精品解析：2023年度江苏省职教高考一轮复习系统性二模考试数学试卷

2023年度江苏省职教高考一轮复习系统性 二模考试数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求． 1．本试卷共4页，包含选择题（第1题—第10题，共10题）、非选择题（第11题—第23题，共13题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡如的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符． 4．作答选择题（第1题—第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线：与：”平行的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 复数的辐角主值为，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 4. 从甲、乙等8人中选出5名代表，则甲、乙2人至少有1人当选的选法种数为（ ） A. 6 B. 56 C. 28 D. 50 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 6. 二项式的展开式中，第三项的系数为（ ） A. B. 28 C. D. 140 7. 若点是圆：内一点，则经过点的最短弦所在的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量，满足，则（ ） A. B. 7 C. D. 5 9. 圆锥的底面直径和高都是2，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知数组，则______． 12. 运行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的______． 13. 已知角的终边落在直线（）上，则的值为______． 14. 若抛物线的准线方程为，则______． 15. 已知，，定义设函数，则关于的方程（）恰有三个互不相等的实根，，，则的取值范围为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数为指数函数． （1）求函数的解析式； （2）若，求不等式的解集． 17. 已知二次函数的最大值为4，函数图象关于轴对称，且． （1）求的解析式； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围． 18. 某学校开展了知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率． 19. 在中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的大小； （2）若，试判断的形状． 20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建造一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：（），若距离为时，测算宿舍建造费用为10万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需4万元，铺设路面每公里成本为万元，工厂一次性补贴工人交通费用万元，设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． （1）求的值； （2）求函数的表达式； （3）宿舍建在离工厂多远处可使总费用最小？求出最小值． 21. 已知数列的前项和为，且满足（）． （1）求证数列为等比数列，并求数列的通项； （2）记，求数列的前项和． 22. 笔、墨、纸、砚在中国传统文化中被称为“文房四宝”，毛笔的历史悠久，品种繁多，制作工序复杂．某文具厂家计划每天组装A，B，C三种型号的毛笔共100支，组装一支A型毛笔需，组装一支B型毛笔需，组装一支C型毛笔需，已知总组装时间不超过，且同一时间只能组装一支笔．若组装一支A型毛笔可获利润5元，组装一支B型毛笔可获利润6元，组装一支C型毛笔可获利润4元．设每天组装的A，B型毛笔支数分别为，． （1）用表示每天的利润（元）； （2）怎样分配组装任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 23. 已知椭圆：（）的焦点为，，离心率为，点为椭圆上上一动点，且的面积的最大值为，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点，是椭圆上的两个动点，当时，求证：点到直线的距离为定值，并求出这个定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023年度江苏省职教高考一轮复习系统性 二模考试数学试卷 注意事项： 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求． 1．本试卷共4页，包含选择题（第1题—第10题，共10题）、非选择题（第11题—第23题，共13题）．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡如的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符． 4．作答选择题（第1题—第10题），必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚． 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 设集合，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数函数的性质求出集合B，再利用补集和交集的概念即可求解. 【详解】因为集合，， 所以或，则． 故选：C． 2. “”是“直线：与：”平行的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行的性质定理和充分必要条件的概念即可解得. 