5.2.1基本初等函数的导数同步检测-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019）选择性必修第二册

5.2.1　基本初等函数的导数（同步检测） 一、选择题 1.已知函数f＝x，则f′＝(　　) A.1　　 B.　 C.0　　 D.－1 2.若函数y＝10x，则y′|x＝1＝(　　) A. B.10 C.10ln 10 D. 3.曲线y＝x3在点(1，1)处的切线方程为 (　　) A.3x－y－2＝0 B.2x－y－1＝0 C.x－y＝0 D.3x－y＝0 4.已知函数f(x)及其导函数f′(x)满足f(x)＝ln x－3f′(1)x，则f′(1)＝(　　) A.　　 　　B.0　　　 　 C.　　 　　D. 5.曲线y＝在点P处的切线的斜率为－4，则点P的坐标为(　　) A. B.或 C. D. 6.给出下列结论： ①(cos x)′＝sin x；②′＝cos ； ③若y＝，则y′＝－；④′＝－． 其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 7.设函数f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)＝cos x，则f′＝ (　　) A.－　　 　 B.－　　 　 C.　 　 　D. 8.(多选)以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是(　　) A.＝ B.(2cos x)′＝－2sin x C.＝3x D.(lg x)′＝ 9.(多选)直线y＝x＋b能作为下列函数的图象的切线的是(　　) A.f(x)＝ B.f(x)＝x4 C.f(x)＝sin x D.f(x)＝ex 二、填空题 10.直线y＝x＋b是曲线f(x)＝ln x(x＞0)的一条切线，则实数b＝________ 11.已知f(x)＝2x，则f′＝________ 12.P是抛物线y＝x2上的点，若过点P的切线与直线y＝－x＋1垂直，则过点P的切线方程是________________ 13.设坐标平面上的抛物线C：y＝x2，过第一象限的点(a，a2)作抛物线C的切线l，则直线l与y轴的交点Q的坐标为________ 三、解答题 14.求与曲线y＝在点P(8，4)处的切线垂直于点P的直线方程． 15.已知点A，B(2,1)，函数f(x)＝log2x. (1)过坐标原点O作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程． (2)在曲线y＝f(x)上是否存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案及解析： 一、选择题 1.A 解析：f′(x)＝1，故f′(0)＝1． 2.C 解析：∵y′＝10x ln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10．故选C． 3.A 解析：y′＝3x2，y′|x＝1＝3，故切线方程为3x－y－2＝0． 4.A 解析：因为f(x)＝ln x－3f′(1)x，则f′(x)＝－3f′(1)，令x＝1，则f′(1)＝1－3f′(1)，解得f′(1)＝．故选A． 5.B 解析：(1)y′＝′＝－＝－4，x＝±，∴点P的坐标为或．故选B． 6.B 解析：因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；sin ＝，而′＝0，所以②错误； ′＝(x－2)′＝－2x－3，所以③错误；′＝(x－)′＝－x－＝－，所以④正确．故选B． 7.B 解析：因为f(x)＝cos x，所以f′(x)＝－sin x，所以f′＝－sin ＝－．故选B． 8.BC　解析：＝－，(2cos x)′＝－2sin x，＝3x，(lg x)′＝．故选BC． 9.BCD　解析：f(x)＝，故f ′(x)＝－＝，无解，故A排除； f(x)＝x4，故f ′(x)＝4x3＝，故x＝，即曲线在点的切线为y＝x－，B正确；f(x)＝sin x，故f ′(x)＝cos x＝，取x＝，故曲线在点的切线为y＝x－＋，C正确；f(x)＝ex，故f ′(x)＝ex＝，故x＝－ln 2，曲线在点的切线为y＝x＋ln 2＋，D正确；故选BCD． 二、填空题 10.答案：ln 2－1 解析：由切线方程知切线斜率是，即y′＝＝，解得x＝2．因为切点在y＝ln x上，所以切点为(2，ln 2)．因为切点也在切线上，所以将点(2，ln 2)代入切线方程，得b＝ln 2－1． 11.答案：eln 2 解析：因为f(x)＝2x，所以f′(x)＝2x ln 2，所以f′＝f′(log2e)＝2log2eln 2＝eln 2． 12.答案：2x－y－1＝0 解析：设切点坐标为(x0，x)，∵y′＝2x，由题意知2x0＝2，∴x0＝1，∴切点坐标为(1，1)，方程为2x－y－1＝0． 13.答案：(0，－a2) 解析：显然点(a，a2)为抛物线C：y＝x2上的点， ∵y′＝2x，∴直线l的方程为y－a2＝2a(x－a)． 令x＝0，得y＝－a2，∴直线l与y轴的交点的坐标为(0，－a2)． 三、解答题 14.解：∵y＝，∴y′＝()′＝(x)′＝x－． ∴当x＝8时，y′＝×8－＝， 即曲线在点P(8，4)处的切线的斜率为． ∴所求直线的斜率为－3． ∴所求直线方程为y－4＝－3(x－8)，即3x＋y－28＝0． 15.解：(1)设切点为(m，log2m)(m>0)． 因为f(x)＝log2x，所以f′(x)＝. 由题意可得＝，解得m＝e， 所以切线方程为y－log2e＝(x－e)，即y＝x. (2)过点A，B(2,1)的直线的斜率为kAB＝. 假设存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行， 设P(n，log2n)，≤n≤2，则有＝，得n＝. 又＝ln <ln 2<ln e＝1，所以<<. 所以在曲线y＝f(x)上存在点P，使得过点P的切线与直线AB平行，且点P的横坐标为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$