专题02 勾股定理中的翻折模型-2024-2025学年八年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（人教版）

专题02 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 14 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 16 模型7.三角形中的其他翻折模型 19 22 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型: 如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则的长为 ．    例2．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 . 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 例2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 例3．（23-24八年级上·山东·期末）如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点，则线段的长为 ． 例4．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：；(2)求的长． 例5．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 例6．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（23-24八年级上·广东·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 例2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ． 例3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是 ． 例4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 例5．（2024·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 例3．（2023·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在中，，，，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则：(1) °；(2)的长为 ． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 例2．（23-24八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 例3．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 例4．（23-24八年级下·重庆丰都·期中）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则的长为 ． 1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　） A． B． C． D． 2．（2023春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，中，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 5．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ）    A．1 B． C． D． 6．（2024·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为 A．3 B． C．3或 D．3或 7．（23-24·四川初二期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 9．（2023·海南海口·八年级校考期中）如图，将矩形纸片沿对折，使得点与点重合，若，，则线段______． 10．（2023春·江苏八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 11．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为 ．    12．（2023春·广西·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________． 13．（2023·浙江·八年级期中）如图，在矩形纸片中，点为边上的中点，点G沿运动（不含端点），将矩形纸片沿直线翻折，使得点B落在边上，则折痕长度为 ． 14．（2025·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____． 15．（2023春·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合．若，，则的长为 ．      16．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是 ． 17．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 18．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，的面积为 ．      19．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为 ．      20．（2023·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．以下四个结论①；②；③；④．正确的是 ． 21．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，为边上的点，．若沿折叠，点恰好落在边上的点处，求阴影部分的面积． 22．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合．若长方形的长为8，宽为4，求：(1)的长；(2)求阴影部分三角形的面积．      23．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 勾股定理在有关图形折叠中长度计算的问题中的通法：在图形中找到一个直角三角形，然后设图形中某一未知数为x，将此三角形中的三边长用具体数或含x的代数式表示，再利用勾股定理列出方程，从而得出要求的线段的长度。 2 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 2 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 4 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 12 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 14 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 16 模型7.三角形中的其他翻折模型 19 22 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 矩形翻折之折痕过对角线模型: 如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠DAC。 ∴∠B’AC=∠DAC，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·北京海淀·期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线折叠，若，则的长为 ．    【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，等角对等边，由平行线的性质和折叠的性质证明，则，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一张长方形纸片沿对角线折叠， ∴，∴，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得 ∴，解得，∴ ． 例2．（2023秋·福建漳州·八年级校考阶段练习）如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F．（1）求证：△AFE≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 例3．（2023·贵州黔东南·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为.将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点，那么点的坐标为 . 【答案】（0，）． 【分析】先证明EA=EC（设为x）；根据勾股定理列出x2=12+（3-x）2，求得x=，即可解决问题． 【详解】由题意知：∠BAC=∠DAC，AB∥OC，∴∠ECA=∠BAC，∴∠ECA=∠DAC， ∴EA=EC（设为x）；由题意得：OA=1，OC=AB=3；由勾股定理得：x2=12+（3-x）2， 解得：x=，∴OE=3-=，∴E点的坐标为（0，）．故答案为（0，）． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 例1．（23-24八年级下·河南南阳·期末）如图所示，有一张长方形纸片，，．现折叠该纸片使得边与对角线重合，折痕为，点落在处，求 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题； 先利用勾股定理求出，然后根据折叠的性质得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理构建方程，即可求出． 【详解】解：∵，，，∴， 由折叠得：，，， ∴，， 在中，，∴，∴，故答案为：3． 例2．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形中，，，点为边上的一个动点，把沿折叠，若点的对应点刚好落在边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得：，，计算出，，设，则，由勾股定理可得，，求出的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：在长方形中，，， ，，，由折叠的性质可得：，， ，， 设，则，由勾股定理可得， ，解得：，，故答案为：． 例3．（23-24八年级上·山东·期末）如图，已知长方形纸片，点在边上，且，，将沿直线翻折，使点落在点，延长交于点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】由将沿直线翻折，使点落在点，可得，，，，设，则，根据勾股定理可得，即可解得答案． 【详解】解：∵将沿直线翻折，使点落在点， ∴，，， ∵四边形是矩形，∴，∴， ∴，∴，设，则， 在中，，∴， 解得，∴，故答案为：． 【点睛】本题考查了长方形中的翻折问题，勾股定理，解题的关键是掌握折叠的性质，得出． 例4．（23-24八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：；(2)求的长． 【答案】(1)见解析(2)． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，；（2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形，，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，， 在和中，，，，； （2）解：∵，，即，， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：，． 例5．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，设，在中，，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形，，，， 由翻折不变性可知：，，，，， 在中，，， 设，在中有：，， 设，在中，，， ，，故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 例6．（2023·江西抚州·八年级统考期中）如图，在矩形中，，，点在矩形的边上由点向点运动.沿直线翻折，形成如下四种情形，设，和矩形重叠部分（阴影）的面积为. （1）如图4，当点运动到与点重合时，求重叠部分的面积；（2）如图2，当点运动到何处时，翻折后，点恰好落在边上？这时重叠部分的面积等于多少？ 【答案】（1）；（2）当时，点恰好落在边上,这时. 【分析】（1）根据折叠或者轴对称的性质,找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; （2）同样根据轴对称的性质, 找到数量关系,运用方程思想设未知数,结合勾股定理解答; 【详解】解：（1）由题意可得,∴ 设,则在中, ∴重叠的面积 （2）由题意可得∴    在中∵∴∴ 在中解得： 此时 ∴当时，点恰好落在边上 这时. 【点睛】本题综合考查了多个知识点,包括折叠与轴对称、方程、勾股定理等,在结合图形及其变化,充分理解题意的前提下,熟练掌握运用各个知识点方可解答. 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 例1．（23-24八年级上·广东·阶段练习）如图，在长方形中，，，点为上的一个动点，将沿折叠得到，连接，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由折叠性质得到，，，进而得到三点共线，根据等面积法可求得的长，再利用勾股定理求得，即可求解． 【详解】解：∵沿折叠得到，∴，，， ∵是直角三角形，点E在线段上，即∴三点共线，     ∴，又，∴，∴， 在中，，∴，故选：A． 【点睛】本题考查折叠性质、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握折叠性质，会利用等面积法求出是解答的关键． 例2．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点和点重合，折痕为．若，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，先利用勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵把一张长方形纸片按如图方式折叠， ∴， ∴，∴，设，则：， 在中，，解得：，∴；故答案为：7． 例3．（23-24八年级下·广东广州·期末）如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边中点E处，点C落在点Q处，折痕为，则线段的长是 ． 【答案】/3厘米 【分析】根据是直角三角形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠可得，设，则，，E为边中点，， ，，解得，线段的长是，故答案为：． 【点睛】本题考查折叠问题；找到相应的直角三角形利用勾股定理求解是解决本题的关键． 例4．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，四边形是边长为的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解． 连接，，由于，则，在和中由勾股定理求得的值． 【详解】解：设，则：，连接，，    在中，，在中，， ∵折叠，，， 即，解得，即，故选：B． 例5．（2024·上海杨浦·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，点E在边上，点A、D关于直线的对称点分别是点M、N．如果直线恰好经过点C，那么的长是__________． 【答案】 【分析】先根据题意画出图形，然后利用三角形勾股定理即可得到答案． 【详解】解：如图， 连接 ，则有四边形 ，四边形相当于四边形沿 边对折得到． 已知，，则 ， ，在 中， ，则 ， 设 ，则 ， ，在 中， ， 即 ，解得 ，故答案为：． 【点睛】主要考查了三角形勾股定理的应用，三角形勾股定理是经常考查的一个知识点． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 例1．（2024·山东青岛·一模）如图，中，，，，点D为边上一点，将沿折叠后，点A的对应点恰好落在边上，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，∴， ∵折叠，∴，， ∵，∴， 即，解得，故选：B． 例2．（2023秋·重庆·八年级专题练习）如图，在中，，，，为的平分线，将沿向上翻折得到，使点在射线上，则的长为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵将沿向上翻折得到，使点在射线上，∴， 设，则，， 在中，，即， 解得：即的长为，故选：B． 例3．（2023·河南·八年级校联考期末）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点D在边AB上，连接CD，将△ADC沿直线CD翻折，点A恰好落在BC边上的点E处，若AC＝3，BE＝1，则DE的长是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，于， 将沿直线翻折，，，， ，，，，，， ，， ，， ，，，，故答案为：． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 例1．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设，则， 是翻折而成，， 在中，，即，解得．故选：C． 例2．（2023春·湖北·八年级专题练习）如图，在中，点D是边上的中点，连接，将沿着翻折，得到，与交于点F，连接．若，则点C到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接BE，延长CD交BE于G点，过C作CH⊥AB于H，如图所示 由折叠的性质，得：BD=ED，CB=CE ∴CG是线段BE的垂直平分线∴BG=BE ∵D点是AB的中点∴BD=AD，∴AD=ED∴∠DAE=∠DEA ∵BD=ED∴ ∠DEB=∠DBE ∵∠DAE+∠BEA+∠DBE=180° 即∠DAE+∠DEA+∠DEB+∠DBE=180°∴2∠DEA+2∠DEB=180°∴∠DEA+∠DEB=90°即∠AEB=90° 在Rt△AEB中，由勾股定理得： ∴ ∵ ∴∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的判定，利用面积相等求线段的长，关键是得出CG⊥BE，从而可求得△BCD的面积也即△ABC的面积． 例3．（2023春·安徽蚌埠·八年级校考期中）如图，在中，，，，点为斜边的中点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则：(1) °；(2)的长为 ． 【答案】(1)90(2) 【详解】（1）解：由翻折可知：，， ，即；故答案为：90； （2）解：，， 由翻折可知：，∴， 设，则，，解得，即． 【点睛】本题考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 例1．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 【答案】 【详解】解：在中，，，， 点是直角边的中点，，根据折叠的性质，得， ，设为，则：， 在中：，解得：，故答案为：． 例2．（23-24八年级下·福建南平·阶段练习）在中，，将沿直线折叠，使B落在的三等分点处，求的长． 【答案】的长度为或3 【详解】解：设，则， 沿直线折叠B落在处，， 点为的三等分点，，或， 当时，在中，，即，解得：； 当时，在中，，即，解得：， 综上所述，的长度为或3． 例3．（2022·重庆市七年级期中）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，将沿折叠，点C恰好落在边上的F点，若，，，则的长为______． 【答案】 【详解】解：∵将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB上的F处，∴OC＝OF，CF⊥DE， ∵，∴，∴， ∵∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，且∠CDE＋∠DCF＝90°，∠CDE＝∠B， ∴∠A＝∠ACF，∴，同理可求：，∴．故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是综合运用相关知识解题． 模型7.三角形中的其他翻折模型 例1．（23-24八年级上·江苏扬州·期中）如图，三角形纸片中，点D是边上一点，连接，把沿着直线翻折得到，交于点G，连接交于点F，若，，，的面积为，则的长是 ． 【答案】 【详解】解：∵，的面积为，∴∴ ∵沿着直线翻折得到，∴，， ∵，，∴ ∵，∴∴∴故答案为： 例2．（2023·重庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，点D在边上，将沿直线翻折后，点A落在点E处．如果，那么线段的长为 ． 【答案】 【详解】连接，如图 ∵沿直线翻折后点A落在点E处，∴，，， ∵，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴，在中，∵， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，，，∴， ∴，∴，∴． 例3．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，点为边上一点，点为的中点，连结，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，∵点为的中点，∴， 在中，∴，∴, 设，由折叠得，，，∴， 在中，由勾股定理得∴， 解得，，∴，故答案为： 例4．（23-24八年级下·重庆丰都·期中）如图，在中，，，，点为斜边上一点，连接，将沿翻折，使落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，使点与点重合，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：，，，， 由翻折可知：，，，， ，，即 设，则，，解得：，故答案为：． 1．（2022秋·广东深圳·八年级校考期中）如图，在矩形纸片中，，，点在上，将沿折叠，使点落在对角线上的点处，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理即可求出的长，设，则，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：，，，， 根据折叠可得：，， 设，则，，在中：，解得：，故选：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 2．（2023春·重庆南岸·八年级校联考期中）如图，四边形是一张矩形纸片，，若沿过点的折痕将角翻折，使点落在上的处，折痕交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质可得，，，由折叠的性质可得，，进而得到，根据含度角的直角三角形性质得，由平行线的性质得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形，，，， 根据折叠可得，，，，，， ，，．故选：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、矩形的性质，解题关键在于熟知折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 3．（24-25八年级上·浙江·期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠．熟练掌握勾股定理解直角三角形，折叠的性质，是解题关键． 由勾股定理求出值，根据折叠的性质可得出值，在中根据运用勾股定理可求出长． 【详解】解：∵，，， ∴，由折叠知，．∴， ∵，， ∴，解得：，的长为．故选：B． 4．（23-24八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，中，，将沿翻折，使点A与点B重合，则的长为（ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换，勾股定理等知识，首先求出，设，在中，利用勾股定理求出x，再在中求出即可． 【详解】解：在中，，∴， ∵，设， 在中，∵，∴，∴， 在中，．故选：B 5．（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图所示，有一块直角三角形纸片，，，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，利用翻折得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，，，∴， 由翻折得， ∴，故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 6．（2024·河南鹤壁·八年级期末）如图，中，，M，N分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点A的对应点D落在边的三等分点处，则线段的长为（       ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】D 【分析】根据题意，分和两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：，点A的对应点D落在边的三等分点处，设BN＝x， 则和，，在中，， 当时，，解得：， 当时，，解得：，故选D． 【点睛】本题考查了折叠与勾股定理，分类讨论是解题的关键． 7．（23-24·四川初二期末）如图，在长方形纸片中，，. 把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值. 【解析】∵四边形ABCD是长方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD, 由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD 又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD ∴EF=DF设AF=xcm，则DF=（8-x）cm 在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm， 故选择A. 【点睛】此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度. 8．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，将长方形沿折叠，点D恰好落在边的F点上，已知，，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，根据折叠的性质得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：根据折叠的性质，，长方形中， 设，则，在中，由勾股定理得：， 即，解得：，∴，故答案为：10． 9．（2023·海南海口·八年级校考期中）如图，将矩形纸片沿对折，使得点与点重合，若，，则线段______． 【答案】 【分析】由折叠的性质可知，设，则，在直角三角形中用勾股定理求解即可． 【详解】解：矩形纸片沿对折，使得点与点重合， ,为直角三角形，设，则， ，，解得，故答案为：． 【点睛】本题考查的是图形的折叠问题，折叠前后图形的形状和大小不变，以及熟练掌握勾股定理是解题的关键． 10．（2023春·江苏八年级课时练习）如图，矩形中，，，点为上一个动点，把沿折叠，当点的对应点落在的角平分线上时，的长为______． 【答案】或 【分析】连接，过作，交于点，于点，作交于点，先利用勾股定理求出，再分两种情况利用勾股定理求出． 【详解】解：如图，连接，过作，交于点，于点，作交于点 点的对应点落在的角平分线上，， 设，则，， 又折叠图形可得，，解得或，即或． 在中，设， 当时，，，， ，解得，即， 当时，，，， ，解得，即．故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的． 11．（2023秋·广东·九年级专题练习）如图，在矩形ABCD中，，E是上一个动点，F是上一点（点F不与点D重合）．连接，将沿翻折，使点A的对应点落在边上，连接，若，则的面积为 ．    【答案】3 【分析】过点E作于H，在中，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作于H．    由折叠的性质得， ∵四边形是矩形，∴，，设，则， 在中，则有，解得，∴， ∵，∴四边形是矩形，∴， ∵，，∴， ∴的面积为．故答案为：3． 【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 12．（2023春·广西·八年级期中）如图，在矩形ABCD中，，，把矩形折叠，使点D与点B重合，点C落在点E处，则折痕FG的长为________． 【答案】 【分析】连接BD，在Rt△ABD中，求得BD的长，在Rt△ABF中运用勾股定理求得BF的长，即可得到DF长，最后在Rt△DOF中求得FO的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接BD，交FG于O，则由轴对称的性质可知，FG垂直平分BD， 在Rt△ABD中，BD＝，∴DO＝， 由折叠可得，∠BFO＝∠DFO，由ADBC可得，∠DFO＝∠BGO， ∴∠BFO＝∠BGO，∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG， 设BF＝DF＝x，则AF＝18﹣x，在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，解得，即DF＝10， ∴Rt△DOF中，OF＝ ，∴FG＝2FO＝ ．故答案为：． 【点睛】本题是折叠问题，主要考查了折叠的性质，勾股定理以及矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据勾股定理列方程求解． 13．（2023·浙江·八年级期中）如图，在矩形纸片中，点为边上的中点，点G沿运动（不含端点），将矩形纸片沿直线翻折，使得点B落在边上，则折痕长度为 ． 【答案】或 【分析】过F作ME⊥AD于E，可得出四边形ABME为矩形，利用矩形的性质得到AE=BF，AB=EM，分两种情况考虑：（i）当G在AB上，B′落在AE上时，如图1所示，由折叠的性质得到B′M=BM，BG=B′G，在直角三角形EMB′中，利用勾股定理求出B′E的长，由AE-B′E求出AB′的长，设AG=x，由AB-AG表示出BG，即为B′G，在直角三角形AB′G中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出AG的长，进而求出BG的长，在直角三角形GBM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长；（ii）当G在AE上，B′落在ED上，如图2所示，同理求出B′E的长，设A′G=AG=y，由AE+B′E-AG表示出GB′，在直角三角形A′B′G中，利用勾股定理列出关于y的方程，求出方程的解得到y的值，求出AG的长，由AE-AG求出GE的长，在直角三角形GEM中，利用勾股定理即可求出折痕MG的长，综上，得到所有满足题意的折痕MG的长． 【详解】解：如图1所示，过作于，在上，落在上，可得四边形为矩形， ，， 又，为的中点，由折叠可得：， 在中，根据勾股定理得：， ，设，则有， 在中，根据勾股定理得：， 即，解得：， 在中，根据勾股定理得：； 如图2所示，过作于，在上，落在上，可得四边形为矩形， ，，又，为的中点， 由折叠可得：， 在中，根据勾股定理得：，， 设，则，， 在△中，根据勾股定理得：， 即，解得：，，， 在中，根据勾股定理得：， 综上，折痕或．故答案为：或． 【点睛】此题考查了翻折变换-折叠问题，涉及的知识有：矩形的判定与性质，勾股定理，利用了方程、转化及分类讨论的思想，是一道综合性较强的试题． 14．（2025·成都西川中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E是AB边上一点．将△CEB沿直线CE折叠到△CEF，使点B与点F重合．当CF⊥AB时，线段EB的长为_____． 【答案】2 【分析】设CF与AB交于点H，利用勾股定理求出AB，利用面积法求出CH，求出HF和BH，设BE=EF=x，在△EHF中利用勾股定理列出方程，解之即可． 【详解】解：设CF与AB交于点H，∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，∴AB==5， ∴S△ABC=，即，∴CH=，由折叠可知：CF=CB=4，∴HF=CF-CH=， 在△BCH中，BH=，设BE=EF=x，则EH=-x， 在△EHF中，，∴，解得：x=2，∴EB=2，故答案为：2． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，解题的关键是利用折叠的性质得到相等线段，利用勾股定理列出方程． 15．（2023春·吉林松原·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，将沿翻折，使点与点重合．若，，则的长为 ．      【答案】 【分析】根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，设，则，，根据勾股定理即可求解． 【详解】解 ：∵，，，∴， 设，则，，在中，， 即，解得：，即，故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点是线段上一点，连接，将沿直线翻折，点的对应点是，当点恰好落在的边上时，的长是 ． 【答案】1或 【分析】 本题考查勾股定理，翻折等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造直角三角形求解是解题的关键．分点在，讨论即可． 【详解】解：当点在上时， 此时，设， ∵，∴，解得，即； 当点在上时，过B作于H，过点D作于点G，做于点N， ∵，∴，解得，∴， ∵翻折，且点在上，∴，∴， ∵，∴，解得， 设，，∵，∴， 化简得，∴，解得，，即或（不合题意，舍去）． 综上，的值为1或． 17．（23-24九年级上·重庆石柱·期中）如图中，，点E和F是上的点，将边沿翻折，点A落在边上的点D处，将沿翻折，点B落在延长线上点处，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换 (折叠问题) 、等腰直角三角形、等面积法，解决本题的关键是根据翻折的性质可知为，利用等腰直角三角形的性质和三角形的面积求解. 【详解】， ， 根据两次翻折可知： ， ，，，∴， ，，，， 在中 ，， ，故答案为：． 18．（2024·广东汕头·一模）如图，在中，，，点在线段上，且，是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点恰好落在线段上时，的面积为 ．      【答案】 【分析】本题考查了图形的折叠变换，勾股定理，等面积法求高，正确添加辅助线是解题的关键． 过点作于，根据折叠的性质，结合对运用勾股定理求得，由，求出即可． 【详解】解：如图，过点作于，    将四边形沿直线翻折，得到四边形， ，，，， ，， ∴，∴，故答案为：． 19．（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图（1），在等腰直角三角形纸片中，，，点D，E分别为上的动点，将纸片沿翻折，点B的对应点恰好落在边上，如图（2），再将纸片沿翻折，点C的对应点为，如图（3）.当，的重合部分（即阴影部分）为直角三角形时，的长为 ．      【答案】1或 【分析】分两种情况：当时，此时可得E是的中点，得；当时，此时D、A重合，是的平分线，由勾股定理易得结果． 【详解】解：∵，，∴； ①如图，当时，由折叠性质得：，， ∴； ∵，， ∴，∴，∴， 此时B、重合，则，即点E是的中点，∴；    ②如图，当时，所在直线重合， ∴，∴，此时D、A重合，在边上， ∴是的平分线，∴， 由勾股定理，∴． 在中，，由勾股定理得：；故答案为：1或．    【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质定理等知识，熟练掌握这些知识是关键，注意分类讨论． 20．（2023·浙江宁波·八年级校联考期末）如图，在中，，，将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于E，F．以下四个结论①；②；③；④．正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，可得，，即得，可判断①正确，由，，得，，即知是等边三角形，，设，则，，而，有，即得，可判断②错误，又可判断③正确，根据，，得，可判断④正确． 【详解】解：∵将边沿着翻折，使点B落在上的点D处，再将边沿着翻折，使得C落在延长线上的点处，∴，， ∴，故①正确， ∵，，∴，， ∴是等边三角形，，设，则，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，而，∴，故②错误， ∵，，∴，故③正确， ∵，，∴， ∴，∴，故④正确， ∴正确的有①③④，故答案为：①③④． 【点睛】本题考查图形的折叠，勾股定理，熟练掌握折叠的性质，熟练应用含30°角的直角三角形三边的关系是解题的关键． 21．（23-24七年级上·山东烟台·期末）如图，在长方形中，为边上的点，．若沿折叠，点恰好落在边上的点处，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为 【分析】本题考查了折叠的性质及勾股定理的应用，先求出，根据勾股定理得出，进而求出长，即可求出面积． 【详解】解：由折叠可知，和关于直线成轴对称，所以，． 因为，所以． 在中，由勾股定理，得．设，则， 在中，由勾股定理，得，即．解得． 所以阴影部分的面积为：． 22．（23-24八年级上·广东深圳·期末）如图，把一张长方形纸片折叠起来，使其对角顶点A与C重合，D与G重合．若长方形的长为8，宽为4，求：      (1)的长；(2)求阴影部分三角形的面积． 【答案】(1)(2) 【分析】此题主要考查了折叠的性质、勾股定理的应用： （1）设，则，，在中，利用勾股定理即可求解； （2）根据折叠的性质和，可得，，，然后过G点作于H，则，可得，即可求解. 【详解】（1）解：设，则，， 在中，，∴，解得：，∴； （2）解：∵，∴，∴，， 过G点作于H，则， ，∴，∴.      23．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1)(2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，，∴， 将沿折叠，得，连接∴，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵，∴，， 又，，， ，， 又，，，， ，， 在 中，，即． 3 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $$