第9章 平面向量（知识归纳+题型突破）（15题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量（15题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向 量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点03：向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 知识点04：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 知识点05：向量共线定理 内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. 知识点06：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 知识点07：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点08：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点09：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点11：向量模的坐标表示 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． 知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 知识点13：平面几何中的向量方法 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤求模：； ； 03 题型归纳 题型一 平面向量的概念　 例题1：（24-25高一上·全国·课后作业）若向量的模小于的模，则．( ) 【答案】错误 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】向量不能比较大小可知. 【详解】向量既有大小又有方向，不能比较大小，命题错误. 故答案为：错误 例题2：（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、平面向量的概念与表示 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 例题3：（24-25高二·河北衡水）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 【答案】C 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的模与向量的定义可判断AB的正误，根据共线向量的定义可判断CD的正误. 【详解】对于A，向量的模为非负数，它们可以比较大小，但向量不可以比较大小，故A错误. 对于B，两个向量的模相等，但方向可以不同，故B错误. 对于C，若，则必定共线，故，故C成立. 对于D，当时，它们可以模长不相等，但可以同向或反向， 故与可以为共线向量，故D错误. 故选： 巩固训练 1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【知识点】相等向量、平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量 【分析】由向量的模、单位向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，则不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量的模相等，故D正确. 故选：C. 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为1的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量的定义即可判断A；根据向量的模的定义即可判断B；根据相等向量的定义即可判断C；根据零向量与任意向量平行即可判断D. 【详解】对于A，向量不能比较大小，故A错误； 对于B，向量的模是一个数量，可以比较大小，故B正确； 对于C，相等向量不但模相等，且方向相同，故C错误； 对于D，因为零向量与任意向量平行，故D错误. 故选：B. 3．（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 【答案】AC 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由平面向量的相关定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，因为与的方向可能不同，故错误； 对于B，因为这两个向量的方向是相反的，所以是共线向量，故正确； 对于C，因为x轴、y轴只有方向没有大小，所以都不是向量，故错误； 对于D，假设点M与点N重合，则向量，与已知矛盾，所以假设不成立，即点M与N不重合，故正确； 故选：AC 题型二 平面向量的加，减，数乘运算 　 例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的运算法则可得结果. 【详解】. 故选：A 例题2：（2024高一·江苏·专题练习）（1）计算： ①； ②； ③． （2）设向量，求． 【答案】（1）①；②；③；（2）． 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】（1）按照向量的加法、减法法则和数乘运算律计算可求第①②③题； （2）先将化简，再代入关于的表达式整理即得. 【详解】（1）①； ②； ③． （2）. 例题3：（2024高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2)； (3) (4) (5) (6) 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由向量的三角形法则求解即可. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. 巩固训练 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法和减法运算法则即可求解. 【详解】, 另解：. 故选：B 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、空间向量加减运算的几何表示 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 3．（24-25高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【知识点】向量数乘的有关计算 【分析】根据平面向量数乘运算的运算律，对每个小问进行逐一运算，即可求得结果. 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型三 用定义求数量积　 例题1：（23-24高三上·北京·阶段练习）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．4 D．-4 【答案】C 【知识点】平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 【分析】利用平面向量数量积的几何意义求解. 【详解】. 故选：C 例题2：（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，为边上上的中点，，． （1） ． （2）为内一点，最小值为 【答案】 -5 -2 【知识点】向量的线性运算的几何应用、数量积的运算律、平面向量数量积的定义及辨析、基本不等式求积的最大值 【分析】根据题意可得，，利用平面向量的线性运算和数量积的定义与运算律计算即可求解； （2）由题意可得，则，得与反向时取到最小值，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】由题意知，，， 则 ， 由， 得； 因为是的中点，所以， 所以， 由，得， 所以当即即与反向时，取到最小值， 此时， 当且仅当时，等号成立. 故答案为：-5；-2. 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知向量在的方向上的数量投影为1，，，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量数量积的几何意义 【分析】根据数量积得几何意义及数量积的定义即可得解. 【详解】因为向量在的方向上的数量投影为1， 所以， 所以. 故答案为：. 巩固训练 1．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 【答案】 2 -2 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据网格图得到，然后求数量积即可. 【详解】由题意得，. 故答案为：2；-2. 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】平面向量数量积的定义及辨析 【分析】根据向量数量积的定义，即可求解. 【详解】由向量数量积的定义可知，. 故答案为：6 3．（23-24高一下·湖南益阳）已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则 . 【答案】 【知识点】求投影向量、平面向量数量积的几何意义 【分析】 根据题意结合投影向量的定义列方程求解即可 【详解】因为，在上的投影向量为， 所以，解得， 故答案为： 题型四 用坐标求数量积　 例题1：（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形ABCD的中心为O，边长为2，点P在BD上，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】由于图形为正方形，我们可以通过建立直角坐标系，求出关键点的坐标，将向量用坐标来表示，运用数量积坐标公式计算即可. 【详解】以正方形ABCD的中心为原点，AC与BD分别为轴、轴建立直角坐标系. 因为正方形边长为，对角线长度为. 则，，. 由于点在BD上，设，. ，. 根据向量数量积公式. 故选：A. 例题2：（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，，若向量在向量时上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示、求投影向量 【分析】根据投影向量的概念列式，化简得到，结合、的坐标建立关于的方程，解出值，进而求出的值． 【详解】根据题意，可得，可得， 因为，，所以，解得，可得． 故选：D． 例题3：（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】向量加法的法则、数量积的坐标表示 【分析】建立平面直角坐标系，用带的坐标分别表示向量，求得数量积关于的式子，然后用函数的思想求范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，根据题意，则 , , 所以 , 所以 令， 当时，， 当或时，， 所以， 故答案为： 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的坐标表示 【分析】建立以为原点，所在直线为轴的平面直角坐标系，分别写出的坐标，再通过向量的坐标运算即可求出向量的数量积. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示平面直角坐标系. ∵，， ∴， ∵点在边上，且，∴， ∴，， ∴. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【知识点】向量减法的法则、数量积的坐标表示 【分析】将转化为，利用向量数量积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以， 故． 故选：B. 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 【答案】2 【知识点】数量积的坐标表示、求cosx（型）函数的最值 【分析】利用数量积的坐标表示，再利用三角函数性质求解即得. 【详解】依题意，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 题型五 求向量的模与投影（投影向量）　 例题1：（24-25高三上·四川·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、已知模求数量积 【分析】利用平方运算将向量的模转化为向量的数量积，进而根据模长计算公式求解即可. 【详解】由题意得，即， 则，化简得， 则， 故选：D. 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　） A． B．2 C． D．10 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据条件，利用向量的坐标运算得到，再利用模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，所以， 得到， 故选：C. 例题3：（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求投影向量、坐标计算向量的模 【分析】按照投影向量的计算公式求解即可. 【详解】解：因为向量， 则向量在向量上的投影向量为:. 故选：B 巩固训练 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】已知数量积求模、求投影向量、数量积的运算律 【分析】利用投影向量公式即可求得数量积，然后把模平方转化为数量积来求值即可. 【详解】由 在 上的投影向量为 ，得：， 根据 和 都是单位向量，可得， 即， 故选： B. 2．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求投影向量 【分析】利用求得向量和向量的数量积，再根据投影向量的定义计算即可. 【详解】由，得， 由，得，则 因此，在上的投影向量， 故选：D 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量 【分析】利用向量的模长关系可得，再由投影向量的定义即可求出结果. 【详解】根据题意可得， 所以， 又向量为非零，则， 则在方向上的投影向量为. 故选：C. 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【分析】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【详解】由题意，所以． 故答案为：. 题型六 根据模求参数或其他量　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示、已知模求参数 【分析】利用得，结合题意化简得，列不等式组，求解即可； 设，则，，根据方程，分离参数得，利用函数的单调性求值域即可. 【详解】方法1、因为，所以， 因为，，所以，解得， 则或，解得，则的取值范围为． ［易错］容易忽略作为分式的分母不能为0以及，从而导致取值范围错误． 方法2、 如图，设，则，， 因为，则， 当时，，且； 当时，，所以的取值范围为． 故选：C 例题2：（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数、用定义求向量的数量积 【分析】根据条件将两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可. 【详解】，即， 解得或. 故选：D. 例题3：（多选）（22-23高一下·广东深圳·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】已知模求参数、向量夹角的计算、数量积的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】因为，两边平方可得，即可求得，从而可判断选项ABC，进而求得，从而可判断选项D. 【详解】因为，两边平方可得， 所以，即. 对于A，，解得，A正确； 对于B，因为，所以，B错误； 对于C，因为，则，C错误； 对于D，由选项A可知，所以，D正确. 故选：AD 巩固训练 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 【答案】D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、已知模求参数、坐标计算向量的模 【分析】计算出，，由模长相等得到方程，求出答案. 【详解】，， 由得，解得. 故选：D 2．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、已知模求参数 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解即得. 【详解】将两边同时平方，得，而，，， 因此，即依题意，又，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 【答案】 【知识点】已知模求参数、数量积的运算律 【分析】由数量积的定义求出，再对两边同时平方代入化简即可得出答案. 【详解】因为，是单位向量，且， 所以， 所以， 所以，解得：或. 则正数的值为. 故答案为：. 题型七 求向量夹角 例题1：（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】利用平面向量垂直的条件结合数量积的定义求解夹角即可. 【详解】设与的夹角为，根据题意，可得， 所以，代入，所以， 解得，因为，所以与的夹角为． 故选：D 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算 【分析】解已知条件中的等式得到，然后分别求出和的值，由向量的数量积公式求出与的夹角. 【详解】由可得，化简得， 解得或（舍去），则， 因为， ， 所以， 又，所以． 故选：D. 例题3：（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】已知数量积求模、向量夹角的计算、数量积的运算律、求投影向量 【分析】（1）先求出，可求得. （2）根据投影向量的计算公式计算即可. （3）利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，，得， ， 所以. （2）在上的投影向量为. （3），则， 所以向量与夹角的余弦值为. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量夹角的计算 【分析】由数量积公式可得，由夹角公式即可得结果. 【详解】， ，故夹角为. 故选：D. 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，得到，再由向量夹角余弦公式即可计算求解. 【详解】因为，，且在上的投影向量为， 所以，所以， 故选：A. 3（辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】向量夹角的计算、求投影向量 【分析】对已知两个向量模长平方得到两个等式，由此解出，结合在上的投影向量为，解出和，从而解出与的夹角. 【详解】由，得①， 由，得②， 由②-①，得， 由，得，所以，则， 设与的夹角为，则，因为，所以. 故选：A. 题型八 根据向量的垂直关系求参数 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】先根据，由求得，再利用向量的模公式求解. 【详解】解：由，得， 即，解得， 所以． 故选：D 例题2：（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、已知数量积求模 【分析】（1）平方转化为数量积的运算求解； （2）垂直化为数量积为0，由此可得参数值． 【详解】（1）， 则， 故； （2）， 则， 即，解得． 例题3：（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】用定义求向量的数量积、垂直关系的向量表示、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）若，则与的夹角为或，再由数量积的定义求解即可； （2）由可得，化简可得，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）若，则与的夹角为或， 所以或. （2）若，则， ， 所以可得：， 所以，解得：. 实数的取值范围为. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】垂直关系的向量表示、求投影向量 【分析】由向量在向量上的投影向量是得出，再由可得答案. 【详解】因为向量在向量上的投影向量是， 所以，化简得， 因为，所以， 解得. 故选：C, 2．（广西邕衡教育�名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】求投影向量、垂直关系的向量表示 【分析】根据投影向量求得，再由得，代入求值即可. 【详解】由题意得，，则 .∵，∴，即，∴，解得. 故选：C 3．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 【答案】/ 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示 【分析】设向量与的夹角为，根据向量垂直运算可得答案. 【详解】设向量与的夹角为， 若，则， 所以， 可得. 故答案为：. 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2). 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】（1）利用数量积来求和向量的模即可； （2）利用数量积为0来求参数值. 【详解】（1）， . （2）由，得0， 解得. 题型九 根据向量的平行关系求参数 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 【答案】D 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由题意可得向量是非零向量，根据向量共线定理，建立方程，可得答案. 【详解】由，不共线可知，，∴， ∵，， ∴存在实数，使得，即， ∴，∴． 综上，，与反向， 故选：D． 例题2：（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 【答案】/ 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解. 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 例题3：（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）已知向量，，. (1)为何值时，与垂直? (2)若，求的值. 【答案】(1) (2)． 【知识点】由向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示求解； （2）根据向量平行的坐标表示求解． 【详解】（1）由已知， 与垂直，则， 解得； （2）由已知， 若，则，， 所以． 巩固训练 1．（广东省大湾区（步升联考）2024-2025学年高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，则. 故选：B. 2．（24-25高三上·湖北随州·期末）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以，解得. 故选：A. 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线，可设，利用向量相等的条件求解即可. 【详解】因为与共线，设，即， 所以，故解之可得. 故答案为： 题型十 平面向量共线定理及其推论 例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平面向量基本定理求参数、基本不等式“1”的妙用求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】利用平面向量的基本定理推导出，即，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为，则，所以，， 因为为的中点，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，， 因为，，则，， 所以，， 因为、不共线，所以，，所以，， 所以，，即， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 例题2：（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】平面向量共线定理的推论、利用平面向量基本定理求参数 【分析】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【详解】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为： 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，为的中点，与交于点设，. (1)求 (2)试用表示； (3)求. 【答案】(1)2 (2) (3) 【知识点】用基底表示向量、已知数量积求模、向量夹角的计算、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）根据线性运算用表示，，再结合数量积的运算律运算求解； （2）由题意可设：，根据三点共线分析可得，进而可得结果； （3）根据数量积的运算律可得，进而可得结果. 【详解】（1）由题意可得：，， 又因为，可得， 所以. （2）由（1）可知：， 由题意可设：， 由于，，三点共线，则，解得， 可得， 所以. （3）由题意可得：， 且， ， 所以. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏·开学考试）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则 【答案】 【知识点】数量积的运算律、平面向量共线定理的推论、用定义求向量的数量积 【分析】根据题意得，由三点共线求得，利用向量数量积运算求解. 【详解】由，得，则， 而三点共线，于是，即，， 所以. 故答案为： 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    【答案】 96 【知识点】用定义求向量的数量积、平面向量共线定理的推论、向量加法法则的几何应用 【分析】根据向量的线性运算，结合三点共线的结论即可求解，进而由向量的数量积即可求解. 【详解】设，，因为，分别是边，的中点，所以，则， 因为，，三点共线，所以，解得， 所以，， 所以．又， 所以． 故答案为：，96 3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 【答案】(1)0或 (2)， 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）设结合已知条件可得、、的关系，再由三点共线即可得的值，可得的长，再讨论点的位置即可求解； （2）根据和即可求解； 【详解】（1）因为A，D，E三点共线，所以与共线， 设 又因为， 所以，可得， 由在边上，可得，即， 若，又，可得，，故， 若两点重合时，的距离为0， 若不重合时，为等腰三角形. 又在中，，，，可得，且， ， 故的距离为0或； （2）若，又， 故， 故， 由，可得相似比为， 所以，. 题型十一 利用平面向量基本定理求参数 例题1：（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数 【分析】选取作为基底，表示出，根据平面向量基本定理列方程求解即可. 【详解】由图可知，， 所以，解得，则. 故选：A. 例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，P是线段上一点，若，则实数m的值为（   ）    A． B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】用基底表示向量、利用平面向量基本定理求参数、平面向量的混合运算 【分析】设，根据向量线性运算得，再由，列方程组求实数m的值. 【详解】设，因为，所以， 则． 又因为，所以，解得. 故选：A. 例题3：（2024高三·全国·专题练习）已知在△ABC中，点D满点，点E在线段AD（不含端点A，D）上移动，若，则 ． 【答案】3 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据条件，利用向量的线性表示，根据，利用基底表示，即可求解. 【详解】解析  如图，由题意得存在实数m，使得． 又， 所以． 又，且，不共线， 故由平面向量的分解的唯一性，得， 所以． 故答案为：3 巩固训练 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面向量基本定理的应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量的线性运算求得，由此求得，进而求得的值. 【详解】因为，所以， 因为是的中点，所以， 所以， 又，所以，，即. 故选：D. 2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用平面向量基本定理根据题意将用表示出来，从而可求出，进而可求得结果. 【详解】因为点D为线段BC的中点，点E满足， 所以，所以， 消去，得， 所以， 所以，，所以． 故选：D． 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在正方形中，为边中点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量的线性运算的几何应用、利用平面向量基本定理求参数 【分析】根据向量的线性运算可得，结合题意即可得. 【详解】由题可知，则， 可得，，所以. 故选：B. 题型十二 平面向量线性运算的坐标表示　 例题1：（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】根据已知结合向量的线性运算可得向量，的坐标，再根据坐标的模长运算可得的值. 【详解】因为，，所以， 则，所以， 所以. 故选：C. 例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示进行运算求解即可. 【详解】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 例题3：（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示可得，即可求解； （2）设，根据平面向量线性运算的坐标表示和建立关于x、y的方程组即可求解. 【详解】（1）依题意得，， 则，所以， 所以，． （2）由（1）知，，所以． 设点的坐标为，则， 因为，所以，， 所以，，故点的坐标为． 巩固训练 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】利用向量垂直求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据两向量垂直的坐标公式运算得解. 【详解】由题，，，则， 又，即， ，解得. 故选：B. 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】由向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可得：， 所以， 故答案为： 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 . 【答案】/ 【知识点】由向量线性运算结果求参数、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，根据向量相等列方程组求出即可得答案. 【详解】以A为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图， 不妨设小正方形的边长为1，则， 所以，， 则有， 所以，解得， 所以. 故答案为： 题型十三 线段的定比分点 例题1：（23-24高一下·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量线性运算结果求参数、线段的定比分点、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量数乘的坐标运算求解即可. 【详解】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 例题2：（23-24高一下·陕西西安·期中）已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数、线段的定比分点 【分析】首先得到，，设，表示出、的坐标，从而得到方程组，解得即可. 【详解】因为点，向量，， 所以，， 设，则， ， 因为，所以，解得，所以. 故答案为： 例题3：（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 . 【答案】或/或； 【知识点】线段的定比分点 【分析】分点在线段的反向延长线、点在线段上以及点在线段的延长线上三种情况，结合平面向量的线性坐标运算即可求出结果. 【详解】若点在线段的反向延长线上，又因为，则有，设，则，所以，解得，即； 若点在线段上，又因为，则有设，则，所以，解得，即； 若点在线段的延长线上，又因为，则显然不成立； 故答案为:或. 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】线段的定比分点、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量的坐标表示分类讨论后计算即可. 【详解】设，因为，，且点P在直线AB上，故由可得以下两种情况： ，此时有，解得； 或，此时有，解得； 故选：AB 2．（23-24高一下·上海杨浦）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【知识点】由向量线性运算结果求参数、线段的定比分点 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 【答案】 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、线段的定比分点 【分析】设，根据题意列方程组即可求解. 【详解】设，由题意， 所以，解得，所以点的坐标为. 题型十四 由向量的线性运算解决最值和范围问题 　 例题1：（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 【答案】C 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】利用建系法，将向量运算转化为数量运算求解. 【详解】以点为坐标原点，的方向为轴，轴正方向，建立平面直角坐标系，则，， 设，所以，则， 因为，所以，即的最大值为10. 故答案为：C 例题2：（多选）（23-24高一下·浙江·期中）如图，已知长方形中，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．对任意，不成立 D．若，则 【答案】ABD 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、用基底表示向量 【分析】以为原点，建系，通过坐标运算来判断A、B选项；C选项，假设，求出的值，即可判断；D选项，列式子，由对应坐标相等，得到一个方程组，用来表示和，将转化为关于的二次函数，求出函数的值域，即可得出结论. 【详解】以为原点，、所在直线分别为轴、轴， 建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，，因为， 所以，即， 对于A选项，当时，， 则，，， 所以，故A正确； 对于B选项，当时，， 则，， 所以，故B正确； 对于C选项， ，， 由，得， 所以当时，，故C错误； 对于D选项，因为， 则， 所以，解得， 所以，， 因为在上单调递增， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 例题3：（23-24高一下·天津·阶段练习）在等腰梯形中，，，，点F在线段AB上且． (1)用和表示； (2)若点为线段上的动点，且，求的最大值； (3)若点为直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、数量积的坐标表示、向量的线性运算的几何应用 【分析】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）证明，以点为原点建立平面直角坐标系，设，将分别用表示，进而可得出答案； （3）先求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）因为， 则； （2）如图，取的中点， 则， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以， 又，所以为的中点，所以， 如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 故， 所以， 设， 所以， 所以，所以， 所以， 所以的最大值为； （3）由（2）得， ， ， 所以 ， 当时，取得最大值， 所以的最大值为. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法： （1）利用定义： （2）利用向量的坐标运算； （3）利用数量积的几何意义． 巩固训练 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】设、、，由题意可得，又，故有，结合向量的模长计算及的范围计算即可得其最大值. 【详解】设、、， 则、、， 由，则有，即， 由，有，故，即， 即有，且， 则， 由，故当时，有最大值， 且的最大值为. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 【答案】 【知识点】平面向量有关概念的坐标表示、由向量线性运算解决最值和范围问题 【分析】由图建立平面直角坐标系，利用平面向量坐标运算可得的范围. 【详解】 如图，建立平面直角坐标系，设，则，， 由题意设，则， 由得， 则，故， 即， 故答案为： 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． (1)求m的最小值； (2)当m取最小值时，求在方向上的投影． 【答案】(1)30 (2) 【知识点】求投影向量、由向量线性运算解决最值和范围问题、数量积的坐标表示 【分析】（1）由，得，建立平面直角坐标系，表示出，求最小值即可； （2）由（1）得m取最小值时，点，然后计算在方向上的投影即可. 【详解】（1）由，得． 以A为坐标原点，直线AB，AC分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系， 则，，．设， 则， 所以的最小值为30，即m的最小值为30； （2）由（1）得m取最小值时，点，得，， 所以，，， 所以在方向上的投影为． 4．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知坐标平面内三点，，． (1)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量线性运算解决最值和范围问题、向量坐标的线性运算解决几何问题、由向量线性运算结果求参数 【分析】（1）设（），依题意可得，根据向量相等的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）设，，用的式子表示、，从而转化为关于的二次函数，即可求出的取值范围. 【详解】（1）设（），依题意可得， 又，，，所以，， 所以，解得，即. （2）设，， 则，所以，则， 所以， 因为，所以当时取最小值， 当时取最大值， 所以的取值范围为. 题型十五 向量与几何最值 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值 【分析】根据，结合正六边形的性质求解的范围即可. 【详解】如图所示，由正六边形的几何性质可知，，，，，，均是边长为4的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值4， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以． 所以， 即的最小值为8． 故选：D 例题2：（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【知识点】数量积的运算律、向量与几何最值、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 【分析】表达出，利用向量数量积公式得到；设，，表达出，，利用向量数量积公式得到，故当时，取得最小值，最小值为. 【详解】，， 故， ， 故 ； 点为线段（含端点）上的动点，设，， ， ， 其中， ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 巩固训练 1．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量与几何最值、垂直关系的向量表示 【分析】由题设分别在以为原点，半径为的圆上运动，且，数形结合及向量加法的几何意义确定的范围，即可得答案. 【详解】由题设，分别在以为原点，半径为的圆上运动，且， 所以，若是的中点，则，而，如下图示， 由图知，，而，即. 所以的最小值是. 故选：D. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 7 【知识点】已知数量积求模、向量与几何最值、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 【点睛】关键点点睛： 本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性和数量积的运算法则，平面向量的基本定理是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，有一定的难度． 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量（15题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点01：向量的加法 （1）向量加法的定义 求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量，我们规定. （2）向量加法的三角形法则(首尾相接，首尾连） 已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. （3）向量加法的平行四边形法则（作平移,共起点,四边形,对角线） 已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则. 知识点02：向量的减法 （1）相反向量 与向量长度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，记作. ①零向 量的相反向量仍是零向量 ②任意向量与其相反向量的和是零向量，即: ③若,互为相反向量,则，，. （2）向量减法定义 向量加上的相反向量，叫做与的差，即. 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,可以把向量的减法转化为向量的加法进行运算. （3）向量减法的几何意义 已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示 如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量. 知识点03：向量三角不等式 ①已知非零向量，，则（当与反向共线时左边等号成立；当与同向共线时右边等号成立）； ②已知非零向量，，则（当与同向共线时左边等号成立；当与反向共线时右边等号成立）； 记忆方式：（“符异”反向共线等号成立；“符同”同向共线等号成立）如中，中间连接号一负一正“符异”，故反向共线时等号成立；右如：中中间链接号都是正号“符同”，故同向共线时等号成立； 知识点04：向量的数乘 （1）向量数乘的定义 一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下： ① ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，. 知识点05：向量共线定理 内容：向量与非零向量共线，则存在唯一一个实数，. 知识点06：平面向量数量积的概念 （1）平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积). 记作：，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0 （2）投影 如图,设,是两个非零向量,,,作如下变换:过的起点和终点,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量. 知识点07：平面向量基本定理 （1）平面向量基本定理 如果,是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数,,使. 若,不共线,我们把,叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 知识点08：平面向量的坐标表示 （1）两个向量和（差）的坐标表示 两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）. 坐标表示：，则： ； （2）向量数乘的坐标表示 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 坐标表示:,则. 知识点09：平面向量共线的坐标表示 设,,其中,则当且仅当存在唯一实数,使得； 用坐标表示,可写为,即： 消去得到：. 这就是说,向量()共线的充要条件是. 知识点10：两个向量平行、垂直的坐标表示 已知非零向量， （1）． （2） 知识点11：向量模的坐标表示 向量模的坐标表示 若向量，由于，所以． 其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根． 知识点12：两向量夹角余弦的坐标表示 已知非零向量，是与的夹角，则． 知识点13：平面几何中的向量方法 ① 平面两个向量的数量积：； ② 向量平行的判定: ； ③向量平行与垂直的判定:； ④平面内两点间的距离公式： （其中，） ⑤求模：； ； 03 题型归纳 题型一 平面向量的概念　 例题1：（24-25高一上·全国·课后作业）若向量的模小于的模，则．( ) 例题2：（24-25高三上·北京丰台·期末）设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题3：（24-25高二·河北衡水）下列说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则与不是共线向量 巩固训练 1．（23-24高一下·山东德州·阶段练习）下列说法错误的是（ ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 2．（23-24高一下·河南·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．向量的模可以比较大小 C．模为1的向量都是相等向量 D．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 3．（多选）（23-24高一下·四川成都·期中）下列说法错误的是（    ） A．若与都是单位向量，则 B．方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量 C．直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量 D．若用有向线段表示的向量与不相等，则点M与N不重合 题型二 平面向量的加，减，数乘运算 　 例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在平行四边形ABCD中，为对角线的交点，则（   ） A． B． C． D． 例题2：（2024高一·江苏·专题练习）（1）计算： ①； ②； ③． （2）设向量，求． 例题3：（2024高一·全国·专题练习）化简： (1)； (2)； (3)． (4)； (5)； (6)． 巩固训练 1．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知，点为边上一点，且满足，则向量（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·福建福州·阶段练习）如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·全国·课后作业）化简： (1)； (2)； (3)； (4). 题型三 用定义求数量积　 例题1：（23-24高三上·北京·阶段练习）已知向量是与向量方向相同的单位向量，且，若在方向上的投影向量为，则（    ） A． B． C．4 D．-4 例题2：（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）在中，为边上上的中点，，． （1） ． （2）为内一点，最小值为 例题3：（23-24高一下·上海黄浦·阶段练习）已知向量在的方向上的数量投影为1，，，则 . 巩固训练 1．（2024高二上·北京·学业考试）已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格中每个小正方形的边长均为1，则 ； . 2．（23-24高一下·北京·阶段练习）设向量，的长度分别为4和3，夹角为，则的值为 ． 3．（23-24高一下·湖南益阳）已知平面向量，满足：，在上的投影向量为，则 . 题型四 用坐标求数量积　 例题1：（2024·江苏徐州·模拟预测）正方形ABCD的中心为O，边长为2，点P在BD上，则（   ） A． B．2 C． D．4 例题2：（23-24高一下·江苏徐州·期中）已知向量，，若向量在向量时上的投影向量为，则（    ） A． B． C．2 D．1 例题3：（23-24高一下·江苏盐城·期末）已知梯形中，，，，，，若，，，则的取值范围为 . 巩固训练 1．（23-24高一下·江苏盐城·期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E在边CD上，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 3．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知点，点为原点，则的最小值为 . 题型五 求向量的模与投影（投影向量）　 例题1：（24-25高三上·四川·阶段练习）已知单位向量满足，则（    ） A．8 B．3 C． D． 例题2：（2024高一·全国·专题练习）已知向量，，则（　　） A． B．2 C． D．10 例题3：（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知 和 都是单位向量，若 在 上的投影向量为 ，则 （    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高三上·江苏镇江·期中）已知向量，，，则向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）若非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 题型六 根据模求参数或其他量　 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024·广东肇庆·模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 例题3：（多选）（22-23高一下·广东深圳·期中）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25高三上·辽宁沈阳·期中）已知向量，，且，则x的值是（    ） A． B． C． D．6 2．（2024·全国·模拟预测）已知平面向量，满足，，，则实数k的值为（    ） A．1 B．3 C．2 D． 3．（24-25高二上·贵州遵义·阶段练习）已知单位向量，满足，且，则正数的值为 . 题型七 求向量夹角 例题1：（24-25高三上·江苏扬州·期末）设，均为非零向量，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）已知平面向量的夹角为，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高一下·广东广州·期中）已知向量与的夹角，且，. (1)求； (2)在上的投影向量； (3)求向量与夹角的余弦值. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·江苏无锡·阶段练习）已知向量，满足，，且在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 3（辽宁省点石联考2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题）已知平面向量，满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 题型八 根据向量的垂直关系求参数 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量满足，，，，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知． (1)求； (2)若，求实数的值． 例题3：（24-25高三上·上海松江·期中）已知，，与的夹角为. (1)若，求； (2)若，且，求实数的取值范围. 巩固训练 1．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 2．（广西邕衡教育�名校联盟2024-2025学年高三上学期12月联考数学试题）已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则的值为（    ） A．2 B．0 C． D． 3．（2024·上海杨浦·一模）已知，若，则向量与的夹角的余弦值为 . 4．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）已知与的夹角. (1)求； (2)若，求的值. 题型九 根据向量的平行关系求参数 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知向量，不共线，，，如果，那么（    ）． A．且与同向 B．且与反向 C．且与同向 D．且与反向 例题2：（2024高二上·辽宁·学业考试）已知向量与不共线，而且与共线，则的值为 . 例题3：（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）已知向量，，. (1)为何值时，与垂直? (2)若，求的值. 巩固训练 1．（广东省大湾区（步升联考）2024-2025学年高三上学期新高考适应性测试数学试题）已知向量，不平行，，则（   ） A． B． C．1 D．2 2．（24-25高三上·湖北随州·期末）已知向量若，则m等于（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）已知、是两个不共线的单位向量，，，若与共线，则 . 题型十 平面向量共线定理及其推论 例题1：（24-25高一上·辽宁·期末）如图，在中，为线段上一点，且，为线段的中点，过点的直线分别交直线、于、两点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 例题3：（23-24高一下·江苏无锡·期中）如图，在中，，为的中点，与交于点设，. (1)求 (2)试用表示； (3)求. 巩固训练 1．（24-25高二上·江苏·开学考试）已知是边长为1的正三角形，是上一点且，则 2．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，在平行四边形中，，分别是边，的中点，与交于点，且，则 ；若，，，则 ．    3．（2024高三·全国·专题练习）如图，在，，，，在边上，延长到，若（为常数） (1)若，求的距离； (2)若，求､的长度； 题型十一 利用平面向量基本定理求参数 例题1：（24-25高三上·甘肃临夏·期末）如图，在长方形ABCD中，点M，N分别是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 例题2：（2024高三·全国·专题练习）如图，在中，，P是线段上一点，若，则实数m的值为（   ）    A． B． C．2 D． 例题3：（2024高三·全国·专题练习）已知在△ABC中，点D满点，点E在线段AD（不含端点A，D）上移动，若，则 ． 巩固训练 1．（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，是的中点，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习）在中，点为线段的中点，点满足，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南昭通·期中）如图，在正方形中，为边中点，若，则（    ） A． B． C． D． 题型十二 平面向量线性运算的坐标表示　 例题1：（24-25高三上·湖南郴州·期末）已知向量，满足，，则（   ） A．1 B．2 C． D． 例题2：（多选）（24-25高一上·辽宁·期末）已知点，则（   ） A． B． C． D． 例题3：（23-24高一下·广西桂林·阶段练习）已知，，． (1)若，求，； (2)若，求点的坐标． 巩固训练 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知向量，若，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25高三上·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 3．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，点均在正方形网格的格点上.若，则 . 题型十三 线段的定比分点 例题1：（23-24高一下·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 例题2：（23-24高一下·陕西西安·期中）已知点，向量，，点满足，则点的坐标为 ． 例题3：（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知两点，点在直线上，且满足，则点的坐标为 . 巩固训练 1．（多选）（23-24高一下·山东枣庄·阶段练习）已知，，点P在直线AB上，且，求点P的坐标（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·上海杨浦）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知平面上A、B两点的坐标分别是、，P是直线上的一点，且，求点P的坐标． 题型十四 由向量的线性运算解决最值和范围问题 　 例题1：（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）如图，在矩形中，与的交点为为边上任意一点（包含端点），则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．10 D．12 例题2：（多选）（23-24高一下·浙江·期中）如图，已知长方形中，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．对任意，不成立 D．若，则 例题3：（23-24高一下·天津·阶段练习）在等腰梯形中，，，，点F在线段AB上且． (1)用和表示； (2)若点为线段上的动点，且，求的最大值； (3)若点为直线上的动点，求的最大值． 巩固训练 1．（23-24高二上·河南驻马店·期末）在平面直角坐标系中，点分别在x轴和y轴上运动，且，点和点P满足，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）四边形是正方形，延长至点，使得，若为中点，为中点，点在线段上移动（包含端点），设，求的取值范围 ． 3．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，设点P是所在平面内的任意一点，． (1)求m的最小值； (2)当m取最小值时，求在方向上的投影． 4．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）已知坐标平面内三点，，． (1)若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 题型十五 向量与几何最值 例题1：（2024高三·全国·专题练习）已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 例题2：（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在边长为1的正方形中，是对角线上一点，且，则 ，若点为线段（含端点）上的动点，则的最小值为 ．    巩固训练 1．（2024·四川泸州·一模）已知平面向量，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D．3 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 试卷第42页，共43页 / 学科网（北京）股份有限公司 $$