寒假新课衔接：专题08 比例的意义和基本性质-六年级下册数学（人教版）

2024-2025学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题08（四） *比例的意义和基本性质 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：比例的意义 比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例。 组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做 ，中间的两项叫做 。 下面各比中，与：能组成比例的是( )。 A.4:5 B.5:4 C.1:80 【答案】A 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别求出题干和各选项比的比值，找到与题 干比值相等的选项即可。求比值，直接用比的前项÷后项即可。 【详解】：==×8= A.4:5=4÷5= ，4:5与：能组成比例 B.5:4=5÷4=，5:4与：不能组成比例 C.1:80=1÷80=，1:80与：不能组成比例 故答案为：A 练1 下面各组中的两个比可以组成比例的是( )。 A.30:6和1:5 B.15:9和1.6:2.4 C.:和: 18的因数有( ),选择其中的四个数组成一个比例，并且两个比的比值都等于，这个比例是( )。练3 练2 可以用图( )与图( )的数据组成比例，写成比例是：( )。 图A 图B 图C 知识点二：比例的基本性质 在比例里， 这叫做比例的基本性质。 若甲数的与乙数的相等，则甲、乙两数的最简整数比是( ),比值是( )。 【答案】3:4 【分析】由题意知：甲数×=乙数×,再逆用比例的基本性质，即求出甲数和乙数的比，再根据比的基本性质化成最简整数比，比的前项除以比的后项所得的商就是比值，据此填空即可。 【详解】因为甲数×=乙数×,所以甲数：乙数=: :=×6:×6=3:4=3÷4= 所以甲、乙两数的最简整数比是3:4,比值是。 已知一个比例的两个外项的积是50,两个内项不可能是( )。练1 如果a:b=c:d,那么不成立的等式有( )。练2 A.ad=bc B.b:a=d:c C.a:d=c:b D.c:a=d:b练3 如果甲数×=乙数×,则乙数：甲数=( ):( )。 知识点三：解比例 求比例中的未知项，叫做解比例。解比例的依据是 解比例。 5:7.5=x:6 = 3.5:70%=x: 【答案】x=4;x=5.4;x=8 【分析】5:7.5=x:6解比例，原式化为：7.5x=5×6,再根据等式的性质2,方程两边同时除以7.5即可；= 解比例，原式化为：10x=18×3,再根据等式的性质2,方程两边同时除以10即可；3.5:70%=x:解比例，原式化为：70%x=3.5×,再根据等式的性质2,方程两边同时除以70%即可。 【详解】5:7.5=x:6 解：7.5x=5×6 7.5x=30 7.5x÷7.5=30÷7.5 x=4 = 解：10x=18×3 10x=54 10x÷10=54÷10 x=5.4 3.5:70%=x: 解：70%x=3.5× 70%x=5.6 70%x÷70%=5.6÷70% x=8练1 解比例。 3:5=42:x x:4.8=8:60% :=:x 三、课后巩固 一、填一填。 1.如果5a=3b(a、b均不为0),那么a:b=( ):( )。 2.某班有男生24人，女生16人，男女生人数的最简比是( ):( )。如果3a=b,那么a:b=( ):( ) 3..在比例中，两个外项的积等于最小的质数，其中一个内项是2,另一个内项是( )。 4.如果A:6=B:7(A≠0,B≠0),那么A:B=( ):( )。 5.甲数的等于乙数的(甲数不为0),乙数与甲数的比是( ),甲数比乙数少( )%,乙数比甲数多( )%。 6.有四个数03、6、4、x可以组成一个比例，x最大是( ),最小是( )。 二、解比例。 25:7=x:35 6:x=：:4=x: 三、解决问题。 1.盒子里有红、黄两种玻璃球，红球的个数与黄球的个数之比为4:7,如果每次取出4个红球和5个黄球，若干次后，盒子里只剩下24个黄球，那么盒子里原有多少个玻璃球？ 2.一种喷洒果树的药水中药粉与水的比是1:150,现有6kg药粉，要配成这种药水需要加入多少千克水? 参考答案 知识点一：比例的意义 外项 内项练1 C 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此用比的前项÷后项，分别计算各选项中各比的比值，比值相等即可。 【详解】A.30:6=30÷6=5,1:5=1÷5=0.2,比值不相等，30:6和1:5不能组成比例； B.15:9=15÷9==,1.6:2.4=1.6÷2.4==,比值不相等，15:9和1.6:2.4不能组成比例； C.:==×5=，:=÷=×10=，比值相等，能组成比例。 可以组成比例的是:和:，故答案为：C练2 1,2,3,6,9,18; 2:3=6:9 【分析】根据找一个数的因数的方法，可以一对一对的找，最小的是1,最大的是它本身，找出18的因数，之后根据比例的意义，选用四个因数写出两个比值是号的比，再组成比例即可。 【详解】18的因数有：1,2,3,6,9,18; 因为2:3=,6:9= 所以18的因数有6个，选择其中的四个数组成一个比例，并且两个比的比值都等于子，这个比例是2:3=6:9。练3 A C 2:1=4:2(写出的比例不唯一) 【分析】表示两个比相等的式子叫比例，据此分别写出各三角形两直角边的比，求出比值，找到比值相等的两个比即可。 【详解】图A:2:1=2÷1=2 图B:3:2=3÷2=1.5 图C:4:2=4÷2=2 可以用图A与图C的数据组成比例，写成比例是：2:1=4:2。(写出的比例不唯一) 知识点二：比例的基本性质 两个外项的积等于两个两个内项的积 C练1 【分析】在比例里，两个外项之积等于两个内项之积，计算出每个选项中两个数的积，如果两个数的积等于50,则这两个数是比例的内项，如果不等于50,不是比例的内项。据此逐项解答。 【详解】A.25×2=50,所以25和2是比例的两个内项； B.100×0.5=50,所以100和0.5是比例的两个内项； C.26×24=624,624≠50,26和24不是比例的内项； D.