第05讲 勾股定理的逆定理 （3个知识点+6种题型+分层练习） -2025年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第05讲 勾股定理的逆定理 （3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点3．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型强化 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（22-23八年级下·河南漯河·期中）下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； C、∵，∴不能够成直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，∴能够成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知三角形的三边为，，，则这个三角形是 三角形． 【答案】等腰直角 【知识点】等腰三角形的定义、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理逆定理及等腰三角形的定义，根据勾股定理逆定理即可求解，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边为，，， ∴， ∴这个三角形是直角三角形， 故答案为：等腰直角． 3．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）（1）用不等式表示：与的和的一半不大于． （2）已知：如图，四边形中，，，，，． 求证：是直角三角形． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【知识点】列一元一次不等式、判断三边能否构成直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查由实际问题抽象一元一次不等式， （1）抓住题干中的“不大于”，是指“小于”或“等于”，由此即可得解； （2）首先利用勾股定理计算出长，再利用勾股定理的逆定理证明即可； 解题的关键：（1）理解“不大于”的含义；（2）如果三角形的三边长，，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】（1）解：根据 “与的和的一半”可以列式为：， “不大于”是指“小于等于”， ∴用不等号连接起来是：， ∴用不等式表示“与的和的一半不大于”的结果是：； （2）证明：∵，，， ∴， ∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 题型二、图形上与已知两点构成直角三角形的点 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【知识点】在网格中判断直角三角形、图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 5．（八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 【答案】或 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】设点B的横坐标为t，利用两点间的距离公式得到，从而可以求出t的值. 【详解】解：设点B的横坐标为t， 根据题意得，即. 所以3-t=12或3-t=-12． ∴t=-9或t=15. 故答案为或. 【点睛】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB＝． 6．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 【答案】见解析 【知识点】图形上与已知两点构成直角三角形的点 【分析】本题是直角三角形定义的应用问题，如果三角形有一个内角是直角，那么这个三角形就是直角三角形.根据三角形内角和定理，三角形中是直角的内角最多只有一个.从图中可以看出线段AB没有经过任何一个小正方形的边，因此从点A、B处构造直角比较困难；所以考虑在点C处构造直角，通过点A和点B分别作水平和竖直的直线，则直线交点就是点C的位置. 【详解】过点A作竖直的直线，过点B作水平的直线，交点处就是点C，如图①；或者过点A作水平的直线，过点B作竖直的直线，交点处就是点C，如图②.  【点睛】本题考查直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理，解答的关键是掌握直角三角形的定义、勾股定理和勾股定理的逆定理. 题型三、在网格中判断直角三角形 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】B 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，设单位正方形的边长为1，由勾股定理得出，，，，再由勾股定理逆定理判断即可得解． 【详解】解：设单位正方形的边长为1， 则，，，， ∵， ∴能构成一个直角三角形三边的线段是、、，故B符合题意， ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故A不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故C不符合题意； ∵， ∴、、不能构成直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 【答案】4 【知识点】在网格中判断直角三角形 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是正确作出图形，不要漏掉任何一种情况． 【详解】解：如图所示，即为所求， ∴以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为4， 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 【答案】图见解析，直角三角形 【知识点】在网格中判断直角三角形、勾股定理与网格问题 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么，反过来也成立．根据勾股定理作出边长为，和5的三角形，根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】如图所示， ，，， ，， ， ∴为直角三角形． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：， ∴ 即， 所以此三角形是直角三角形， 故选：C． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． 先用勾股定理逆定理证明是直角三角形，且.再由勾股定理求出的长，得到的长，利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：在中，，，， ∴，即， ∴是直角三角形，且. 在中，，即， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴的面积为 故答案为： 12．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理判断形状，即可求出答案． 【详解】解： ∵，， 为直角三角形， ． 题型五、勾股定理逆定理的实际应用 13．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 【答案】D 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理应用，作出图形是解题的关键．根据题意画出图形，利用勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】解：如图，， ， ， 故小数同学向东走5米后所走的方向是向南或向北， 故选D． 