精品解析：湖北省部分学校2024-2025学年高二上学期1月调研考试数学试卷

2024-2025学年高二上学期 1月调研考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出直线的斜率，由点斜式方程求解即得直线方程. 【详解】因直线的方向向量为，则直线的斜率 于是直线的方程为，即. 故选:A. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合并集的定义直接得到结果. 【详解】. 故选：D. 3. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得面积最小值. 【详解】根据，则直线的方程为，即， 又由，则圆心为， 则， 所以点到直线的最小值， . 故选：C 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量 故选：C 5. 已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间线面的位置关系的判定方法进行判断. 【详解】对A：若，则或，故A错误； 对B：因为平行于同一个平面的两条直线的位置关系不能确定，故B错误； 对C：若，则；，则，所以， 所以，所以C正确； 对D：若，，则或，故D错误. 故选：C 6. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解. 【详解】由双曲线可知，渐近线方程为， 又直线是其中一条渐近线， 所以，即， 故选：B 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由条件推得，，则得，推出数列为递增数列，推出即可求得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，则，， 故数列为递增数列，又，， 故使得成立的正整数n的最大值为21. 故选：B. 8. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件，易得则、、，若电路不发生故障，必须是正常工作且，至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得，至少有一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案． 【详解】记正常工作为事件，正常工作为事件，记正常工作为事件， 则， 电路不发生故障，即正常工作且，至少有一个正常工作， 、不发生故障即，至少有一个正常工作的概率， 所以整个电路不发生故障的概率为. 故选：C. 二、多选题 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 【答案】BC 【解析】 【分析】根据圆，双曲线，椭圆的方程特征，依次分析各选项即可. 【详解】对于A，当，即时，，表示平行于轴的两直线，故A错误； 对于B，当时，，表示以原点为圆心，半径为1的单位圆，故B正确； 对于C，当，即或时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故C正确； 对于D，当，且时，则，所以， 因此曲线表示焦点在轴上的椭圆，故D错误. 故选：BC. 10. 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 若，则 C. D. 记，则数列有最大值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据等比数列的性质逐项判断即可． 【详解】各项均为正项的等比数列，则（，）， 对于A：（常数，），所以数列为等差数列，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C：因为，，， 则， 又， ， 即，所以，故C错误； 对于D：， 由于，有最小值，且， 所以有最大值，故有最大值，故D正确； 故选：ABD． 11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 双纽线是中心对称图形 C. D. 到距离之和的最小值为2c 【答案】BCD 【解析】 【分析】B选项，求出双纽线的轨迹方程为，将换成，把换成，方程不变，故B正确；C选项，由三角形面积公式得到，得到；D选项，由基本不等式得到D正确；A选项，当不重合时，，两边平方后，结合余弦定理得到，求出. 【详解】B选项，由题意得双纽线的轨迹方程为， 将换成，把换成得， 即，故双纽线关于原点中心对称，B正确； C选项，，其中， 又在双纽线上，故， 故，所以， 当且仅当时，等号成立，所以，C正确； D选项，，当且仅当时，等号成立， 故D正确； A选项，当重合时，， 当不重合时，， 两边平方得， 在中，由余弦定理得①， 即②， 式子①②联立得，， 当落在轴上（除原点）时，等号成立， 故，的最大值为，A错误. 故选：BCD 【点睛】方法点睛：研究动点轨迹的性质时，若需研究其对称性，一般要写出轨迹方程，换成，或换成，或两者一起交换，进行推导，其他性质常常用到一些工具，比如平面向量，正余弦定理，基本不等式等知识 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________. 【答案】8 【解析】 【分析】找到与直线CE，EF分别平行或共面的平面即可得解. 【详解】正方体的左、右两个侧面与EF平行，其余4个平面与EF相交，即n＝4. 又因为CE与AB在同一平面内，所以CE与正方体下底面共面，与上底面平行，与其余四个面相交，即m＝4，所以m＋n＝4＋4＝8. 【点睛】本题主要考查了线面的位置关系，属于基础题. 13. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____． 【答案】3＋ 【解析】 【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解. 【详解】如图所示， 过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)， 因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|， |AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|， 所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小， 最小值为2＋1＋． 故答案为：3＋ 14. 在展开式中，的系数为__________. 【答案】80 【解析】 【分析】由二项展开式的通项求解即可； 【详解】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 故答案为：80. 四、解答题 15. 已知圆与x轴相切． （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 【答案】（1）圆心坐标为，半径长为2 （2） 【解析】 【分析】（1）首先化为圆的标准方程，再根据半径与圆心坐标的关系，即可求解； （2）首先计算圆心到直线的距离，再代入弦长公式，即可求解. 【小问1详解】 配方得， 由此可得圆心坐标为． 因为圆C与x轴相切， 所以圆心到x轴的距离为． 所以半径长为2． 【小问2详解】 因为直线与圆C交于A，B两点， 所以圆心C到直线l的距离为． 由（Ⅰ）可知， 所以． 16. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 （2）根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 （2）不能认为“课外体育达标”与性别有关 【解析】 【分析】（1）根据频率求出“课外体育达标”人数，即可完善列联表． （2）根据（1）中列联表的数据，计算，比较临界值可得结论． 【小问1详解】 由题意得“课外体育达标”人数为，则“课外体育不达标”人数为150． 补充完整的列联表如下： 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 30 90 女 90 20 110 合计 150 50 200 【小问2详解】 ， 在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关. 17. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的商数关系求解即可； （2）根据和正弦的两角差公式求解即可. 【小问1详解】 因为为锐角，，从而， 所以. 【小问2详解】 由及，，解得，， 又，所以， 所以， 所以 ， 因为，所以. 18. 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）若为第一象限角，且，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合同角三角函数基本关系与三角函数定义计算即可得； （2）利用三角函数定义可得，再借助诱导公式与同角三角函数基本关系将弦化为切后计算即可得. 【小问1详解】 ， 则， 故， 由为第一象限角，且，则， 故； 【小问2详解】 由，则， 则 . 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及前项和公式列方程组求解即可. （2）根据错位相减法及等比数列的前项和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，则前项和为. 所以，即， 解得，，所以. 因此数列的通项公式为. 【小问2详解】 . ， ， 所以 ， 即， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二上学期 1月调研考试数学试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1. 若直线的方向向量为，且过点，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 4. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是两个平面，是两条不同的直线，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知直线是双曲线的一条渐近线，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 16 7. 已知等差数列的前n项和为，若，则使得成立的正整数n的最大值为（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 8. 如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知曲线（其中为常数），则曲线可能为（ ） A. 平行于轴的两条直线 B. 单位圆 C. 焦点在轴上的双曲线 D. 焦点在轴上的椭圆 10. 已知各项均为正数的等比数列，其前项和为，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等差数列 B. 若，则 C. D. 记，则数列有最大值 11. 2022年卡塔尔世界杯赛徽近似“伯努利双纽线”.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布伯努利用来描述他所发现的曲线.定义在平面直角坐标系xOy中，把到定点距离之积等于定值的点的轨迹称为双纽线，已知点是双纽线上一点，下列关于双纽线的说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 双纽线是中心对称图形 C. D. 到距离之和的最小值为2c 第II卷（非选择题） 三、填空题 12. 如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m＋n＝________. 13. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____． 14. 在展开式中，的系数为__________. 四、解答题 15. 已知圆与x轴相切． （1）求圆C的圆心坐标及半径； （2）直线与圆C交于A，B两点，求线段的长． 16. 某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生每天课外体育锻炼的平均时间（单位：分钟）进行调查，将收集的数据分成，，，，，六组，并作出频率分布直方图（如图），将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”． （1）请根据直方图中的数据，将下面的列联表补充完整； 课外体育不达标 课外体育达标 合计 男 60 女 110 合计 （2）根据（1）中所得数据，判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？ 附：． 0.15 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知为锐角，. （1）求的值； （2）若，且，求的值. 18. 在直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与以原点为圆心的单位圆交于点. （1）若为第一象限角，且，求的值； （2）若，求的值. 19. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前项和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $