预习第10讲 正态分布6种常见考法归类-【寒假自学课】2025年高二数学寒假提升精品讲义（苏教版2019）

预习第10讲 正态分布6种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小. 3.掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率． 知识点1、正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4、正态曲线的特点： （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 知识点2、正态分布的应用（3σ原则）解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 考点一：正态曲线的图象与性质 例1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【变式1-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   【变式1-3】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【变式1-5】阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 【变式1-6】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【变式1-7】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考点二：利用正态分布的对称性求参数 例2.若服从正态分布，且，则的值为______. 【变式2-1】已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【变式2-2】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点三：利用正态分布的对称性求概率 例3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知随机变量服从正态分布，如果，则（    ） A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794 【变式3-2】在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【变式3-3】已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 【变式3-4】重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.） 考点四：正态分布的实际应用 例4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A．3200 B．6800 C．3400 D．6400 【变式4-1】某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 【变式4-2】 【变式3-1】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于分的人数越少 C．若，则这次考试分数高于分的约有人 D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为 【变式4-3】某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 【变式4-4】为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取.包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．12 B．13 C．14 D．16 【变式4-5】某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为． （1）求和； （2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若，则：，， ，． 【变式4-6】某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.    (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 考点五：标准正态分布应用 例5.（k，b为实常数），若，，则__________. 【变式5-1】【多选】若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【变式5-2】以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（    ） A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ（1）－Φ(－1) C．Φ D．2Φ(μ＋σ) 【变式5-3】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【变式5-4】法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布. （1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； （2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布，则，， ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 考点六：正态分布的综合应用 例6.某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数． (2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数． (3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【变式6-1】某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【变式6-2】某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意. (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 6．（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 7．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 9．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 10．（2024高三·全国·专题练习）已知某厂生产的某配件的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且该配件使用寿命不低于年的概率为，不低于年的概率为，若某产品制造需要同时使用个该配件，且个配件能否正常工作相互独立，则在年内这个配件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 12．（2024高三·全国·专题练习）已知某校高三学生在一次考试中的数学成绩，在该校高三学生中任选1人，该学生的数学成绩不低于120分的概率为0.21，则该学生的数学成绩在内的概率为（    ） A．0.21 B．0.29 C．0.58 D．0.79 13．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 15．