70°= cos74°28 '= tan3°8 ' = tan80°25'43″= sin20°= sin35°= sin15°32 ' = 0.3420 0.3420 0.5736 0.5736 0.2678 0.2678 5.930 0.0547 角度增大 正弦值增大 余弦值减小 正切值增大 比一比，你能得出什么结论？ 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） 归纳总结 正弦函数是增函数 余弦函数是减函数 正切函数是增函数 例3 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (1)求改直后的公路AB的长； (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 自学指导3 (1)求改直后的公路AB的长； 解：(1)过点C作CD⊥AB于点D， ∵AC＝10千米，∠CAB＝25°， ∴CD＝sin∠CAB·AC＝sin25°×10≈0.42×10＝4.2(千米)， AD＝cos∠CAB·AC＝cos25°×10≈0.91×10＝9.1(千米)． ∵∠CBA＝45°， ∴BD＝CD＝4.2(千米)， ∴AB＝AD＋BD＝9.1＋4.2＝13.3(千米)． 答：改直后的公路AB的长约为13.3千米 例3 如图，从A地到B地的公路需经过C地，图中AC＝10千米，∠CAB＝25°，∠CBA＝45°.因城市规划的需要，将在A、B两地之间修建一条笔直的公路． (2)∵AC＝10千米 ∴AC＋BC－AB＝10＋5.9－13.3＝2.6(千米)． 答：公路改直后该段路程比原来缩短了约2.6千米． (2)问公路改直后该段路程比原来缩短了多少千米(精确到0.1)? 【方法总结】解决问题的关键是作出辅助线，构造直角三角形，利用三角函数关系求出有关线段的长． 1.一个人由山底爬到山顶,需先爬400的山坡300m,再爬300 的山坡100m,求山高(结果精确到0.01m). 解：如图，依题意，可知 BC=300m，BA=100m， ∠C=40°，∠ABF=30°. 在Rt△CBD中，BD=BCsin40°≈300×0.6428 =192.8(m) 在Rt△ABF中，AF=ABsin30°=100× =50(m). ∴山高AE=AF+BD＝192.8+50＝242.8(m) 自学检测3 答：山高为242.8m 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.如图，课外数学小组要测量小山坡上塔的高度DE，DE所在直线与水平线AN垂直．他们在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿着射线AN方向前进50米到达B处，此时测得塔尖D的仰角∠DBN＝61.4°，小山坡坡顶E的仰角∠EBN＝25.6°.现在请你帮助课外活动小组算一算塔高DE大约是多少米(结果精确到个位)． 解：如图，延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝ ≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝ ＝1.8， 解得x≈31. 故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． 所以，塔高DE大约是81米． 解：延长DE交AB延长线于点F，则∠DFA＝90°. ∵∠A＝45°， ∴AF＝DF. 设EF＝x， ∵tan25.6°＝ ≈0.5， ∴BF＝2x，则DF＝AF＝50＋2x， 故tan61.4°＝ ＝1.8， 解得x≈31. 故DE＝DF－EF＝50＋31×2－31＝81(米)． 所以，塔高DE大约是81米． 解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 方法总结 当堂练习 1. 已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角： （1）sinA=0.627 5，sinB＝0.6175； （2）cosA＝0.625 2，cosB＝0.165 9； （3）tanA＝4.842 8，tanB＝0.881 6. ∠B=38°8″ ∠A=38°51′57″ ∠A=51°18′11″ ∠B=80°27′2″ ∠A=78°19′58″ ∠B=41°23′58″ 2.sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是( 　) A．tan70°＜cos70°＜sin70° B．cos70°＜tan70°＜sin70° C．sin70°＜cos70°＜tan70° D．cos70°＜sin70°＜tan70° 解析：根据锐角三角函数的概念，知sin70°＜1，cos70°＜1，tan70°＞1.又cos70°＝sin20°，锐角的正弦值随着角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.故选D. 【方法总结】当角度在0°<∠A<90°间变化时，0<sinA<1，1>cosA>0.当角度在45°＜∠A＜90°间变化时，tanA＞1. D 3.求图中避雷针的长度(结果精确到0.01m). 解：依题意，可知 AB=20m，∠CAB=50°，∠DAB=56° 在Rt△DBA中，DB=ABtan56°≈20×1.4826 =29.652(m) 在Rt△CBA中，CB=ABtan50°≈ 20×1.1918 =23.836(m) ∴DC=DB-CB＝29.652-23.836≈5.82(m) 答：避雷针的长度5.82m PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ 资料下载：/ziliao/ 范文下载：/fanwen/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ PPT论坛：www.1ppt.cn PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 22 4.如图，某地夏日一天中午，太阳光线与地面成80°角，房屋朝南的窗户高AB=1.8 m，要在窗户外面上方安装一个水平挡板AC，使光线恰好不能直射室内，求挡板AC的宽度.(结果精确到0.01m) ∴AC＝　　　　 ≈　　　　　　　　　　　 ＝0.317≈0.32(m). 答：水平挡板AC的宽度应为0.32米. 解：∵tan80°＝ PPT模板：/moban/ PPT素材：/sucai/ PPT背景：/beijing/ PPT图表：/tubiao/ PPT下载：/xiazai/ PPT教程： /powerpoint/ 资料下载：/ziliao/ 范文下载：/fanwen/ 试卷下载：/shiti/ 教案下载：/jiaoan/ PPT论坛：www.1ppt.cn PPT课件：/kejian/ 语文课件：/kejian/yuwen/ 数学课件：/kejian/shuxue/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 美术课件：/kejian/meishu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 物理课件：/kejian/wuli/ 化学课件：/kejian/huaxue/ 生物课件：/kejian/shengwu/ 地理课件：/kejian/dili/ 历史课件：/kejian/lishi/ 23 5.如图,物华大厦离小伟家60m，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的的高度 (结果精确到0.1m). 0 A B C 解：如图,在Rt△AOC中,∠C=90°, AC=OCtan450 . 在Rt△OCB中,∠C=90°, CB=OCtan37° ∴AB=AC+BC=60tan50°+60×tan37° ≈5.82m 答：该大厦的的高度5.82m 课堂小结 三角函数的计算 用计算器求锐角的三角函数值或角的度数 不同的计算器操作步骤可能有所不同 利用计算器探索锐角三角函数的新知 正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）； 正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）. $$