14．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 【答案】垂直 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理得出“电线杆、地面、拉线围成了直角三角形”，得出电线杆与地面的垂直关系即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵电线杆高，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线，拉线工人发现所用线长为， ∴， ∴电线杆、地面、拉线围成了直角三角形，电线杆与地面的线段是直角边， ∴电线杆与地面垂直， 故答案为：垂直． 15．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 【答案】米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，熟记勾股定理的逆定理，勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理推出，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：米，米，米， ， ， ， （米）， （米）． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 16．（八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 17．（八年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ． 【答案】24cm2． 【知识点】勾股定理逆定理的拓展问题、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】根据勾股定理的逆定理证明该三角形是直角三角形，再根据面积公式计算即可. 【详解】∵62+82=102， ∴此三角形是直角三角形， ∴此直角三角形的面积为：6×8=24(cm2)． 故答案为：24cm2． 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，熟练掌握是解题的关键． 18．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的拓展问题 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 分层练习 一、单选题 1．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．AC＝1，BC＝2，AB＝ C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝，BC＝2，AB＝ 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C的度数，即可判断A；先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等，即可判断选项B、选项C、选项D． 【详解】A．∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝×180°＝90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵AC＝1，BC＝2，AB＝， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； C．∵AC＝6，BC＝8，AB＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵AC＝，BC＝2，AB＝， ∴AC2+BC2≠AB2， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，常用判定方法有：有一个内角为直角；或勾股定理的逆定理． 2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，1， B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案，熟记勾股定理的逆定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由可得1，1，能构成直角三角形，不符合题意； B、由可得6，8，10能构成直角三角形，不符合题意； C、由可得5，12，13能构成直角三角形，不符合题意； D、由可得，2，不能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，不能组成直角三角形，故不符合要求； B中，不能组成直角三角形，故不符合要求； C中，能组成直角三角形，故符合要求； D中，不能组成直角三角形，故不符合要求； 故选：C． 4．以下列各组数为三角形的三条边长：① 1，，3；②9，40，41；③，，2；④1.5，2.5，2 ．其中能构成直角三角形的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【详解】①、，则不是直角三角形；②、，则是直角三角形；③、，则不是直角三角形；④、，则是直角三角形. 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用勾股定理和勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，且即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∴， 故选；C．    6．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．三角形的三边长满足关系a+b＝c B．三角形的三边长之比2：3：4 C．三角形的三边长分别为5、12、13 D．三角形的一边长等于另一边长的一半 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项逐一判断即可． 【详解】A：三角形的三边满足关系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本选项错误； B：∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本选项错误； C：∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本选项正确； D：三角形的一边等于另一边的一半无法判断三角形的形状，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理的运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 7．下列线段不能组成直角三角形的是（     ）． A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝1，b＝，c＝ C．a＝2，b＝3，c＝4 D．a＝7，b＝24，c＝25 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项逐一分析即可解答． 【详解】解：A、32+42=52，.能组成直角三角形； B、12+（）2=（）2，能组成直角三角形； C、22+32≠42：不能组成直角三角形； D、72+242=252，：能组成直角三角形． 故选C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理的应用，掌握运用勾股定理逆定理判定三角形是否为直角三角形是解答本题的关键． 8．下列各数组中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可解答． 