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若随机变量服从正态分布，设，则（    ） A． B． C． D． 17．（2025高三·全国·专题练习）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 18．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）随机变量服从正态分布，若，则（    ） （若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 19．（湖南省株洲市2025届高三上学期期末教学质量统一检测数学试题）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（    ） （附：若随机变量服从正态分布.） A．学生考试成绩标准差为 B．学生考试成绩近似服从正态分布 C．约有20000名学生的成绩低于58分 D．全体学生成绩的第84百分位数约为78 20．（24-25高三上·河北张家口·期末）某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值. 已知生产线的产量是生产线的倍，则（    ） A．生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值 B．该企业产品质量指标值的均值是 C．生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差 D．，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同 21．（24-25高三上·江苏·期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 22．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）已知随机变量服从正态分布，，，则以下选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 三、填空题 23．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 24．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 25．（24-25高三上·江苏扬州·期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 26．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 27．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 28．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）设，，则 . 29．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 . 30．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有 人.（参考数据：，，） 31．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 四、解答题 32．（2025高三·全国·专题练习）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 33．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 34．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 35．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 36．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 37．（24-25高三上·海南·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习第10讲 正态分布6种常见考法归类 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1.利用实际问题的频率分布直方图，了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义. 2.了解变量落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率大小. 3.掌握正态分布与标准正态分布的转换，能利用标准正态分布表求得标准正态分布在某一区间内取值的概率． 知识点1、正态曲线及其性质 1、正态曲线：我们称，x∈R，其中μ∈R，σ>0时为参数，为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线． 2、正态分布：若随机变量X的概率分布密度函数为，则称随机变量X服从正态分布，记为．特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3、正态分布的期望与方差：若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 4、正态曲线的特点： （1）非负性：对∀x∈R，，它的图象在x轴的上方． （2）定值性：曲线与x轴之间的面积为1. （3）对称性：曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． （4）最大值：曲线在x＝μ处达到峰值. （5）当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． （6）当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. （7）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 5、正态分布的几何意义：若，如图所示，X取值不超过x的概率为图中区域A的面积，而为区域B的面积． 6、正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 知识点2、正态分布的应用（3σ原则） 解题时，应当注意零件尺寸应落在[μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格． 考点一：正态曲线的图象与性质 例1．已知正态分布密度函数，，则分别是（  ） A．0和4 B．0和2 C．0和8 D．0和 【答案】B 【解析】， . 故选：B. 【变式1-1】给出下列函数：①；②；③；④，其中，，则可以作为正态分布密度函数的个数有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】对于①，，由于，所以，故它可以作为正态分布密度函数； 对于②，若，则应为，若，则应为，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数； 对于③，它就是当，时的正态分布密度函数； 对于④，它是当时的正态分布密度函数． 所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数． 故选：C 【变式1-2】函数(其中)的图象可能为（   ） A．  B．  C．    D．   【答案】A 【解析】函数图象的对称轴为直线，因为，所以排除B，D； 又正态曲线位于x轴上方，因此排除C，所以A正确. 故选：A. 【变式1-3】已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮，所以.