专题01 勾股定理中的最短路径模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 1 模型2.长方体中的最短路径模型 4 模型3.阶梯中的最短路径模型 8 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 11 14 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 例2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的型池,该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为m的半圆,其边缘,点在上,,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取）    变式1．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 变式2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知长方体的三条棱、、分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是（　　）    A． B． C． D．11 例2．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 变式1．（23-24八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ． 变式2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，某长方体的底面为正方形，，，现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点处结束，则这根绳子的最小长度为（    ） A．（或）m B．（或）m C．（或）m D．（或）m 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 例2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 变式1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（    ） A．19米 B．米 C．15米 D．米 变式2．（2023春·广东八年级课时练习）棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型     条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 变式1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ． 变式2.（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 4．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 5．（2024·广东茂名·八年级校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 7．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）    A． B．3 C． D．5 8．（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（    ）      A． B．5 C． D．10 9．（2023秋·湖北·八年级专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 10．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）    A． B． C． D． 11．（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，一圆柱高，底面周长为，现需按如图方式缠绕一圈彩带进行装饰，则彩带最短要用 ．    12．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这图金属丝的长度至少为 ．    13．（2023春·山东济宁·八年级校考期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱体高，底面半径，蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B处，要爬行的最短路程是 （取3）． 16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）底面是等边三角形的三棱柱，底面边长为5，棱柱高为8，按如图方法缠绕一周的最短长度是 ．    17．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    18．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 19．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 20．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 3 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理中的最短路径模型 勾股定理中的最短路线问题通常是以“两点之间，线段最短”为基本原理推出的。人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。对于数学中的最短路线问题可以分为两大类：第一类为在同一平面内；第二类为空间几何体中的最短路线问题，对于平面内的最短路线问题可先画出方案图，然后确定最短距离及路径图。对于几何题内问题的关键是将立体图形转化为平面问题求解，然后构造直角三角形，利用勾股定理求解。 1 模型1.圆柱中的最短路径模型 1 模型2.长方体中的最短路径模型 4 模型3.阶梯中的最短路径模型 8 模型4.将军饮马与空间最短路径模型 11 14 模型1.圆柱中的最短路径模型 条件：如图，圆柱的底面圆的周长是c厘米，高是h厘米，现在要从圆柱上点A沿表面把一条彩带绕到点B。 结论：彩带最短需要厘米． 证明：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 根据两点之间线段最短得这条丝线的最短长度是的长度， 由勾股定理得，，则这条丝线的最短长度是厘米， 注意：1）运用勾股定理计算最短路径时，按照展开—定点—连线—勾股定理的步骤进行计算； 2）缠绕类题型可以求出一圈的最短长度后乘以圈数。 例1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，圆柱的底面周长为32cm，高为24cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处做装饰（点B在点A的正上方），则这条丝线的最小长度为（    ） A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm 【答案】B 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则从圆柱底部处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部处做装饰，这条丝线的最小长度是长方形的对角线的长． 圆柱的底面周长是，高是，，．故选B． 例2．（23-24八年级上·山东青岛·阶段练习）如图,这是一个供滑板爱好者使用的型池,该型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成,中间可供滑行部分的截面是半径为m的半圆,其边缘,点在上,,一位滑行爱好者从A点到E点,则他滑行的最短距离是 m（边缘部分的厚度可以忽略不计，取）    【答案】 【详解】解:其侧面展开图如下图所示:    ∴,∵,∴, 在中,,故他滑行的最短距离是20m． 变式1．（23-24八年级上·山东济南·阶段练习）如图，一个圆柱高，底面周长为，一只蚂蚁从点A沿圆柱表面爬到点B处觅食，要爬行的最短路程为 ． 【答案】/15厘米 【详解】解：底面周长为，半圆弧长为，展开得： 又，，根据勾股定理得：．故答案为：． 变式2．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐的底面周长是，高是，那么所需彩带最短的长度是 ． 【答案】100 【详解】解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带长为， ∵易拉罐底面周长是，高是，， 解得：，所以彩带最短是，故答案为：100． 模型2.长方体中的最短路径模型 条件：如图，一只蚂蚁从长是a，宽是b，高是h的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，（其中：h＞a＞b）。 结论：蚂蚁爬行的最短路程是 证明：如图，当长方体的侧面按图甲展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图乙展开时，； 则； 如图，当长方体的侧面按图丙展开时，； 则； ∵h＞a＞b，∴ah＞bh＞ab，故＞＞ ∴蚂蚁所行的最短路线长为， 注意：1）长方体展开图分类讨论时可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三类情况进行讨论； 2）两个端点中有一个不在定点时讨论方法跟第一类相同。 例1．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，已知长方体的三条棱、、分别为4，5，2，蚂蚁从A点出发沿长方体的表面爬行到M的最短路程是（　　）    A． B． C． D．11 【答案】C 【详解】解：如图①：， 如图②：； 如图③：．    故最短路程是．故选C． 【点睛】此题主要考查了平面展开图，求最短路径，解决此类题目的关键是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决． 例2．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米），（米）， （米），（米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米，故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 变式1．（23-24八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，长方体盒子的长宽高分别为，，，在中点处有一滴蜜糖，有一只小虫从点爬到处去吃，有很多种走法，求出最短路线长为 ． 【答案】 【详解】解：①如图，连接， 在中，，， 由勾股定理得：，此时； ②如图，连接，在中，，， 由勾股定理得：； ∵，∴从处爬到处的最短路程是．故答案为： 【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是画出图形知道求出哪一条线段的长，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，切记要进行分类讨论． 变式2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，某长方体的底面为正方形，，，现用一根绳子从点A开始，沿着长方体的表面环绕长方体2圈，最后在点处结束，则这根绳子的最小长度为（    ） A．（或）m B．（或）m C．（或）m D．（或）m 【答案】C 【详解】解：如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点， 相当于直角三角形的两条直角边分别是8和4， 根据勾股定理可知所用绳子最短需要m．故选C． 【点睛】本题考查的是平面展开−最短路线问题，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键． 模型3.阶梯中的最短路径模型 条件：如图一个三级台阶，它的每一级的长是a，宽是b，高是h，A和B是这个台阶的两个相对的端点，点A上有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物。 结论：蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短路程为 证明：如图所示， 三级台阶平面展开图为长方形，宽为BC=a，长为AC=b+h， ∴蚂蚁从点A沿台阶面爬行到点最短路程是此长方形的对角线的长， 则由勾股定理得； 则蚂蚁沿着台阶面爬到点最短路程是． 注意：展开—定点—连线—勾股定理 例1．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，一个三级台阶，它的每一级长、宽和高分别为、、，则它爬行的最短路程为 ． 【答案】/13分米 【分析】本题考查勾股定理解决最短距离问题，将楼梯拉伸，根据两点间线段最短，结合勾股定理求解即可得到答案； 【详解】解：将三级台阶展开为平面图形如图所示， 则的长即为它爬行的最短路程，由勾股定理得，， ∴它爬行的最短路程为，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）将矩形纸片折叠，如图所示，已知，，，则蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是 ． 【答案】26 【分析】本题考查平面展开—最短路径问题，两点之间线段最短，勾股定理，要注意培养空间想象能力，解题的关键是熟练掌握两点之间线段最短．根据题意画出矩形纸片的平面展开图，根据两点之间线段最短连接即可． 【详解】如图，根据题意可得：展开图中的，． 在中，由勾股定理可得：， 即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程是．故答案为：26． 变式1．（23-24八年级上·江苏淮安·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是（    ） A．19米 B．米 C．15米 D．米 【答案】C 【详解】解：由题意可知，将木块展开，相当于是个正方形的宽， 长为米；宽为9米．于是最短路径为：（米）．故选C． 变式2．（2023春·广东八年级课时练习）棱长分别为两个正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是______． 【答案】cm． 【详解】解：如图，有两种展开方法： 方法一∶，方法二∶． 故需要爬行的最短距离是cm．故答案为：cm． 【点睛】本题考查平面展开-最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 模型4.将军饮马与空间最短路径模型        条件：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为h厘米，底面周长为c厘米，在容器内壁离容器底部a厘米的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿a厘米的点A处， 结论：蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路程为：厘米。 证明：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形，∴，，连接，则即为最短距离， ∵由题意得，（），=a（），（）， 在中，（）． 注意：立体图形中从外侧到内侧最短路径问题需要先作对称，再运用两点之间线段最短的原理结合勾股定理求解。 例1．（23-24八年级下·广西南宁·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】10 【分析】将圆柱侧面展开再进行点标注，此时长方形的长为圆柱底面周长的一半，如图，作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离，的长度即为所求，接下来结合已知数据，根据勾股定理相信你可以求出的长了． 本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】解：如图：作关于的对称点，连接，过点作于点，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点B处， ∴，，∴， 在中，，故答案为：10． 变式1．（23-24八年级上·辽宁辽阳·阶段练习）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看成是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（取3） ． 【答案】 【详解】解：其侧面展开图如图：作点C关于的对称点F，连接， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆， ∴，，∴， 在中，， 故他滑行的最短距离约为．故答案为：． 变式2.（23-24八年级下·河南·阶段练习）有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长，高，水深，在水面上紧贴内壁的处有一块面包屑，在水面线上，且，一只蚂蚁想从鱼缸外的点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的处吃面包屑．蚂蚁爬行的最短路线为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示作出A关于的对称点，连接，与交于点Q，小虫沿着的路线爬行时路程最短． 在直角中，， ∴ ∴最短路线长为cm.故答案为：． 1．（23-24八年级上·福建宁德·期中）在一个长为、宽为、高为的长方体上，居中截去一个长为、宽为、深为的长方体后，得到一个如图所示的几何体．一只蚂蚁要从该几何体的顶点处，沿着几何体的表面到几何体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，将图中的几何体上表面展开，连接，则蚂蚁需要爬行的最短路径为的长， 根据题意得：，， 由勾股定理得：，， 蚂蚁需要爬行的最短路径的长为，故选． 2．（23-24八年级上·陕西西安·期中）如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为，底面半圆直径为，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是多少（取3）（    ） A． B．8 C． D．10 【答案】D 【详解】解：将圆柱的侧面展开为矩形， 其中为半圆的弧长，为半径的长，， 根据勾股定理可得，故爬行的最短路程为．故选：D 3．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（    ）．（杯壁厚度不计） A．20 B．25 C．30 D．40 【答案】B 【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，， 在中，由勾股定理得：， 则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键． 4．（2023秋·河南郑州·八年级校考期末）如图，一大楼的外墙面与地面垂直，点P在墙面上，若米，点P到的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P爬到点B，它的最短行程是（    ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过P作于G，连接， （米），（米），（米）， （米），（米） 这只蚂蚁的最短行程应该是米，故选：D． 【点睛】本题主要考查了平面展开-最短路径问题，解题关键是立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决． 5．（2024·广东茂名·八年级校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点之间线段最短，将图②展开，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：如图，正方体上表面的对角线为，将图②展开，连接交于点，线段的长度即为蚂蚁爬行的最短路程， 由题意可知：为等边三角形，为等腰直角三角形， ∵，∴，∴，∴， ∵正方体的棱长为，∴，， 在中，，在中，， ∴；故选A. 【点睛】本题考查勾股定理的应用．解题关键是将立体图像展开，根据两点之间线段最短，确定最短路径． 6．（2023·广东佛山·八年级校考阶段练习）如图，正方体的棱长为，是正方体的一个顶点，是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点爬到点的最短路径是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过点作于点，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，如图所示，过点作于点，正方体的棱长，    ∵立体几何是正方体，每个面都是正方形，对角线的交点为对角线的中点，根据正方形的性质可得为等腰直角三角形，且，∴是的垂直平分线，， ∴在中，，，∴， ∴从点爬到点的最短路径是，故选：． 【点睛】本题主要考查立体几何图形的展开图与勾股定理的运用，理解立体几何图形的展开图，掌握最短路径的计算方法，勾股定理等知识解题的关键． 7．（2023春·辽宁葫芦岛·八年级统考期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在处发现处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（　　）    A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图，∵，， ∴根据勾股定理可得：，∴，故选：A．    【点睛】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，根据题意判断出长方形的长和宽是解题的关键． 8．（2023春·广东珠海·八年级校考期中）如图，圆柱的底面周长为6，高为4，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（    ）      A． B．5 C． D．10 【答案】B 【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，∵圆柱的底面周长为6，高为4，∴， ∴，∴从点A爬到点B的最短路程是5，故选B．    【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，能把圆柱的侧面展开成平面图形，利用勾股定理进行求解是解题的关键． 9．（2023秋·湖北·八年级专题练习）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可． 【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图， 连接，则最短路径，故选A 【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键． 10．（23-24七年级上·山东淄博·期末）如图，四边形是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高，一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何体平面展开最短路线问题，勾股定理的应用；把中间墙在平面内展开，则原长方形的长增加，宽不变，连接，由勾股定理即可求得长，从而问题求解． 【详解】解：如图，将墙展开，长方形长度增加，则，连接， ∵四边形是长方形，∴，∴，   ， ∴蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，它至少要走．故选：A． 11．（2023春·山东德州·八年级校考期中）如图，一圆柱高，底面周长为，现需按如图方式缠绕一圈彩带进行装饰，则彩带最短要用 ．    【答案】 【分析】根据题意，画出圆柱的展开图，从而可以得到彩带最短需要多少米，本题得以解决． 【详解】解：将圆柱展开，如图所示， 彩带最短需要：，故答案为：10．    【点睛】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是明确两点之间线段最短，会画圆柱的展开图． 12．（23-24八年级上·山东枣庄·阶段练习）如图是一个底面为等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点到顶点镶有一圈金属丝，已知此三棱镜的高为，底面边长为，则这图金属丝的长度至少为 ．    【答案】17 【分析】画出三棱柱的侧面展开图，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，将三棱柱沿展开，其展开图如图： ∴，∴这图金属丝的长度至少为，故答案为：17．   ” 【点睛】本题考查的知识点是平面展开-最短路径问题，解题关键是先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径． 13．（2023春·山东济宁·八年级校考期中）春节期间，某广场用彩灯带装饰了所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为______米． 【答案】5 【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，则彩灯带长为2个长方形的对角线长， 圆柱高3米，底面周长2米，，， 每根柱子所用彩灯带的最短长度为．故答案为5． 【点睛】本题考查了平面展开最短路线问题，勾股定理的应用．圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 14．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一个长方形草坪上，放着一根长方体的木块．已知米，米，该木块的较长边与平行，横截面是边长为2米的正方形，一只蚂蚁从点爬过木块到达处需要走的最短路程是 米． 【答案】10 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题，两点之间线段最短．将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将木块展开，即为所求， 则（米），米， 最短路径为：（米）．故答案为：10． 15．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一个圆柱体高，底面半径，蚂蚁在圆柱表面从点A爬到点B处，要爬行的最短路程是 （取3）． 【答案】10 【分析】本题考查了平面展开−最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接，则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出和的长，根据勾股定理求出斜边即可． 【详解】解：如图所示： 沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接， 则的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程， ∵圆柱体高，底面半径，取3，∴，，， 由勾股定理得：．故答案为：10． 16．（23-24七年级上·山东烟台·期中）底面是等边三角形的三棱柱，底面边长为5，棱柱高为8，按如图方法缠绕一周的最短长度是 ．    【答案】17 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．根据“两点之间，线段最短”，可得即为缠绕一周的最短长度，再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：将三棱柱侧面展开，得到如图所示的长方形，根据两点之间，线段最短得， 即为缠绕一周的最短长度，由勾股定理得，，故答案为：17．    17．（23-24八年级上·广东·期末）如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4的半圆，其边缘，点E在上，，一滑行爱好者从点滑行到点，则他滑行的最短距离为 （π的值为3）．    【答案】20 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—最短路径问题．通过将U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理求最短路径是解题的关键．将半圆面展开，连接，则是最短路径，根据，计算求解即可． 【详解】解：将半圆面展开如图：连接，则是最短路径，    ∴，， 由勾股定理得，．∴滑行的最短距离约为，故答案为：20． 18．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】（1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中，，，， ∴，∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴，解得．答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 19．（23-24八年级下·山东聊城·期中）综合与实践 【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2，A和B是一个台阶两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图①，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到B点的最短路程是多少？（1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20，宽为15的长方形，连接，经过计算得到长度为______，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，则蚂蚁爬行的最短距离为______． 【拓展应用】（3）如图④，圆柱形玻璃杯的高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）17 cm；（3）B处到内壁A处所爬行的最短路程是10 cm 【详解】解：（1）由勾股定理，得：；故答案为：25； （2）将圆柱体展开，如图，由题意，得： ，，由勾股定理得：；故答案为：17 cm． （3）如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，    由题意得：，， ∵底面周长为，，， 由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为， 20．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）综合与实践 长方体中蕴藏着丰富的数学知识，善思小组开展长方体中数学知识的探究．如图①底面为正方形的长方体盒子，，，．该小组把长方体的两侧面，剪下来，沿着和剪开，得到四个全等的直角三角形，拼成如图②所示的“弦图”． 【探究一】（1）如图②，若每个直角三角形较小锐角为，小正方形的面积为16．求大正方形的面积； 【探究二】（2）根据图②的“弦图”证明勾股定理（写出推理过程）； 【探究三】（3）为了使长方体盒子更加美观，现准备在长方体外表面从点A到点G粘贴一条彩色条（宽度忽略不计），设所用彩色条的长度为l，探究l的最小值（用含有a，b的式子表示），该小组探究如下：将长方体盒子侧面，展开成图③所示的平面图形，连接，在中，，即l的最小值为．上述探究结果是否正确？若不正确，画图并求出l的最小值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不正确； 【详解】解：（1）∵小正方形的面积为16，∴， ∵每个直角三角形较小锐角为，∴，∴根据勾股定理得：， ∴大正方形的边长为，∴大正方形的面积为：． （2）∵小正方形的边长为c，∴小正方形的面积为， ∵大正方形的边长为，∴大正方形的面积为：， ∵四个全等的直角三角形的面积为：；∴小正方形的面积可以表示为： ，∴； （3）不正确；理由如下：将长方体盒子侧面，展开成平面图形，如图所示： 连接，在中，， ∵， ∵，∴，∴，即l的最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$