【详解】解：A、因为1+1=2，不能构成三角形；故此选项不符合题意； B、因为，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，不能构成三角形；故此选项不符合题意； D、因为，能构成直角三角形．故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理的应用．熟练运用勾股定理的逆定理加以判断是解题关键． 9．下列各组线段中，能成为同一直角三角形三边的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答． 【详解】解：A、，， ， 不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、， ， 不能构成直角三角形， 故B不符合题意； C、，， ， 不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、，， ， 能构成直角三角形， 故D符合题意； 故选：D． 10．满足下列条件的三角形是直角三角形的是（   ） A．三个内角之比是 B．三边长分别为，， C．三边长分别，， D．三边长分别为1，2， 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理逆定理与三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理与三角形内角和定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：A、当三个内角度数之比是时，最大的角的度数是：，故选项不符合题意； B、当三边长分别为，，时，，故该三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； C、当三边长分别，，时，，故该三角形不是直角三角形，故选项不符合题意； D、当三边长分别为1，2，时，，故该三角形是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 11．若的三边a、b、c满足，则为 三角形． 【答案】直角 【分析】这是一道有关勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答题．把已知条件写成三个完全平方式的和的形式，再由非负数的性质求得三边，根据勾股定理的逆定理即可判断的形状. 【详解】解：， ， 即， ，，， ，，， ，，， ， ， 该三角形为直角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式，解题的关键就是灵活掌握完全平方公式的特点，用配方法进行恒等变形，在恒等变形的过程中不要改变式子的值． 12．若为的三边，且满足，则的最长边的高的长度等于 ． 【答案】 【分析】本题利用完全平方公式逆运算对方程进行转换,进而求出三边长，根据，可以求得的值，从而可以判断的形状，从而可以求得最长边上的高． 【详解】解：， ， ∴， ∴， 解得，， ∵， ∴是直角三角形， ∴斜边上的高是：， 故答案为：． 13．如图，在 中，，，点是边上一点，连接，若，，则线段 ． 【答案】 【分析】根据已知条件与勾股定理的逆定理得出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 14．如图，在的正方形网格中，点A，P，B为格点，则 ． 【答案】 【分析】延长AP交网格于点C，连接BC．利用勾股定理求出可得：即可判定△PBC是等腰直角三角形，那么∠BPC=45°，再根据邻补角定义求出∠APB． 【详解】解：如图，延长AP交网格于点C，连接BC． ∵ ∴ ∴△PBC是等腰直角三角形， ∴∠BPC=45°， ∴∠APB=180°-∠BPC=135°． 故答案为：135°． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，作出辅助线，利用平方根的含义解方程，利用勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定得出△PBC是等腰直角三角形是解题的关键． 15．已知：、、是的三边，且满足：，面积等于 . 【答案】60 【分析】利用非负数的性质求出a，b，c的值，即可根据勾股定理的逆定理对于三角形形状进行判断，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】证明：∵， ∴a−8＝0，b−15＝0，c−17＝0， ∴a＝8，b＝15，c＝17， ∵82＋152＝172， ∴三角形为直角三角形， ∴的面积为：8×15÷2＝60． 故答案为60． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，以及非负数的性质，三角形面积，得出△ABC是直角三角形是解本题的关键． 16．已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 【答案】南偏东或北偏西 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理和方位角的表示， 首先根据勾股定理的逆定理求出，然后利用方位角求解即可． 【详解】根据题意得， ∵，， ∴ ∴ 如图所示，当点B在下方时， ∴ ∴岛B在岛C的南偏东方向上； 如图所示，当点B在上方时， ∴ ∴岛B在岛C的北偏西方向上； 综上所述，岛B在岛C的南偏东或北偏西方向上． 故答案为：南偏东或北偏西． 17．如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间 ． 【答案】或或 【分析】分情况讨论：，，画出图形分别求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 如图1，， ∴； 如图2，， ∴， ∴； 如图3，， 过点B作于D，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 综上所述，t的值是或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 18．如图，每个小正方形的边长为1. （1）三角形是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”） （2）边上的高为 ． 【答案】 是 2 【分析】（1）根据勾股定理逆定理即可解答； （2）先根据勾股定理可得，设边上的高为h，然后利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵, ∴， ∴三角形是是直角三角形． 故答案为：是． （2）∵， ∴， 设边上的高为h． ,即，解得， ∴边上的高为2． 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、等面积法等知识点，掌握勾股定理成为解答本题的关键 三、解答题 19．如图，小红和小明同时从位于点A的教学楼去位于点B的实验楼上公开课，小红以每分钟65米的速度沿的方向慢慢走，小明先以每分钟155米的速度慢跑到位于点D处的体育馆，发现走错了又立即以相同的速度慢跑回点B处的实验楼，2分钟后，两人同时到达实验楼．已知为120米，为50米，且点C，B，D在同一条直线上，请问从点A处的教学楼到点D处的体育馆有多远？ 【答案】从点A处的教学楼到点D处的体育馆有200米 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，理解题意，判断出是解答的关键．先求得米，（米），再根据勾股定理的逆定理判断出，设米，则米，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意，（米），（米）， ∵， ∴，则， 设米，则米， 由得， 解得，即米， 答：从点A处的教学楼到点D处的体育馆有200米． 20．如图的网格中每个小正方形的边长均为,线段的两个端点均在格点上； (1)画出以为一条直角边的,点在格点上,且的面积为； (2)在图中画出以为斜边的,点在格点上,且的面积为,并请直接写出的值. 【答案】（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析， 【分析】（1）由题意可知AB=，以AB为直角边的RT△ABC且面积为10，继而根据面积公式可求出BC=，然后画出即可； （2）设BD为x，根据△ABD的面积为10，可知AD=，然后根据勾股定理求出x，然后画出即可；如图1所示：作CE⊥AD交AD的延长线于点E，假设点E正好位于小正方形的顶点上，由图可知AE= =3 ,CE= ,AC= ,CE2+AE2=（）2+（3）2=50=AC2，即假设成立，根据边的关系可求出tan∠DAC. 【详解】（1）由题意可知AB=，BC=10×2÷2 = ，根据边长画出，如图所示； （2）设BD为x,则AD=，在RT△ABD中，根据勾股定理可得AB2=BD2+AD2，即22+62=x2+ ，解得x=2，所以BD=2 , AD=2 ，根据边长画出，如图所示.. 【点睛】勾股定理及其逆定理和三角形的面积公式是本题的考点，熟练运用勾股定理求出边长是解题的关键. 21．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理： （1）在中，根据勾股定理进行计算即可； （2）在中根据勾股定理进行计算即可； （3）根据题意得到，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）解：在中，于点D， 故在中， ； （2）解：在中，于点D， 在中， ； （3）证明：， ， 故是直角三角形． 22．综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 【答案】垂直；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，由勾股定理逆定理求出，则可得出结论． 【详解】解：垂直，理由如下： 连接，如图所示： 在中，因为，，， ∵， ， ∴， ∴． 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），测得千米，千米，千米， (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)路线的长为千米 【分析】（1）利用勾股定理逆定理证明，根据垂线段最短可得答案； （2）设千米，则千米，利用勾股定理列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：是， 理由：千米，千米，千米， 又， ， 为直角三角形， ， 是从村庄C到河边最近的路； （2）解：设千米，则千米， ， ， 解得：， 答：路线的长为千米． 【点睛】此题主要考查了勾股定理和逆定理，关键是表示出直角三角形的三边长，利用勾股定理列出方程． 24．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3600 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可证是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， 在中，，， ， . ， ， 共需花费（元）． 25．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，， ， 是直角三角形，且； 过点作于， 是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）解：如图所示，分别在上取一点E和F，当，时，正好影响港口， 在中，由勾股定理， 同理可得， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 26．在△ABC中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积是______； (2)如图2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积； (3)如图3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面积． 【答案】(1)30 (2)60 (3)15 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形，再求面积即可； （2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形三线合一的性质及勾股定理求出AD的长度，再根据面积公式计算即可； （3）作CD⊥AB于D，先由勾股定理计算出CD的长度，再根据面积公式计算即可． 【详解】（1）∵AC＝5，BC＝12，AB＝13， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°， ∴△ABC的面积＝AC×BC＝×5×12＝30； 故答案为：30； （2）作AD⊥BC于D，如图2所示： ∵AB＝AC， ∴BD＝CD＝BC＝5， ∴AD＝＝＝12， ∴△ABC的面积＝BC×AD＝×10×12＝60； （3）作CD⊥AB于D，如图3所示： 由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即82﹣AD2＝102﹣（12﹣AD）2， 解得：AD＝， ∴CD＝＝， ∴△ABC的面积＝AB×CD＝×12×＝15． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 勾股定理的逆定理 （3个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．勾股定理的逆定理 （1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 说明： ①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． ②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断． （2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题． 注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． 知识点2．勾股数 勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 知识点3．勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． 题型强化 题型一、判断三边能否构成直角三角形 1．（22-23八年级下·河南漯河·期中）下面各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（  ） A．，2， B．1，， C．6，12，13 D．7，24，25 2．（23-24八年级下·广东惠州·期中）已知三角形的三边为，，，则这个三角形是 三角形． 3．（23-24八年级下·江西抚州·阶段练习）（1）用不等式表示：与的和的一半不大于． （2）已知：如图，四边形中，，，，，． 求证：是直角三角形． 题型二、图形上与已知两点构成直角三角形的点 4．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 5．（八年级·全国·单元测试）已知点的坐标为，点在轴上，且，那么点的坐标为 . 6．（八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示的方格纸中的每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上.在图中画出△ABC(点C在小正方形的顶点上)，使△ABC为直角三角形. 题型三、在网格中判断直角三角形 7．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在单位正方形组成的网格图中标有、、、四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 8．（23-24八年级下·全国·期末）如图，方格中的点A，B称为格点（格线的交点），以为一边画，其中是直角三角形的格点C的个数为 ． 9．（23-24八年级下·全国·期末）在如图的方格中，画一个格点三角形（三个顶点都在小正方形的顶点上），使它的三条边长分别，和5，并判断其形状． 题型四、利用勾股定理的逆定理求解 10．（23-24八年级下·河南漯河·期中）三角形的三边长a，b，c满足，则此三角形是（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，，B是延长线上的一点，连接．若，则的面积为 ． 12．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积．    题型五、勾股定理逆定理的实际应用 13．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）小数同学向东走5米，沿另一个方向又走了12米，再沿着第三个方向走了13米回到原地，那么小数同学向东走5米后所走的方向是（    ） A．向北 B．向南 C．向西 D．向南或向北 14．（23-24八年级下·贵州黔南·期末）一根电线杆高，为了安全起见，在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离处加一拉线．拉线工人发现所用线长为（不计捆缚部分），则电线杆与地面 （填“垂直”或“不垂直”）． 15．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期末）某工程的测量人员在规划一块如图所示的三角形地时，由于在上有一处古建筑，使得的长不能直接测出，于是工作人员在上取一点，测得米，米后，又测得米，米，请你根据测量数据，求出的长度． 题型六、勾股定理逆定理的拓展问题 16．（八年级下·山西吕梁·期末）根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 17．（八年级下·甘肃张掖·阶段练习）已知一个三角形的三边分别是6cm、8cm、10cm，则这个三角形的面积是 ． 18．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 分层练习 一、单选题 1．满足下列条件的ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 B．AC＝1，BC＝2，AB＝ C．AC＝6，BC＝8，AB＝10 D．AC＝，BC＝2，AB＝ 2．下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（    ） A．1，1， B．6，8，10 C．5，12，13 D．，2， 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．以下列各组数为三角形的三条边长：① 1，，3；②9，40，41；③，，2；④1.5，2.5，2 ．其中能构成直角三角形的有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 5．如图，在的正方形网格中，点A，B，M均在格点上，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 6．满足下列条件的三角形中，是直角三角形的是（　　） A．三角形的三边长满足关系a+b＝c B．三角形的三边长之比2：3：4 C．三角形的三边长分别为5、12、13 D．三角形的一边长等于另一边长的一半 7．下列线段不能组成直角三角形的是（     ）． A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝1，b＝，c＝ C．a＝2，b＝3，c＝4 D．a＝7，b＝24，c＝25 8．下列各数组中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，3，5 D．3，4，5 9．下列各组线段中，能成为同一直角三角形三边的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．满足下列条件的三角形是直角三角形的是（   ） A．三个内角之比是 B．三边长分别为，， C．三边长分别，， D．三边长分别为1，2， 二、填空题 11．若的三边a、b、c满足，则为 三角形． 12．若为的三边，且满足，则的最长边的高的长度等于 ． 13．如图，在 中，，，点是边上一点，连接，若，，则线段 ． 14．如图，在的正方形网格中，点A，P，B为格点，则 ． 15．已知：、、是的三边，且满足：，面积等于 . 16．已知A，B，C是海上的三座小岛，岛A在岛C的北偏东方向上，距离为5海里，岛B到岛A和岛C的距离分别是13海里和12海里，则岛B在岛C的 方向上． 17．如图所示，已知中，，，，点P是边上的一个动点，点P从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，设运动的时间为（），若是以为腰的等腰三角形，则运动时间 ． 18．如图，每个小正方形的边长为1. （1）三角形是否是直角三角形？ ．（填“是”或“否”） （2）边上的高为 ． 三、解答题 19．如图，小红和小明同时从位于点A的教学楼去位于点B的实验楼上公开课，小红以每分钟65米的速度沿的方向慢慢走，小明先以每分钟155米的速度慢跑到位于点D处的体育馆，发现走错了又立即以相同的速度慢跑回点B处的实验楼，2分钟后，两人同时到达实验楼．已知为120米，为50米，且点C，B，D在同一条直线上，请问从点A处的教学楼到点D处的体育馆有多远？ 20．如图的网格中每个小正方形的边长均为,线段的两个端点均在格点上； (1)画出以为一条直角边的,点在格点上,且的面积为； (2)在图中画出以为斜边的,点在格点上,且的面积为,并请直接写出的值. 21．如图，在中，于点D，，，．    (1)求的长； (2)求的长； (3)求证：是直角三角形． 22．综合与实践 主题：检测雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 素材：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： 通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ 23．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由C到B的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点D（A、D、B在同一条直线上），测得千米，千米，千米， (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明； (2)求原来的路线的长． 24．为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 25．2021年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由点A向点B移动，已知点C为一海港，且，， ．经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港C会受到台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 26．在△ABC中，已知三角形的三边长，求这个三角形的面积． (1)如图1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，则△ABC的面积是______； (2)如图2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面积； (3)如图3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$