故选：C 【变式1-4】设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 【答案】C 【解析】由正态密度曲线的性质可知， 、的密度曲线分别关于、对称， 因此结合所给图像可得，； 又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，所以， ；故A、B错误． 由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数， ．故C正确，D错误．故选：C． 【变式1-5】阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车.若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（    ）    A．Y的数据较X更集中 B．若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大 C．若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大 D． 【答案】D 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】观察图象知，， 对于A，的密度曲线瘦高、的密度曲线矮胖，即随机变量的标准差小于的标准差，即， 因此Y的数据较X更集中，A正确； 对于B，显然，则当有34min可用时，坐公交车不迟到的概率大，B正确； 对于C，显然，则当有38min可用时，骑自行车不迟到的概率大，C正确； 对于D，显然，因此，D错误. 故选：D 【变式1-6】甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布，，其相应的分布密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（    ） （注：正态曲线的函数解析式为，） A．甲类水果的平均质量 B．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于均值左右 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量大 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】A 【分析】根据正态分布的特征可得两者的均值、方差的大小关系，结合正态分布密度曲线可判断D，进而即得. 【详解】由题图可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称， 所以，，，故A正确，C错误； 因为甲图象比乙图象更“高瘦”（曲线越“高瘦”，越小，表示总体的分布越集中）， 所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于均值左右，故B错误； 因为乙图象的最高点为，即，所以，故D错误． 故选：A． 【变式1-7】李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的正态分布密度曲线，结合正态分布的对称性和性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，随机变量服从正态分布，且， 可得随机变量的方差为，即，所以A错误； 对于B中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量， 所以，所以B错误； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像，可得时，随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以C正确； 对于D中，根据正态分布密度曲线图像，可得，， 即，所以D错误. 故选：C. 考点二：利用正态分布的对称性求参数 例2.若服从正态分布，且，则的值为______. 【答案】8 【解析】由题意知，解得. 故答案为：8. 【变式2-1】已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【解析】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称， 又，且，所以. 故选：B 【变式2-2】已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，. 故选：B. 【变式2-3】已知随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，，， ，解得：. 故选：B. 【变式2-4】已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正态密度曲线的对称性求出的值，然后将与相乘，展开后可求得的最小值. 【详解】因为，且，则，解得， 因为，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 考点三：利用正态分布的对称性求概率 例3.已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性可求解. 【详解】因为，所以， 所以． 故选：D 【变式3-1】已知随机变量服从正态分布，如果，则（    ） A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794 【答案】A 【分析】根据正态曲线的对称性求解. 【详解】∵随机变量服从正态分布，∴正态曲线关于对称， ∴， . 故选：A. 【变式3-2】在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据正态分布对称性相关知识求解. 【详解】因为服从正态分布，， 所以， 所以. 故选：C 【变式3-3】已知随机变量X服从正态分布，且，，则______． 【答案】0.52/ 【解析】由对称性可知，，故. 故答案为：0.52 【变式3-4】重庆市奉节县所产脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径X（单位：mm）服从正态分布，则果实横径在的概率为______.（附：若，则；.） 【答案】0.8185 【解析】由题得，， 所以，， 所以， 所以果实横径在的概率为. 考点四：正态分布的实际应用 例4.某市组织高二学生统一体检，其中男生有10000人，已知此次体检中高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，统计结果显示高二男生中身高高于180cm的概率为0.32，则此次体检中，高二男生身高不低于170cm的人数约为（ ） A．3200 B．6800 C．3400 D．6400 【答案】B 【解析】因为高二男生身高h（cm）近似服从正态分布，且， 于是，因此， 所以高二男生身高不低于170cm的人数约为.故选：B. 【变式4-1】某地区有10000名考生参加了高三模拟调研考试.经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩位于的人数约为（    ） 参考数据：， A．455 B．1359 C．3346 D．1045 【答案】B 【分析】根据已知和正态分布的对称性得出结果. 【详解】，则数学成绩位于的人数约为. 故选：B. 【变式4-2】 【变式3-1】（2023春·山东潍坊·高二山东省昌乐第一中学校考阶段练习）已知某地区有名同学参加某次数学模拟考试（满分分），其中考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） （参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于分的人数越少 C．若，则这次考试分数高于分的约有人 D．从参加考试的同学中任取人，至少有人的分数超过分的概率为 【答案】D 【解析】对A，根据正态分布知，数学考试成绩的平均值为，故A错误； 对B，根据中标准差的意义， 的值越大则高于分低于分的人数变小， 所以成绩不低分的人数增多，故B错误； 对于C，时，， 故这次考试分数高于分的约有人，故C错误； 对D，由数学考试成绩近似服从正态分布知， 由次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取人， 至少有人的分数超过分的概率为，故D正确， 故选：D. 