【详解】若，则直线， 直线可化为，直线可化为， 此时两直线平行且不重合，充分性得证； 若直线：与：平行， 则，解得，， 因为当时，两直线重合，所以只有一个解，必要性得证, 所以“”是“直线：与：”平行的充要条件. 故选：A． 3. 复数的辐角主值为，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数运算，几何意义即可求解. 【详解】由题意得，，即对应的坐标为. 因为辐角主值为，所以，解得． 故选：A． 4. 从甲、乙等8人中选出5名代表，则甲、乙2人至少有1人当选的选法种数为（ ） A. 6 B. 56 C. 28 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概念可知：甲、乙2人至少有1人当选的对立事件是甲、乙两人均没有当选，由组合数的计算即可求解. 【详解】从8人中选出5人有种情况， 甲、乙两人均没有当选的情况有：种， 所以则甲、乙2人至少有1人当选的选法种数为种． 故选：D． 5. 函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的值域求解即可. 【详解】因为单调递增， 所以时，，即， 单调递减， 所以时，，即， 综上函数的值域为. 故选：D. 6. 二项式的展开式中，第三项的系数为（ ） A. B. 28 C. D. 140 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项求解即可. 【详解】由题意得，，所以第三项的系数为140． 故选：D． 7. 若点是圆：内一点，则经过点的最短弦所在的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据过点垂直于的直线与圆相交的弦最短，结合两条直线垂直斜率的关系易得答案. 【详解】由题知，圆心的坐标为，点， 所以， 而过点的直线与直线垂直时，弦最短， 所以，直线的方程为， 即． 故选：A． 8. 已知非零向量，满足，则（ ） A. B. 7 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长公式和内积公式计算即可. 【详解】因为非零向量，满足， ， 由，可得， 所以． 故选：A． 9. 圆锥的底面直径和高都是2，则该圆锥的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的表面积公式即可求解. 【详解】由题意得，圆锥的底面半径为1，所以底面积为， 侧面积为，所以圆锥的全面积为． 故选：B． 10. 已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数的大致图像，由，得或，解不等式组即可求出实数的取值范围. 【详解】画出函数的大致图像，如图： 由函数图像可知，在上单调递减，在上为常函数， 若，则或， 解得或， 综上所述：的取值范围为． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知数组，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据数组的内积运算和特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】． 故答案为：. 12. 运行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的______． 【答案】105 【解析】 【分析】由程序框图按流程循环计算即可. 【详解】输入，， 第一次循环得，，；； 第二次循环得，，；； 第三次循环得，，；； 第四次循环得，，，； 循环结束，输出． 故答案为：. 13. 已知角的终边落在直线（）上，则的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式，各象限角的三角函数符号，诱导公式即可求解. 【详解】因为角的终边落在直线（）上，所以角的终边在第二象限. 所以，又，解得. 则. 故答案为：. 14. 若抛物线的准线方程为，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，先求出抛物线的标准方程为，再得到抛物线的准线方程为，即可求解. 【详解】抛物线化为标准方程， 其准线方程为，即，解得． 故答案为：. 15. 已知，，定义设函数，则关于的方程（）恰有三个互不相等的实根，，，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由定义可得函数，画出函数图像，根据方程根的个数列式，即可求出取值范围. 【详解】由题可知：， 所以，作出函数与图像如下所示： 当时，， 由图像可知当时直线与函数有三个交点， 设图象与的交点从左到右依次为，，， 因为关于对称，则， 由，所以， 即，解得， 所以． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知函数为指数函数． （1）求函数的解析式； （2）若，求不等式的解集． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的性质可得，解方程组即可求解. （2）由（1）可知，由则，根据指数函数的性质和一元二次不等式的解法即可求解. 【小问1详解】 由题可知，为指数函数，所以， 解得（舍）或，所以． 【小问2详解】 由，得，即， 因为在上单调递减， 即，则，解得， 所以不等式的解集为． 17. 已知二次函数的最大值为4，函数图象关于轴对称，且． （1）求的解析式； （2）若方程在上有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象关于轴对称求出对称轴，设出二次函数顶点式方程代入函数值易得答案； （2）参变分离求出函数在定义域上的值域易得答案. 【小问1详解】 因为函数的图象关于轴对称， 由图象平移知的图象关于对称， 又二次函数的最大值为4，所以顶点坐标为， 可设 又，所以，解得， 所以． 【小问2详解】 方程，即， 由（1）知，（），对称轴为， 所以时，， 时，． 故的取值范围为． 18. 某学校开展了知识竞赛．