×=50,所以和是比例的两个内项。 故答案为：C C练2 【分析】比例a:b=c:d,a和d是比例的外项，b和c是比例的内项，根据比例的基本性质进行分析，即比例的两内项积=两外项积，只要能写成b和c相乘的积等于a和d相乘的积即可。 【详解】根据a:b=c:d,可得bc=ad. A.ad=bc,将等号两边进行交换就是bc=ad,成立； B.b:a=d:c,根据比例的基本性质，可得bc=ad,成立； C.a:d=c:b,根据比例的基本性质，可得ab=cd,不成立； D.c:a=d:b,根据比例的基本性质，可得ad=bc,成立。 不成立的等式有a:d=c:b。 故答案为：C练3 4：15 【分析】根据比例的性质，两内项的积等于两外项的积把原式转化乙数：甲数=：,再化成最简单的整数比。 【详解】因为甲数×=乙数×所以乙数：甲数=： ： =(×20):(×20) =4:15 所以乙数：甲数=4:15。 知识点三：解比例 比例的基本性质 x=70 ; x=64 ; x=练1 【分析】比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积，据此先把比例方程转化成内项乘积=外项乘积的形式，再根据等式的基本性质进一步计算即可。 【详解】3:5=42:x 解：3x=5×42 3x=210 x=210÷3 x=70 x:4.8=8:60% 解：60%x=4.8×8 0.6x=38.4 x=38.4÷0.6 x=64 :=:x 解： x= x= x=÷ x= 三、课后巩固 一、填一填。 1. 3 5 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。 【详解】根据比例的基本性质：如果5a=3b(a、b均不为0),则a:b=3:5. 2. 3 2 1 4 【分析】先根据比的意义，写出男女生人数比是24:16,再根据比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以同一个不为0的数，比值不变。将24:16的前项和后项同时除以8,即可得到最简比。 根据在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。将3a=b改写成a:b=:3化简即可。 【详解】24:16 =(24÷8):(16÷8) =3:2 3a=b a:b=:3 =（×4）：（3×4） =3:12 =(3÷3):(12÷3) =1:4 某班有男生24人，女生16人，男女生人数的最简比是3:2。如果3a=b,那么a:b=1:4。 3. 1 【分析】根据题意，结合比例的基本性质可知，外项之积等于内项之积。最小的质数为2,用2除以2,即可求出答案。 【详解】2÷2=1 所以另外一个内项是1。 4. 6 7 【分析】在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质。交换两个内项的位置，两个内项的积不变，两个外项的积还是等于两个内项的积。据此解答。 【详解】根据分析可得： 如果A:6=B:7(A≠0,B≠0),那么A:B=6:7。 5. 5:4 20 25 【分析】根据一个数乘分数的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，可找到数量关系：×甲=×乙。根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积，求出甲乙两数的比，再化简即可；求一个数比另一个数多/少百分之几，用两数之差除以另一个数即可解答。 【详解】由分析可得： 甲数的等于乙数的，所以，×甲=×乙 甲数：乙数： =: =(×20÷3):(×20÷3) =4:5 乙数与甲数的比是5:4。 令甲数为4,乙数为5。 (5-4)÷5=1÷5 =0.2=20% (5-4)÷4=1÷4 =0.25=25% 甲数比乙数少20%,乙数比甲数多25%。 6. 80 0.2 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据题意，要使x最大，那么与x相乘的另一数要最小，0.3<6<4,所以x与0.3的乘积等于6与4的乘积，据此求出x的最大值；要使x最小，那么与x相乘的另一数要最大，6>4>0.3,所以x与6的乘积等于0.3与4的乘积，据此求出x的最小值。 【详解】6×4÷0.3 =24÷0.3 =80 0.3×4÷6 =1.2÷6 =0.2 x最大是80,最小是0.2。 二、解比例。 x=125;x=10; x= 【分析】25:7=x:35,解比例，原式化为：7x=25×35,再根据等式的性质2,方程两边同时除以7即可； 6:x=：解比例，原式化为：x=6×，再根据等式的性质2,方程两边同时除以即可； :4=x:解比例，原式化为：4x=×，再根据等式的性质2,方程两边同时除以4即可。 【详解】25:7=x:35 解：7x=25×35 7x=875 x=875÷7 x=125 6:x=： 解：x=6× x=2 x=2÷ x=10 :4=x: 解：4x=× 4x= x=÷4 x= 三、解决问题 1. 132 【分析】可以设取了x次，每次取出4个红球，则红球有4x个。每次取出5个黄球，盒子里只剩下24个黄球，则黄球有(5x+24)。红球的个数与黄球的个数之比为4:7,列出比例，求出方程的解。则盒子里面原有的球=4×拿的次数+5×拿的次数+24。 【详解】解：设取了x次 4x:(5x+24)=4:7 (5x+24)×4=4x×7 20x+96=28x 28x-20x=96 8x=96 x=96÷8 x=12 4×12+5×12+24=48+60+24=132(个) 则盒子里原有132个。 2. 900千克 【分析】根据题意可知，药粉和水的比是1:150,现有6kg药粉，设要配成这种药水需要加入x千克水，据此列出比例式，根据比例的基本性质解比例即可。 【详解】解：设需要加入x千克水。 6:x=1:150 x=6×150 x=900 答：需要加入900千克水。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$