【变式4-3】某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）参考数据：，，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果. 【详解】由题意可知，，， 所以． 故选：A 【变式4-4】为了检测自动流水线生产的食盐质量，检验员每天从生产线上随机抽取.包食盐，并测量其质量（单位：）.由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的一袋食盐的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条生产线在正常状态下，每包食盐的质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的包食盐中质量在之外的包数，若的数学期望，则的最小值为（    ） 附：若随机变量服从正态分布，则. A．12 B．13 C．14 D．16 【答案】A 【分析】由题意得到，从而根据得到不等式，求出解集，得到答案. 【详解】因为，所以， 故，所以，解得， 因为，故的最小值为12. 故选：A 【变式4-5】某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为． （1）求和； （2）已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由． 参考数据：若，则：，， ，． 【答案】（1），；（2）这台设备需要进一步调试，理由见解析 【解析】（1）, ， 故； （2）由题意得：， ，即， 所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为 ， 又试产的5个零件中内径出现了1个不在内， 所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备需要进一步调试. 【变式4-6】某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意.    (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 【解析】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布， 其中， 设对产品功能满意程度的评分为， 所以， 所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）. 根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为， 则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）. （2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人， 只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为 ，，， 则的分布列为 数学期望. 考点五：标准正态分布应用 例5.（k，b为实常数），若，，则__________. 【答案】-3或3 【解析】由题知，，则随机变量（为实常数）， 服从的分布为 ， 而又因为，所以有，解得或， 所以-3或3. 【变式5-1】【多选】若随机变量，，其中，下列等式成立的有（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A选项，利用正态密度曲线的对称性可知， 所以，，A对； 对于B选项，，B错； 对于C选项， ，C对； 对于D选项，，D对.故选：ACD. 【变式5-2】以Φ(x)表示标准正态总体在区间(－∞，x)内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则概率P(|ξ－μ|＜σ)等于（    ） A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ) B．Φ（1）－Φ(－1) C．Φ D．2Φ(μ＋σ) 【答案】B 【解析】根据正态分布N(μ，σ2)与标准正态分布的关系求解． 【详解】若ξ～N(μ，σ2)，则 P(x1＜x＜x2)＝Φ－Φ， P(|ξ－μ|＜σ)＝P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ) ＝Φ－Φ ＝Φ(1)－Φ(－1)， 故选：B. 【变式5-3】随机变量服从正态分布，随机变量服从标准正态分布，若，则 ．（用字母表示） 【答案】 【分析】根据随机变量服从标准正态分布，得到，再结合随机变量服从正态分布可得答案. 【详解】随机变量服从标准正态分布，根据对称性可知， 因为，所以，即， 随机变量服从正态分布，根据对称性可知， ，则，即. 故答案为：. 【变式5-4】法国数学家庞加莱是个喜欢吃面包的人，他每天都会到同一家面包店购买一个面包，该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1000g，上下浮动不超过50g，这句话用数学语言来表达就是：每个面包的质量服从期望为1000g，标准差为50g的正态分布. （1）已知如下结论：若，从的取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量.利用该结论解决下面问题. ①假设面包师的说法是真实的，随机购买25个面包，记随机购买25个面包的平均值为，求； ②庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录，25天后，得到的数据都落在上并经计算25个面包质量的平均值为978.72g.庞加莱通过分析举报了该面包师，从概率角度说明庞加菜举报该面包师的理由； （2）假设有两箱面包（面包除颜色外，其他都一样），已知第一箱中共装有6个面包，其中黑色面包有2个；第二箱中共装有8个面包，其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱，然后从该箱中随机取出2个面包.求取出黑色面包个数的分布列及数学期望. 附： ①随机变量服从正态分布，则，， ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生 【答案】（1）①；②答案见解析；（2）分布列见解析， 【解析】（1）（i）假设面包师说法是真实的，则每个面包的质量 由已知结论可知， 由附①数据知， （ii），由附②知，事件“”为小概率事件， 由题25个面包质量的平均值， 小概率事件“”发生所以庞加莱认为面包师的说法不真实，进行了举报 （2）由题意，设随机挑选一箱，取出两个面包，其中黑色面包个数为， 则的取值为0，1，2 设“所取两个面包来自第箱”，所以 设“所取两个面包有各黑色面包”，由全概率公式 ， ， ， 所以黑色面包个数的分布列为 0 1 2 所以 考点六：正态分布的综合应用 例6.某市有20000名学生参加了一项知识竞赛活动（知识竞赛分为初赛和复赛），并随机抽取了100名学生的初赛成绩作为样本，绘制了频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和分位数． (2)若所有学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，，初赛成绩不低于89分的学生才能参加复赛，试估计能参加复赛的人数． (3)复赛设置了三道试题，第一、二题答对得30分，第三题答对得40分，答错得0分．已知某学生已通过初赛，他在复赛中第一题答对的概率为，后两题答对的概率均为，且每道题回答正确与否互不影响，记该考生的复赛成绩为，求的分布列及数学期望． 附：若随机变量服从正态分布，则，，． 【答案】(1)平均数67，分位数为 (2)455 (3)分布列见解析，数学期望为55 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数和百分位数的求法即可求解； （2）由（1），易知近似服从正态分布，结合题意和正态分布3段区间的概率即可求解； （3）利用独立事件的概率乘法公式求出随机变量Y值对应的概率，列出分布列，结合数学期望计算公式求解即可. 【详解】（1）样本平均数． 因为前2组的频率之和为，前3组的频率之和为， 设分位数为，则，解得． （2）因为学生的初赛成绩近似服从正态分布，其中，， 所以， 所以， 所以估计能参加复赛的人数为． （3）所有可能的取值为0，30，40，60，70，100， ，， ，， ，， 所以的分布列为 0 30 40 60 70 100 ， 所以的数学期望为55． 【变式6-1】某旅游城市推出“一票通”景区旅游年卡，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市所有签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表： 旅游消费支出 频数 12 388 452 138 10 (1)根据样本数据，可认为市民的旅游费用支出服从正态分布，若该市总人口为700万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7000元以上； (2)若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该签约景区游玩.现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该签约景区游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，求3人总得分为4分的概率. （参考数据：） 【答案】(1)15.925万 (2) 【分析】（1），旅游费用支出在7000元以上的概率为，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7000元以上； （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，再由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】（1）， 所以旅游费用支出在7000元以上的概率为 ， ，估计有15.925万市民旅游费用支出在7000元以上 （2）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为， 设3人总得分为4分为事件，则 即3人总得分为4分的概率. 【变式6-2】某公司为了解市场对其开发的新产品的需求情况，共调查了250名顾客，采取100分制对产品功能满意程度、产品外观满意程度分别进行评分，其中对产品功能满意程度的评分服从正态分布，对产品外观满意程度评分的频率分布直方图如图所示，规定评分90分以上（不含90分）视为非常满意. (1)本次调查对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的各有多少人？（结果四舍五入取整数） (2)若这250人中对两项都非常满意的有2人，现从对产品功能非常满意和对产品外观非常满意的人中随机抽取3人，设3人中两项都非常满意的有X人，求X的分布列和数学期望. （附：若，则，） 【答案】(1)6人，6人 (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率直方分布图和正态分布计算； （2）根据题意，只对产品功能非常满意的有4人，只对产品外观非常满意的有4人，利用超几何分布得出的分布列． 【详解】（1）因为对产品功能满意程度的评分服从正态分布， 其中， 设对产品功能满意程度的评分为， 所以， 所以本次调查对产品功能非常满意的顾客约有（人）. 根据频率分布直方图得，对产品外观非常满意的频率为， 则本次调查对产品外观非常满意的顾客约有（人）. （2）根据题意，这人中对两项都非常满意的有人，则只对产品功能非常满意的有人，只对产品外观非常满意的有人，的可能取值为 ，，， 则的分布列为 数学期望. 一、单选题 1．（24-25高三上·黑龙江·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.46 B．0.73 C．0.23 D．0.27 【答案】B 【分析】由正态分布的对称性，可得答案. 【详解】易得，由正态分布的对称性可得， 故. 故选：B. 2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知随机变量，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：B. 3．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知随机变量，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正态分布曲线的性质即可得解. 【详解】随机变量，且， . 故选：A 4．（24-25高三·上海·课堂例题）若随机变量，且，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正态密度曲线的对称性，即可求解. 【详解】随机变量，且，， 由正态密度曲线的对称性可知，， 所以． 故选：B. 5．（24-25高三上·江苏常州·期末）设随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性可得答案. 【详解】，得：. 故选：C． 6．（24-25高二上·吉林·期末）某学校高二年级数学联考成绩，如果规定大于或等于105分为数学成绩“良好”，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的数学成绩为“良好”的概率是（   ） （提示：若，则，，）=0.9973） A．0.0455 B．0.15865 C．0.3173 D．0.34135 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以. 故选：B. 7．（2025高三·全国·专题练习）已知随机变量分别服从正态分布和二项分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正态分布结合二项分布的定义以及期望和方差公式即可求解. 【详解】由题可得，，，， 所以. 故选：D. 8．（24-25高三上·四川成都·阶段练习）已知随机变量，若其对应的正态密度函数满足，且，则（    ） A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1 【答案】C 【分析】由可得对应的正态曲线的对称轴为，根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】由，则正态密度函数关于对称，即， 则. 故选：C. 9．（2024高三·全国·专题练习）生态环境部2024年7月21日发布了《全国碳市场发展报告（2024）》，系统总结了全国碳排放权交易市场和全国温室气体自愿减排交易市场的最新建设进展，全方位展示了市场建设运行工作成效．为了解某地碳市场建设情况，相关部门对当地1000家企业的碳排放情况进行了综合评估，得到各企业的综合得分近似服从正态分布，则得分在区间内的企业大约有（参考数据：若，则，）（    ） A．108家 B．116家 C．124家 D．136家 【答案】D 【分析】由所给条件得出和的值，依据正态分布的对称性可得出得分在区间内的概率，从而求出结果. 【详解】由题得，，则 ， 故得分在区间内的企业大约有家． 故选：D 10．（2024高三·全国·专题练习）已知某厂生产的某配件的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且该配件使用寿命不低于年的概率为，不低于年的概率为，若某产品制造需要同时使用个该配件，且个配件能否正常工作相互独立，则在年内这个配件都能正常工作的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的对称性，可得，再利用独立事件的概率求解. 【详解】由题意知，， 所以， 结合正态分布的性质可得该配件的使用寿命的平均值为， 则，即在年内每个配件能正常工作的概率为， 因此在年内这个配件都能正常工作的概率为． 故选：C 11．（2025高三·全国·专题练习）已知三个随机变量的正态密度函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态密度函数的对称轴的位置可得的大小关系，根据正态密度函数的扁平程度可得的大小关系. 【详解】因为正态密度函数和的图象关于同一条直线对称，所以. 又的图象的对称轴在的图象的对称轴的右边，所以. 因为越大，曲线越“矮胖”.越小，曲线越“瘦高”， 由图可知，正态密度函数和的图象一样“瘦高”，的图象明显“矮胖”， 所以. 故选：D. 12．（2024高三·全国·专题练习）已知某校高三学生在一次考试中的数学成绩，在该校高三学生中任选1人，该学生的数学成绩不低于120分的概率为0.21，则该学生的数学成绩在内的概率为（    ） A．0.21 B．0.29 C．0.58 D．0.79 【答案】B 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为，即，且， 所以. 故选：B． 13．（2024高三·全国·专题练习）已知随机变量，若且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用正态分布的对称性得出，再由基本不等式计算即可. 【详解】因为随机变量，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得最小值4. 故选：C. 14．（24-25高三上·重庆·阶段练习）某地区组织了一次高三全体学生的模拟考试，经统计发现，数学成缆近似服从正态分布，已知数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同，那么估计本次考试的数学平均分为（   ） A．85 B．90 C．95 D．100 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论. 【详解】由正态密度函数的对称性，数学成绩高于110分的人数与低于70分的人数相同， 所以. 故选；B. 15．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）某市高中数学统考中，甲、乙、丙三所学校的数学成绩分别服从正态分布，，，其正态分布的密度曲线如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的曲线，利用正态分布的密度曲线的特征判断即得. 【详解】观察曲线知，. 故选：D 二、多选题 16．（24-25高三上·重庆·阶段练习）若随机变量服从正态分布，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据正态分布的对称性研究各选项的准确性即可. 【详解】根据正态分布图象的对称性可知：； ；. 对A：因为，所以A错误； 对B：因为，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：因为 . 所以成立，故D正确. 故选：BCD 17．（2025高三·全国·专题练习）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【分析】根据正态分布的对称性即可求解ABD，根据正态分布中参数的含义即可求解C. 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又 ，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为 ，超过，故D正确. 故选：ABD 18．（24-25高三上·甘肃临夏·期末）随机变量服从正态分布，若，则（    ） （若随机变量服从正态分布，则） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用正态分布曲线的对称性求得，即可判断B项，利用随机变量的方差定义即可判断A项，根据正态曲线对称性即可求得概率，判断C,D. 【详解】对于B，由可得，解得，故B正确； 对于A，因,而，故A错误； 对于C，因,故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：BC. 19．（湖南省株洲市2025届高三上学期期末教学质量统一检测数学试题）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（    ） （附：若随机变量服从正态分布.） A．学生考试成绩标准差为 B．学生考试成绩近似服从正态分布 C．约有20000名学生的成绩低于58分 D．全体学生成绩的第84百分位数约为78 【答案】ACD 【分析】对于A，根据离散系数求出标准差；对于B，根据正态分布公式判断B；对于C，求出低于58分概率，根据总人数，得到低于58分人数，判断C；对于D，利用正态分布曲线性质和百分位数的定义判断D. 【详解】对于A，根据离散系数，平均分为57.4，离散系数为0.36，可得标准差为，故A正确； 对于B，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，则学生考试成绩近似服从正态分布，故B错误； 对于C，平均分为57.4，所以成绩低于58分得概率约为，所以约有名学生的成绩低于58分，故C正确； 对于D，又因为，且，所以全体学生成绩的第84百分位数约为，故D正确； 故选：ACD. 20．（24-25高三上·河北张家口·期末）某企业有两条生产线，现对这两条生产线的产品的质量指标值进行分析，得到如下数据：生产线的产品质量指标值，生产线的产品质量指标值. 已知生产线的产量是生产线的倍，则（    ） A．生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值 B．该企业产品质量指标值的均值是 C．生产线产品质量指标值的标准差低于生产线产品质量指标值的标准差 D．，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同 【答案】ABD 【分析】结合正态分布定义可得A、C；借助均值定义计算可得B；借助正态分布的原则可得D. 【详解】对A：生产线产品质量指标值的均值为，生产线产品质量指标值的均值为， 故生产线产品质量指标值的均值高于生产线产品质量指标值的均值，故A正确； 对B：该企业产品质量指标值的均值是，故B正确； 对C：生产线产品质量指标值的标准差为， 生产线产品质量指标值的标准差为， 故生产线产品质量指标值的标准差高于生产线产品质量指标值的标准差，故C错误； 对D：，， 故，两条生产线的产品质量指标值低于的概率相同，故D正确. 故选：ABD. 21．（24-25高三上·江苏·期末）某体育器材厂生产一批篮球，设单个篮球的质量为X（单位：克）．若，其中，则（    ） A． B． C． D．σ越小，越大 【答案】AC 【分析】根据正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： 对于A:，故A正确；对于B：由对称性有，故B错误； 对于C：由对称性有，故C正确； σ越小，说明数据越集中，越小，故D错误. 故选：AC. 22．（安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第二次大联考数学试题）已知随机变量服从正态分布，，，则以下选项正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用正态分布的性质、期望及方差的性质逐项分析判断即得. 【详解】由题知，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； 由正态分布密度曲线关于对称， 利用对称性知，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 23．（24-25高三上·河北唐山·期末）某同学进行投篮训练，每次投篮次数为n，，，每次投篮的命中率都为p，随机变量表示投篮命中的次数，服从二项分布，记，当时，可认为服从标准正态分布，已知该同学每次投篮的命中率均为0.5，每次投篮命中得2分，不中得0分．若，则该同学投中次数的期望为 次；若保证该同学n次投篮总得分在区间的概率不低于0.8，则n的最小值为 ． 附：，则，． 【答案】 【分析】利用二项分布的期望公式求解即可；利用公式把二项分布转化为标准的正态分布，然后利用正态分布的概率公式求解即可. 【详解】①根据题意：投篮命中的次数服从二项分布， 所以（次）， 故该同学投中次数的期望为20次； ②由该同学n次投篮总得分在区间， 则该同学n次投篮命中次数在区间， ， 又因为，所以， 根据服从标准正态分布，可知，所以， 则n需满足， 故n的最小值为， 故答案为：；. 24．（24-25高二上·辽宁·期末）某中学2400名学生参加一分钟跳绳测试.经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于76的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在108~140之间的人数约为 . 【答案】900 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】由题意可知，, 因为成绩服从正态分布， 所以 所以跳绳成绩在108~140之间的人数约为. 故答案为：900. 25．（24-25高三上·江苏扬州·期末）某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是 ． 【答案】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，所以， 故. 故答案为： 26．（24-25高二上·辽宁·期末）已知，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由正态分布曲线的对称性求出，再利用常值代换法和基本不等式即可求得. 【详解】由可得，且， 则有：，解得：， 因为，所以，且， 则 当且仅当，即时等号成立， 即当时，的最小值为. 故答案为：. 27．（24-25高三上·湖北·期中）某流水线上生产的一批零件，其规格指标X可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为0.05，现从这批零件中随机抽取500个，用Y表示这500个零件的规格指标X位于区间的个数，则随机变量Y的方差是 . 【答案】 【分析】由题可得质量指标在区间的概率，后由二项分布的方差可得答案. 【详解】由正态分布的性质得质量指标在区间的概率为， 即1件产品的质量指标位于区间的概率为，∴， 故. 故答案为： 28．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）设，，则 . 【答案】/ 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得结果. 【详解】因为，，则， 故. 故答案为：. 29．（23-24高二下·河南漯河·阶段练习）随机变量X服从正态分布，，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由正态分布的对称性可知，从而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】随机变量X服从正态分布， ，由，， ，且， 则， 当且仅当，即时等号成立． 所以的最小值为． 故答案为：. 30．（24-25高三上·广东清远·阶段练习）㷊市高三年级1万名男生的身高（单位：cm）近似服从正态分布，则身高超过180cm的男生约有 人.（参考数据：，，） 【答案】230 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可. 【详解】，则， ， 身高超过180cm的男生的人数约为. 故答案为：230. 31．（24-25高三上·江苏南京·期中）已知，若，曲线的对称中心为，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为曲线的对称中心为，所以， 又，则， 所以， 即， 又，所以，解得. 故答案为： 四、解答题 32．（2025高三·全国·专题练习）2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号遥十八运载火箭成功发射，标志着2024年我国首次载人发射任务告捷.为普及航天知识，大学组织学生举办了一次“逐梦寰宇问苍穹”航天知识竞赛. (1)已知参加这次知识竞赛的学生分数近似服从正态分布，若参赛学生的成绩满足，则该学生获得二等奖；若，则该学生获得一等奖. （i）若小王同学这次竞赛成绩为95分，试判断他能否获得一等奖； （ii）若大学这次共有10人获得一等奖，试估计大学参加这次航天知识竞赛的学生人数；（四舍五入后取整） (2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：①共设两个奖项，分别奖励100元，50元，抽中奖项的概率分别为，；②每位参赛选手允许连续抽奖两次，且两次抽奖之间相互独立，总奖金为两次奖金之和.记某位参赛大学生所获的总奖金为元，求的分布列和数学期望. 参考数据：若，则，，. 【答案】(1)（i）小王同学能获得一等奖；（ii）440 (2)分布列答案见解析，数学期望： 【分析】（1）由即可判断，由对称性即可求概率； （2）求得取每一个值对应的概率，再结合期望计算公式即可求解； 【详解】（1）（i）由题意知，该校参加本次竞赛的学生分数近似服从正态分布， 可得，，故时，该学生获得一等奖. 因为，故小王同学能获得一等奖. （ii）设全校参与本次竞赛的人数为n， 获得一等奖的概率为， ， 由 解得，所以参与本次知识竞赛的学生人数约为440. （2）X的可能取值为0，50，100，150，200， ，， ，， . 所以X的分布列为 X 0 50 100 150 200 P . 33．（24-25高二上·黑龙江·期末）某大公司招聘分为笔试和面试，笔试通过后才能进入面试环节，面试环节各部门从笔试通过的人员中抽取部分人员进行该部门的面试.2024年应聘该公司的学生的笔试成绩Y近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.已知的近似值为76.5，的近似值为5.5，以样本估计总体. (1)假设有84.135%的学生的笔试成绩高于该公司预期的平均成绩，求该公司预期的平均成绩大约是多少? (2)现有甲、乙、丙三名应聘者进入了面试，该公司某部门有意在这3人中随机选取2人参加面试.面试分为初试和复试并且采用积分制，满分为10分，其中通过初试考核记6分，通过复试考核记4分，初试通过才能参加复试，应聘者能否正确回答初试与复试的问题相互独立.已知甲和乙通过初试的概率均为，丙通过初试的概率为，甲和乙通过复试的概率均为，丙通过复试的概率为. ①若从这3人中随机选取2人参加面试，求这两人本次面试的得分之和不低于16分的概率； ②若甲和乙两人一起参加本次该部门的面试，记他们本次面试的得分之和为X，求X的分布列以及数学期望. 参考数据：若，则：；；. 【答案】(1)71分 (2)①②分布列见解析，13 【分析】（1）利用正态分布的对称性和正态曲线的原则，即可求得该校预期的平均成绩； （2）①选出人的情况分三种：甲乙、甲丙、乙丙参加面试，计算每种情况下的概率相加即可得到结果；②分析的取值，分别计算概率，列出分布列，利用期望公式求解即可得到结果. 【详解】（1）由， 又的近似值为76.5，的近似值为5.5， 所以该公司预期的平均成绩大约是（分）. （2）①记选出甲、乙参加面试为事件，选出甲、丙参加面试为事件，选出乙、丙参加面试为事件，这两人本次面试的得分之和不低于分为事件， 则，，， ②的可能取值为， 故，， ，， ，. 故的分布列为： 0 6 10 12 16 20 则. 34．（24-25高二上·辽宁·期末）某工厂为了提高精度，采购了一批新型机器，现对这批机器的生产效能进行测试，对其生产的第一批零件的直径进行测量，质检部门随机抽查了100个零件的进行统计整理，得到数据如下表： 零件直径（单位：厘米） 零件个数 10 25 30 25 10 已知零件的直径可视为服从正态分布，，分别为这100个零件的直径的平均数及方差（同一组区间的直径尺寸用该组区间的中点值代表）. 参考数据：；若随机变量，则， ，. (1)试估计这批零件直径在的概率； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在区间内的零件个数为Z，求Z的分布列及数学期望； (3)若此工厂有甲、乙两台机器生产这种零件，且甲机器的生产效率是乙机器的生产效率的3倍，甲机器生产的零件的次品率为0.3，乙机器生产的零件的次品率为0.2，现从这批零件中随机抽取一件.若检测出这个零件是次品，求这个零件是甲机器生产的概率. 【答案】(1)0.47725 (2)分布列见解析，1 (3). 【分析】（1）根据平均数与方差的计算公式计算出，再根据正态分布曲线的对称性计算概率； （2）写出二项分布的分布列，由二项分布的期望公式可得答案； （3）首先利用全概率公式计算出抽取的零件为次品的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】（1）由平均数与方差的计算公式分别得 . . 故，. 设表示零件直径，则，即. 则， ，即. （2）由题意知，这批零件直径在的概率为. Z的取值范围为， 则， ， ， ， ， 因此可得Z的分布列为 Z 0 1 2 3 4 P 因为Z服从二项分布，则Z的数学期望. （3）设“抽取的零件为甲机器生产”记为事件，“抽取的零件为乙机器生产”记为事件， “抽取的零件为次品”记为事件B， 则，，，， 则， ， 所以这个零件是甲机器生产的概率为. 35．（24-25高二上·辽宁辽阳·期末）小法每周都去同一家大型超市购买一箱苹果，该超市的售货员说该大型超市所出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克，根据售货员的表述转化为数学理想模型是该大型超市所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布． (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布． （i）若该售货员所说属实，则小法从该大型超市随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求． （ii）若小法每周都会将从该大型超市买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克．小法举报了该大型超市，从概率的角度说明小法举报该大型超市的理由． (2)若该售货员所说属实，则现从该大型超市随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差．（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，；②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出，可得，根据正态分布的对称性可求； （ii）由（i）得，根据，可得小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件，从而可得结论； （2）由正态分布的对称性求出得，可得随机变量，再利用二项分布的方差公式求解即可. 【详解】（1）（i）因为，所以． 因为， 所以． 因为， 所以． （ii）由（i）得． 因为小法计算出这25箱苹果质量的平均值为4958.77克，，， 所以小法购买的这25箱苹果质量的平均值为4958.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小法举报该超市的理由． （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则． 由，，得． 根据题意易得随机变量， ． 36．（24-25高三上·山东·阶段练习）为进一步提升人才选拔的公正性，某省拟在三年内实现高考使用新高考全国Ⅰ卷，为测试学生对新高考试卷的适应性，特此举办了一次全省高三年级数学模拟考试（满分150分），其中甲市有10000名学生参加考试．根据成绩反馈，该省及各市本次模拟考试成绩X都近似服从正态分布． (1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为97.5分，成绩位于区间内的学生共有4772人．甲市学生A的成绩为114分，试估计学生A在甲市的大致名次； (2)在参加该省本次模拟考试的学生中随机抽取500人作为研究样本，随机变量Y为本次考试数学成绩在之外的人数，求的概率及随机变量Y的数学期望． 附：参考数据： 参考公式：若有，． 【答案】(1)1587名 (2)， 【分析】（1）考试成绩近似服从正态分布，根据概率公式计算出概率后可得名次； （2）求出事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外的概率，随机变量服从二项分布，即，由公式计算出概率，再由二项分布的期望公式计算出期望． 【详解】（1）已知本次模拟考试成绩近似服从正态分布， 由题意可得， ， ,即，解得， 甲市学生A在该次考试中成绩为114分，且， 又，即， ， 答：学生A在甲市本次考试的大致名次为1587名． （2）设事件：在样本中抽取的学生在本次考试中数学成绩在之外， 由于成绩在之内的概率为0，9974， ， 随机变量服从二项分布，即， ， 的数学期望为. 37．（24-25高三上·海南·阶段练习）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展.某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩，将他们的成绩分成以下6组：，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，试求这4人中至少有2人来自前2组的概率. (2)高一学生的这次化学成绩（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得.且这次测试恰有2万名学生参加. （i）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （ii）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频； 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频.问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明. 参考数据：则，. 【答案】(1) (2)（i），（ii）方案2 【分析】（1）由古典概率公式结合对立事件的概率求解即可； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可；（ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为X，求出X的所有可能取值及其概率，再求出，与方案一比较即可得出答案.. 【详解】（1）因为抽样比， 所以抽取人，抽取人， 抽取人. 设事件：这4人中至少有2人来自前2组， . （2）， 所以，，，. 所以 . 对于方案2：设每位学生所获增学习视频小时数为，则. ， ， . ， 所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. ( 5 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$