现从参赛的所有学生中，随机抽取100人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示． （1）求频率分布直方图中的值，并估计该校此次竞赛成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间中点值代表）； （2）在该样本中，若采用分层抽样的方法，从成绩高于75分的学生中随机抽取7人查看他们的答题情况，再从这7人中随机抽取3人进行调查分析，求这3人中至少有1人成绩在内的概率． 【答案】（1）；分 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的概率和为求出，再根据样本平均数公式易得答案； （2）根据分层抽样和组合数结合概率公式易得答案. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得， 解得， 这组数据的平均数为： 分. 【小问2详解】 由频率分布直方图可知成绩在，内的频率分别为0.25，0.1， 由， 成绩在，各为5人，2人， 记{人中至少1人成绩在内}， 则． 答：这3人中至少有1人成绩在内的概率为． 19. 在中，，，分别为内角，，的对边，且． （1）求的大小； （2）若，试判断的形状． 【答案】（1） （2）等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理化简为，再由余弦定理求值即可.. （2）根据两角和与差的正弦公式化简得出，得出的值，即可确定的形状. 【小问1详解】 已知， 由正弦定理得， 即，整理得， 由余弦定理得，， 因为在中，，所以． 【小问2详解】 因为， 由（1）得，，则， 所以， 即， 得， ，所以，得， 所以此时为等腰三角形． 20. 某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建造一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂的距离有关．若建造宿舍的所有费用（万元）和宿舍与工厂的距离的关系为：（），若距离为时，测算宿舍建造费用为10万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需4万元，铺设路面每公里成本为万元，工厂一次性补贴工人交通费用万元，设为建造宿舍、修路费用与给职工的补贴之和． （1）求的值； （2）求函数的表达式； （3）宿舍建在离工厂多远处可使总费用最小？求出最小值． 【答案】（1） （2）（）． （3），最小值为13万元． 【解析】 【分析】（1）由题可知当时，，代入即可求出k的值. （2）由（1）可知，则，根据题意即可列出函数的表达式. （3）由（2）可知（），根据基本不等式可求解. 【小问1详解】 由题意得：当时，，即，解得． 【小问2详解】 由（1）可知，所以， 所以（）． 【小问3详解】 因为 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时得最小值为13万元． 21. 已知数列的前项和为，且满足（）． （1）求证数列为等比数列，并求数列的通项； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，然后当时，化简可得，两边加1可得，从而可证得数列是等比数列； （2）由（1）得，则可得，然后利用裂项相消求和法可求得. 【小问1详解】 由（）， 可得，解得，所以， 当时，， 可得，则，即， 所以数列是首项和公比均为2的等比数列， 所以，则． 【小问2详解】 由（1）可得， 则 ， 所以 ． 22. 笔、墨、纸、砚在中国传统文化中被称为“文房四宝”，毛笔的历史悠久，品种繁多，制作工序复杂．某文具厂家计划每天组装A，B，C三种型号的毛笔共100支，组装一支A型毛笔需，组装一支B型毛笔需，组装一支C型毛笔需，已知总组装时间不超过，且同一时间只能组装一支笔．若组装一支A型毛笔可获利润5元，组装一支B型毛笔可获利润6元，组装一支C型毛笔可获利润4元．设每天组装的A，B型毛笔支数分别为，． （1）用表示每天的利润（元）； （2）怎样分配组装任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当型毛笔为50支，型毛笔为50支时，型毛笔为0支时，利润最大，最大为550元． 【解析】 【分析】（1）由题可知每天组装C型毛笔有支，即可列出利润的解析式. （2）根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，由图可知经过点时，的值最大，联立方程求出点A，即可求出利润的最大值. 【小问1详解】 因为每天组装的A，B型毛笔支数分别为，，则每天组装C型毛笔有支， 所以每天的盈利为． 【小问2详解】 根据题意可知：约束条件为，即， 目标函数为，作出可行域如图所示： 由图可知，经过点时，的值最大， 联立方程，得，所以， 所以当，时，的最大值为． 所以当型毛笔为50支，型毛笔为50支时，型毛笔为0支时，利润最大，最大为550元． 23. 已知椭圆：（）的焦点为，，离心率为，点为椭圆上上一动点，且的面积的最大值为，为坐标原点． （1）求椭圆的标准方程； （2）设点，是椭圆上的两个动点，当时，求证：点到直线的距离为定值，并求出这个定值． 【答案】（1） （2）证明见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合椭圆的性质得到关于的方程组，解之即可得解； （2）分类讨论，当直线斜率不存在时，点到直线的距离为；当直线斜率存在时，设其方程，联立椭圆方程，根据点到直线的距离公式、韦达定理及向量内积的坐标运算即可求解. 【小问1详解】 由题意可知，的面积为， 当时，面积最大，所以， 又，解得， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 当直线斜率不存在时，直线方程为， 联立，解得，， 此时直线的方程为，点到直线的距离为， 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 设，点坐标为， 联立，得， 则，即， 所以，， 因为，所以，即， 即， 所以， 即，得， 而原点到直线得距离，，所以， 综上可知，点到直线的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $