专题6.2 排列与组合【十大题型】-2024-2025学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）

专题6.2 排列与组合【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 有关排列数的计算与证明】 2 【题型2 排列数方程和不等式】 3 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 4 【题型4 相邻问题的排列问题】 4 【题型5 不相邻排列问题】 5 【题型6 有关组合数的计算与证明】 7 【题型7 组合数方程和不等式】 7 【题型8 组合计数问题】 8 【题型9 分组分配问题】 9 【题型10 排列、组合综合】 9 【知识点1 排列与排列数】 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 4．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【变式1-2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【变式1-3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【题型2 排列数方程和不等式】 【例2】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【变式3-1】（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【变式3-2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 【变式3-3】（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 【题型4 相邻问题的排列问题】 【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【变式4-2】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【变式4-3】（23-24高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【题型5 不相邻排列问题】 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【变式5-1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 【变式5-2】（2024·湖南邵阳·模拟预测）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·天津·阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【知识点2 组合与组合数】 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 3．组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型6 有关组合数的计算与证明】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【变式6-1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式6-2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【变式6-3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【题型7 组合数方程和不等式】 【例7】（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【变式7-1】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【变式7-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【题型8 组合计数问题】 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【变式8-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（    ） A．17个 B．19个 C．20个 D．21个 【变式8-2】（2024·江西南昌·模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【变式8-3】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【题型9 分组分配问题】 【例9】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【变式9-1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【变式9-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（    ） A．150 B．300 C．450 D．540 【变式9-3】（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【题型10 排列、组合综合】 【例10】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【变式10-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【变式10-2】（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 【变式10-3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.2 排列与组合【十大题型】 【人教A版（2019）】 【题型1 有关排列数的计算与证明】 2 【题型2 排列数方程和不等式】 3 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 5 【题型4 相邻问题的排列问题】 7 【题型5 不相邻排列问题】 8 【题型6 有关组合数的计算与证明】 11 【题型7 组合数方程和不等式】 12 【题型8 组合计数问题】 14 【题型9 分组分配问题】 15 【题型10 排列、组合综合】 17 【知识点1 排列与排列数】 1．排列 (1)排列的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列. (2)排列概念的理解 ①排列的定义中包含两个基本内容，一是取出元素；二是按照一定的顺序排列. ②两个排列相同的条件：元素完全相同；元素的排列顺序也相同. ③定义中“一定的顺序”就是说排列与位置有关，在实际问题中，要由具体问题的性质和条件进行判断， 这一点要特别注意. (3)排列的判断 判断一个问题是不是排列问题的关键：判断是否与顺序有关，与顺序有关且是从n个不同的元素中任 取m(mn，n,m∈)个元素的问题就是排列问题，否则就不是排列问题.而检验一个问题是否与顺序有关 的依据就是变换不同元素的位置，看其结果是否有变化，若有变化就与顺序有关，就是排列问题；若没有 变化，就与顺序无关，就不是排列问题. 2．排列数 (1)排列数定义 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的排列数，用符号表示. (2)排列数公式 =n(n-1)(n-2)(n-m+1).这里，n,m∈，并且mn. (3)排列数公式的理解 ①排列数公式推导的思路：第1步，排第1个位置的元素，有n种排法；第2步，排第2个位置的元 素，有(n-1)种排法；第3步，排第3个位置的元素，有(n-2)种排法；；第m步，排第m个位置的元素，有(n-m+1)种排法.因此，由分步乘法计数原理知共有=n×(n-1)×(n-2)××(n-m+1)种不同的排法. ②排列数公式的特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+1，共有m个因数. 3．全排列和阶乘 (1)全排列 特别地，我们把n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，这时公式中m=n， 即有=n×(n-1)×(n-2)××3×2×1. (2)阶乘 正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n!表示将n个不同的元素全部取出的排列数可以写成=n!， 规定0!=1. (3)排列数公式的阶乘表示 ==. 4．排列应用问题的分类与求解思路 (1)有限制条件的排列问题：对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在 实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)相邻问题：对相邻问题采用捆绑法；相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，注意捆绑元素的 内部排列. (3)不相邻问题：不相邻问题采用插空法；先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面 元素排列的空档中. 【题型1 有关排列数的计算与证明】 【例1】（23-24高二下·山东菏泽·期中），，则等于（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件利用排列数公式的意义即可得解. 【解答过程】因且，表示80个连续正整数的乘积， 其中最大因数为，最小因数为，由排列数公式的意义得结果为， 所以. 故选：A. 【变式1-1】（23-24高二下·重庆黔江·阶段练习）求的值为（    ） A．12 B．18 C．24 D．30 【解题思路】利用排列数的计算方法即可得解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）计算： (1)； (2)； (3)已知，求 【解题思路】（1）（2）利用排列数公式计算即可. （3）利用排列数公式化简方程，再求解方程即得. 【解答过程】（1）. （2）. （3）由，得，即，则， 整理得，所以. 【变式1-3】（24-25高二·江苏·课后作业）求证： (1)； (2)． 【解题思路】（1）利用排列数公式化简可证得等式成立； （2）利用排列数公式化简可证得等式成立. 【解答过程】（1）证明：. （2）证明：. 【题型2 排列数方程和不等式】 【例2】（23-24高二下·河南郑州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用排列数公式将不等式转化为二次不等式求解. 【解答过程】易知，. 因为，，， 所以原不等式可化为， 所以， 所以原不等式的解集为. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二下·全国·课后作业）不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，利用排列数公式和排列数的性质，列出方程求得，结合，即可求解. 【解答过程】由，可得，整理得，解得， 又因为，解得， 综上可得，又由 所以. 故选：D. 【变式2-2】（23-24高二下·江苏苏州·阶段练习）（1）解关于的不等式； （2）解不等式：. 【解题思路】（1）（2）将排列数表示为阶乘的形式，然后化简计算即可得解， 【解答过程】（1）依题意，有，， 由，得，即， 整理得，解得，所以， 又得， 所以的解集为. （2）因为， 所以，即， 整理得，解得，故， 所以不等式解集为. 【变式2-3】（24-25高二上·全国·课后作业）解下列方程或不等式． (1)=2； (2). 【解题思路】（1）根据条件，利用排列数公式即可求出结果； （2）先利用排列数公式得到 ，从而得到，对根据排列数公式要求，求出的范围，进而求出结果. 【解答过程】（1）因为=2， 由，解得， 由原式可得，解得或或． 又因为，所以． （2）因为<6， 由，解得且， 由原不等式可得， 化简可得，解得， 又且，所以． 【题型3 元素（位置）有限制的排列问题】 【例3】（23-24高二下·内蒙古·期中）从6人（包含甲）中选派出3人参加，，这三项不同的活动，且每项活动有且仅有1人参加，若甲不参加和活动，则不同的选派方案有（    ） A．60种 B．80种 C．90种 D．150种 【解题思路】分甲被选中和甲没被选中两种情况，结合排列数公式即可求解. 【解答过程】当甲被选中时，不同的选派方案有种； 甲没被选中时，不同的选派方案有种. 故满足条件的不同的选派方案有种. 故选：B. 【变式3-1】（23-24高二下·北京通州·期末）某工厂生产一种产品需经过一，二，三，四共4道工序，现要从，，，，，这6名员工中选出4人，安排在4道工序上工作（每道工序安排一人），如果员工不能安排在第四道工序，则不同的安排方法共有（    ） A．360种 B．300种 C．180种 D．120种 【解题思路】从6人中任取4人安排工作，去掉A安排在第四道工序工作的安排方法数即得. 【解答过程】从6名员工中任选4人，安排在4道工序上工作的安排方法数为种， 其中员工在第四道工序工作的安排方法数为种， 所以不同的安排方法共有（种）. 故选：B. 【变式3-2】（23-24高二下·四川绵阳·期末）某高校派出5名学生去三家公司实习，每位同学只能前往一家公司实习，并且每个公司至少有一名同学前来实习，已知甲乙两名同学同时去同一家公司实习，则不同的安排方案有（   ） A．48种 B．36种 C．24种 D．18种 【解题思路】先安排甲乙，共有3种安排，剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，第二类是三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，然后用分类加法计数原理和分步乘法计数原理即可得解. 【解答过程】因为甲乙两名同学要求同时去同一家公司实习，先安排甲乙，从三家公司中选一家公司共有3种选法； 剩下的3人分两类：第一类三个人去三个公司，一家公司一个人，共有种安排方法；第二类三个人去除甲乙去的公司的另外两个公司，必有两个人去一家公司，所以共有种安排方法； 所以共有不同的安排方案有种， 故选：B. 【变式3-3】（23-24高二下·海南海口·期末）某大学2023年继续开展基础学科招生改革试点（以下简称强基计划），以“为国选才育才”为宗旨，探索多维度考核评价模式，选拔一批有志向、有兴趣、有天赋的青年学生进行专门培养，为国家重大战略领域输送后备人才．某市通过初审考核，甲、乙、丙、丁、戊五名同学成功入围该大学强基计划复试，参加学科基础素质测试，决出第一到第五名的名次（无并列名次）．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况有（    ） A．48种 B．54种 C．60种 D．72种 【解题思路】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名，分甲在第五名与甲不在第五名两种情况讨论. 【解答过程】依题意甲、乙都没有排在第一名，且乙没有排在第五名， ①甲排在第五名，则有种排法； ②甲没有排在第五名，则甲、乙有种排法，其余人全排列，故有种排法； 综上可得一共有种不同的排法. 故选：B. 【题型4 相邻问题的排列问题】 【例4】（23-24高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书本，数学书本，物理书本．若将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【解题思路】利用捆绑法可求得结果. 【解答过程】将本语文书捆绑、本数学书捆绑， 则相同科目的书相邻的排法种数为种. 故选：C. 【变式4-1】（24-25高二下·全国·课后作业）春节是团圆的日子，为了烘托这一喜庆的气氛，某村组织了“村晚”．通过海选，现有6个自编节目需要安排演出，为了更好地突出演出效果，对这6个节目的演出顺序有如下要求：“杂技节目”排在后三位，“相声”与“小品”必须相继演出，则不同的演出方案有（    ） A．240种 B．188种 C．144种 D．120种 【解题思路】先将“相声”与“小品”排在一起再与其它4个节目排序，最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样,即可得出答案. 【解答过程】先将“相声”与“小品”排在一起，有种排法，再与其它4个节目排序，有种排法， 最后考虑杂技节目在前三位或在后三位情况一样，所以有种． 故选：D. 【变式4-2】（23-24高二下·四川遂宁·阶段练习）北京时间2023年10月26日19时34分，神舟十六号航天员乘组（景海鹏，杜海潮，朱杨柱3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，江新林3人）人驻“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留念，唐胜杰与江新林相邻，景海鹏不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有（    ） A．144种 B．204种 C．156种 D．240种 【解题思路】先应用捆绑解决相邻，再分海鹏站位置分类，最后应用分步解决问题. 【解答过程】第一步，唐胜杰、江新林2人相邻，有种排法； 第二步，分景海鹏站最右边与景海鹏不站最左边与最右边两种情况讨论 第一种情况：景海鹏站最右边，共有种排法； 第二种情况：景海鹏不站最左边与最右边，则共有种排法， 故总共有种排法.    故选：C. 【变式4-3】（23-24高二下·安徽·期末）为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程的安排方案种数为（    ） A．18 B．24 C．36 D．42 【解题思路】根据相邻问题利用捆绑法即可求解. 【解答过程】剪纸和插花课相邻的安排方法有种， 剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有， 故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法一共有， 故选：C. 【题型5 不相邻排列问题】 【例5】（24-25高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（    ） A．5760 B．5660 C．5642 D．5472 【解题思路】计算出所有情况后减去《大学》和《春秋》相邻的情况即可得. 【解答过程】四书、五经必须分别排在一起，共有种， 若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有种， 则共有种． 故选：D. 【变式5-1】（24-25高三上·山东济南·开学考试）由0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中任意两个偶数都不相邻，则满足条件的六位数的个数为（    ） A．60 B．108 C．132 D．144 【解题思路】根据插空法先排奇数，再排偶数去除0在首位的情况计算即可. 【解答过程】先排3个奇数，有种排法， 排完奇数后形成4个空，插入余下3个偶数，有种排法， 但此时0放在首位的情况有种，故满足条件的排法有. 故选：B. 【变式5-2】（2024·湖南邵阳·模拟预测）“四书五经”是我国9部经典名著《大学》《论语》《中庸》《孟子》《周易》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校计划在读书节活动期间举办“四书五经”知识讲座，每部名著安排1次讲座，若要求《大学》《论语》《周易》均不相邻，则排法种数为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】采用插空法排列，先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次讲座，再将《大学》《论语》《周易》这3次讲座插空，根据分步乘法计数原理，可得答案. 【解答过程】先排《中庸》《孟子》《尚书》《诗经》《礼记》《春秋》这6次经典名著的讲座， 共有种排法； 再从7个空位中选3个，排《大学》《论语》《周易》这3次讲座，有种排法， 故总共有种排法； 故选：D. 【变式5-3】（23-24高二下·天津·阶段练习）中国古代儒家提出的“六艺”指：礼、乐、射、御、书、数.某校国学社团预在周六开展“六艺”课程讲座活动，周六这天准备排课六节，每艺一节，排课有如下要求：“乐”排在“书”与“数”的前面，“礼”和“射”不相邻且不排在最后面，则针对“六艺”课程讲座活动的不同排课顺序共有（    ） A．48种 B．72种 C．96种 D．144种 【解题思路】根据“乐”分别排在前四节，即可根据最后一位以及不相邻问题，分类求解. 【解答过程】若“乐”排在第一节，则从御、书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第2节，则从书、数种选一节排最后一节或者“御”安排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第3节，则从书、数种选一节排最后一节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 若“乐”排在第4节，则“书”与“数”排最后两节，要满足“礼”和“射”不相邻，则有种方法， 故总的方法一共有， 故选：C. 【知识点2 组合与组合数】 1．组合 (1)组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个组合. (2)组合概念的理解 ①组合的概念中有两个要点：要求n个元素是不同的；“只取不排”，即取出的m个元素与顺序无关， 无序性是组合的特征性质. ②两个组合相同：只要两个组合中的元素完全相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. (3)排列与组合的联系与区别 联系：都是从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素. 区别：排列是把取出的元素按顺序排成一列，它与元素的顺序有关系，而组合只要把元素取出来就可 以，取出的元素与顺序无关.可总结为：有序排列，无序组合. 2．组合数与组合数公式 (1)组合数 从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式 ①连乘表示： ==. 这里，n,m∈，并且mn. ②阶乘表示：=. 规定：=1. 3．组合数的性质 (1)性质1：= 这个性质反映了组合数的对称性，其实际意义：从n个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素后， 剩下(n-m)个元素，因而从n个不同元素中取m个元素的组合，与剩下的(n-m)个元素的组合是一一对应的，因此取法是一样多的. 利用这个性质，当m>时，我们可以不直接计算，而是改为计算，这样可以简化运算. (2)性质2：=+ 这个性质可以理解为分类加法计数原理的应用，在确定从(n+1)个不同元素中取出m(mn，n,m∈)个元素时，对于某一个特定元素，只存在取与不取两种情况，如果取这个元素，则只需从剩下的n个元素中再取(m-1)个元素，有种取法；如果不取这个元素，则需从剩下的n个元素中取出m个元素，有种取法. 由分类加法计数原理可得：=+. 在应用中，要注意这个性质的变形、逆用等. 4．分组分配问题 (1)解题思路：先分组后分配，分组是组合问题，分配是排列问题. (2)分组方法：①完全均匀分组，分组后除以组数的阶乘；②部分均匀分组，有m组元素个数相同，则 分组后除以m!；③完全非均匀分组，只要分组即可. (3)分配方法：①相同元素的分配问题，常用“挡板法”；②不同元素的分配问题，利用分步乘法计数 原理，先分组后分配；③有限制条件的分配问题，采用分类求解. 【题型6 有关组合数的计算与证明】 【例6】（24-25高二下·全国·课后作业）（    ） A．315 B．330 C．345 D．360 【解题思路】根据组合数的性质即可求解. 【解答过程】． 故选：A. 【变式6-1】（23-24高二下·山西长治·期中）已知，则（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【解题思路】根据组合数的性质计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，所以，解得. 故选：B. 【变式6-2】（23-24高二下·江苏淮安·期中）求值（用数字表示） (1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据排列数公式计算可得； （2）根据组合数公式计算可得； （3）首先确定的值，再由排列、组合数公式计算可得. 【解答过程】（1） ； （2） ； （3）依题意可得，又，解得或， 当时，； 当时，. 【变式6-3】（23-24高二上·江西·期末）已知，． (1)证明： ； (2)证明： ． 【解题思路】（1）由组合数公式计算即可； （2）由组合数公式计算即可. 【解答过程】（1）因为， ， 所以； （2）因为， ， 所以． 【题型7 组合数方程和不等式】 【例7】（24-25高二上·河南驻马店·期末）关于的方程的解为（    ） A． B． C．且 D．或 【解题思路】根据题意结合组合数的定义与性质运算求解. 【解答过程】因为，则或，解得或， 若，可得，符合题意； 若，可得，符合题意； 综上所述：或. 故选：D. 【变式7-1】（2024高二·江苏·专题练习）若，则的取值集合是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据组合数的运算公式及性质化简不等式求其解集即可. 【解答过程】∵， ∴ 即解得. ∵， ∴. ∴的取值集合为. 故选：A. 【变式7-2】（23-24高二上·上海·课后作业）解关于正整数x的方程： (1)； (2)． 【解题思路】（1）（2）根据组合数的性质以及公式即可求解. 【解答过程】（1）x为正整数， 由可得或， 故或，解得或或或（舍去）， 又均为整数，且， 所以或符合要求，不符合要求， 故或 （2）由组合数的性质可得， 所以由可得，进而可得， 解得或（舍去）， 由于，所以，故只取，舍去. 【变式7-3】（24-25高二下·江苏·阶段练习）求解下列方程和不等式. (1)（）； (2)（）. 【解题思路】（1）根据排列数公式求解； （2）根据组合数公式求解. 【解答过程】（1）由，得， 化简得，解得，① 又，所以，② 由①②及得. （2）由题意，， ，即， 化简得，解得（舍去）或. 故方程的解为. 【题型8 组合计数问题】 【例8】（24-25高二下·全国·课后作业）某校计划在五四青年节期间举行歌唱比赛，高二年级某班从本班5名男生4名女生中选4人，代表本班参赛，按照学校要求女生至少参加1人至多参加2人，则选派方式共有（    ） A．80种 B．90种 C．100种 D．120种 【解题思路】结合分类加法和分步乘法计数原理，利用组合数即可求得. 【解答过程】若恰有1名女生参加，则有种， 若恰有2名女生参加，则有种， 所以共有种不同的选派方式． 故选：C. 【变式8-1】（23-24高二下·吉林长春·期中）若一个四位数的各位数字之和为4，则称该四位数为“F数”，这样的“F数”有（    ） A．17个 B．19个 C．20个 D．21个 【解题思路】根据题意，得到，分五种情况讨论，结合排列数、组合数的计算公式，即可求解. 【解答过程】由题意，可得， 当四位数为由构成时，共有1种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有种情况； 当四位数为由构成时，共有1种情况, 由分类计数原理，可得共有种不同的“F数”. 故选：C. 【变式8-2】（2024·江西南昌·模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10个点．在这10点中取4个不共面的点，则不同的取法种数为（    ） A．141 B．144 C．150 D．155 【解题思路】求出从10个点中任取4个点的取法，减去不合题意的结果可得答案． 【解答过程】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类． 第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面上，有种； 第二类，取任一条棱上的3个点及该棱所对棱的中点，这4点共面，有6种； 第三类，由中位线构成的平行四边形（其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱）， 它的4顶点共面，有3种． 以上三类情况不合要求应减掉，∴不同的取法共有种． 故选：A． 【变式8-3】（23-24高二下·新疆克孜勒苏·期中）学校夏季运动会需要从4名男生和3名女生中选取4名志愿者，则选出的志愿者中至少有2名女生的不同选法种数为（    ） A．20 B．30 C．22 D．40 【解题思路】根据给定条件，利用两个基本原理，结合组合计数问题列式计算即得. 【解答过程】选出的志愿者中，有2个女生2个男生时，选法种数为种， 有3个女生1个男生时，选法种数为种， 所以不同选法有种. 故选：C. 【题型9 分组分配问题】 【例9】（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）甲、乙等5人去三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人游览，若甲、乙两人不去同一景区游览，则不同的游览方法的种数为（    ） A．112 B．114 C．132 D．160 【解题思路】先分组再分配，先将 5人分成 3 组，有 、 两种分组可能，求出所有游览方法总数，根据题意再减去甲乙去同一景区的方法总数即可. 【解答过程】去 三个不同的景区游览，每个人去一个景区，每个景区都有人去游览，因此先分组再分配， 5个人可以分为3组，分别是、， 当为时，有种组合， 当为时，有种组合， 再分配到三个不同的景区，有种； 以上情况包含甲乙去同一景区，需要再减去此种情况， 将甲乙捆绑起来作为一个元素，此时有四个元素去三个不同的景区，此时只有这种组合，因此有种组合，再分配给三个不同的景区，有种； 因此满足题意的有：种. 故选: B. 【变式9-1】（23-24高二下·新疆乌鲁木齐·期中）将5名大学生分配到3个乡镇当村官.每个乡镇至少一名，则不同分配方案有（    ） A．240种 B．150种 C．60种 D．180种 【解题思路】根据题意要求，有“”或“”两种分配方案，因分配时出现部分平均分组，应在方法数上除以相同数目组数的阶乘. 【解答过程】依题意，要使每个乡镇至少一名，可以有“”或“”两种分配方案. 按照“”分配时，有种方法； 按照“”分配时，有种方法. 由分类加法计数原理，可得不同分配方案有种. 故选：B. 【变式9-2】（23-24高二下·江苏连云港·期中）甲、乙等5人计划去上海、苏州及青岛三个城市调查农民工薪资情况．每个人只能去一个城市，并且每个城市都要有人去，则不同的分配方案共有种数为（    ） A．150 B．300 C．450 D．540 【解题思路】先分组再分配，结合排列组合即可求解. 【解答过程】把5人分组有两类情况：和. 先把5人按分组，有种分组方法， 按分组，有种分组方法， 因此不同分组方法数为， 再把三组人安排到三个城市，有种方法， 所以不同分配方法种数是. 故选：A. 【变式9-3】（23-24高二下·广东云浮·阶段练习）大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱.现有A，B，C，D，E五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有（    ）种． A．84 B．72 C．60 D．48 【解题思路】分参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况，结合排列组合知识和计数原理求解即可. 【解答过程】因为生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，所以参加生物创新实验模块的为1人和2人两种情况， (1)当参加生物创新实验模块的为1人时，若这个人为，则一共有种不同的分配方式； 若这个人不是，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； (2) 参加生物创新实验模块的为2人时，若这两人中有，则一共有， 若这两人中没有，则只能参加现代农业技术模块，一共有种不同的分配方式； 综上，一共由种不同的分配方式； 胡选：A. 【题型10 排列、组合综合】 【例10】（24-25高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师人，男学生人，女学生人，在下列情况下，各有多少种不同的站法？ (1)老师站在最中间，名女学生分别在老师的两边且相邻，名男学生两边各人； (2)名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端； (3)名老师之间必要有男女学生各人． 【解题思路】（1）根据特殊元素优先安排求解即可. （2）利用插空法，先排老师和女学生，再排男学生甲，最后排剩余的名男学生即可. （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，再排老师，最后利用捆绑法排列即可. 【解答过程】（1）由题意可得共种不同的站法． （2）先排老师和女学生共有种站法，再排男学生甲有种站法， 最后排剩余的名男学生有种站法， 所以共有种不同的站法． （3）先任选一男学生一女学生站两位老师中间，有种站法， 两老师的站法有种， 再将一男学生一女学生两位老师进行捆绑与剩余的4个人进行全排列有种， 所以共有种不同的站法． 【变式10-1】（23-24高二下·江苏宿迁·期中）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名． (1)若从中任选2人参加A，两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加项救护活动的选法种数； (2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数． 【解题思路】（1）分类，按甲是否参加活动分两类； （2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性． 【解答过程】（1）分两类：①甲参加项救护活动，再从其余5人中选一人参加A，选法数为， ②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为， 所以共有选法种数为20+5=25； （2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：， 第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：， 第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有： ， 所以共有不同的分配方案数为：． 【变式10-2】（23-24高二下·北京东城·期末）某学校举行男子乒乓球团体赛，决赛比赛规则采用积分制，两支决赛的队伍依次进行三场比赛，其中前两场为男子单打比赛，第三场为男子双打的比赛，每位出场队员在决赛中只能参加一场比赛. 某进入决赛的球队共有五名队员，现在需要提交该球队决赛的出场阵容，即三场比赛的出场的队员名单. (1)一共有多少种不同的出场阵容？ (2)若队员A因为技术原因不能参加男子双打比赛，则一共有多少种不同的出场阵容？ 【解题思路】（1）根据分步计数原理，先安排前两场比赛人员，再安排第三场的比赛人员； （2）从队员A上场和不上场来分类，分别求解，再利用分类加法原理可得答案. 【解答过程】（1）出场阵容可以分两步确定： 第1步，从5名运动员中选择2人，分别参加前两场男单比赛，共有种； 第2步，从剩下的3名运动员中选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，不同的出场阵容种数为. （2）队员A不能参加男子双打比赛，有两类方案： 第1类方案是队员A不参加任务比赛，即除了队员A之外的4人参加本次比赛，只需从4人中选出两人，分别取参加前两场单打比赛，共有种，剩余人员参加双打比赛； 第2类方案是队员A参加单打比赛，可以分3个步骤完成： 第1步，确定队员A参加的是哪一场单打比赛，共2种； 第2步，从剩下4名队员中选择一名参加另一场单打比赛，共4种； 第3步，从剩下的3名队员中，选出两人参加男双比赛，共有种， 根据分步乘法计数原理，队员A参加单打比赛的不同的出场阵容有种； 根据分类加法计数原理，队员A不参加男子双打比赛的不同的出场阵容种数为. 【变式10-3】（24-25高二下·上海闵行·阶段练习）从，，等8人中选出5人排成一排. （1）必须在内，有多少种排法？ （2），，三人不全在内，有多少种排法？ （3），，都在内，且，必须相邻，与，都不相邻，都多少种排法？ （4）不允许站排头和排尾，不允许站在中间（第三位），有多少种排法？ 【解题思路】（1）只需从余下的7人中选4人出来排列即可； （2）采用间接法； （3）先从余下5人中选2人有种不同结果，由于，必须相邻，与，都不相邻，利用捆绑法、插空法即可解决； （4）分所选的5人无A、B，有A、无B，无A、有B，有A、B四种情况讨论即可. 【解答过程】（1）由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果，再将这4人与A进行全排 列有种不同的排法，故由乘法原理可知共有种不同排法； （2）从8人中任选5人排列共有种不同排法，，，三人全在内有种不同排 法，由间接法可得，，三人不全在内共有 种不同排法； （3）因，，都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果，，必须 相邻，有种不同排法，由于与，都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有 种不同排法，再将A、B这个整体与C插入到选出的2人所产生的3各空位中有种不同 排法，由乘法原理可得共有种不同排法； （4）分四类： 第一类：所选的5人无A、B，共有种排法； 第二类：所选的5人有A、无B，共有种排法； 第三类：所选的5人无A、有B，共有种排法； 第四类：所选的5人有A、B，若A排中间时，有种排法， 若A不排中间时，有种排法，共有种排法； 综上，共有4440种不同排法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$