6.3 二项式定理（8大题型）（分层作业）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

第六章 计数原理 6、3 二项式定理（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：二项式定理的正用、逆用 2 题型二：二项展开式的通项的应用 3 题型三：求两个多项式积的特定项 4 题型四：余数和整除的问题 5 题型五：近似计算 7 题型六：二项展开式的系数和问题 8 题型七：二项式系数性质的应用 10 题型八：三项式及多项式展开问题 11 拓展培优练 13 题型一：二项式定理的正用、逆用 1．（2024·高二·上海·课时练习）求的二项展开式． 【解析】由二项式定理，得 ， 所以的二项展开式是． 2．（2024·高二·全国·课时练习）（1）求的展开式； （2）化简． 【解析】（1） . （2）原式 . 3．（2024·高二·全国·课时练习）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 【解析】（1） . （2） . 题型二：二项展开式的通项的应用 4．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 【答案】A 【解析】二项式的展开式的通项为， 由，得，所以所求常数项为. 故选：A 5．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 当，解得， 所以的系数为， 故选：A. 6．已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为的展开式共有项， 所以， 二项式的展开式的通项公式为，， 所以展开式中含的项为， 故这个展开式中含的项的系数为． 故选：C. 7．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．28 【答案】B 【解析】因为展开式通项为， 令，则. 所以的系数为. 故选：B. 题型三：求两个多项式积的特定项 8．在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 【答案】C 【解析】依题意，展开式中含的项是，含的项是， 因此的展开式中，含的项为， 所以所求系数为. 故选：C 9．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】的展开式的通项， 所以的展开式中含的系数为， 令，即，解得． 故选：D 10．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】展开式的通项为，， 又， 分别令、，分别解得和， 所以的展开式含项的系数为. 故选：C. 11．在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】C 【解析】依题意，， 因此展开式中，含的项为， 所以系数为15. 故选：C 题型四：余数和整除的问题 12．被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】因为， 且984可以被6整除，所以余数为1. 故选：A. 13．被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 【答案】C 【解析】由 ， 所以被8除所得的余数是7. 故选：C. 14．已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】A 【解析】∵ ∴， ∵，，， ∴ 故选：A 15．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 【答案】C 【解析】因为， 所以 ， 所以若既能被7整除，则，故 又， 所以 ， 所以若既能被9整除，则，故， 对于A，若，则由可知无解，故A错误； 对于B，若，则由可知无解，故B错误； 对于C，若，则由和得，故C正确； 对于D，若，则由可知无解，故D错误. 故选：C. 题型五：近似计算 16．的计算结果精确到0.001的近似值是 . 【答案】 【解析】由 . 故答案为：. 17．实数精确到的近似值为 . 【答案】 【解析】因为 ， 将精确到，故近似值为. 故答案为：. 18．用二项式定理估算 .（精确到0.001） 【答案】1.105 【解析】 . 故答案为：1.105 19．将精确到0.01的近似值是 ． 【答案】0.96 【解析】因为， 且将精确到0.01，故近似值为0.96 故答案为：0.96 题型六：二项展开式的系数和问题 20．（多选题）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 21．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】令，得，故选项A正确； 令，得①，故选项B错误； 令，得②， 由①②得，故选项C正确； 令，得， 则， 得，故选项D正确. 故选：ACD. 22．（多选题）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于A：令，则，故A错误； 对于B：令，则，故B正确； 对于C：令，则，故C正确； 对于D，由， 两边同时求导得， 令，则，故D错误. 故选：BC. 23．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由已知可得皆为负值，皆为正值， 令，则，令，则①， 即，A正确； 由①知：，B错误； 对两端求导， 可得， 令，则，C正确； 在中， 令，则，D错误． 故选：AC. 题型七：二项式系数性质的应用 24．在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 【答案】 【解析】因为的展开式的通项为， 所以第4项的系数即是第4项的二项式系数， 因为只有第4项的二项式系数最大，所以. 故答案为：6 25．在的展开式中系数最大的项是第 项． 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 则展开式的系数为，故为偶数时系数为正数， 由组合数，可知当，即时，取到最大值，也符合为偶数， 故展开式中系数最大的项是第项. 故答案为：. 26．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 【答案】 【解析】由题意可知：，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式中项的系数为. 故答案为：. 27．的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 【答案】 【解析】展开式中二项式系数只有第4项最大，则， ， 由得， 所以常数项为. 故答案为： 题型八：三项式及多项式展开问题 28．的展开式中项的系数为 ． 【答案】 【解析】由题意知的通项为 ， 化简得， 令，得， 即， 所以的系数为. 故答案为： 29．的展开式中的常数项为 ． 【答案】 【解析】的展开式为． 令解得 所以其常数项为． 故答案为： 30．展开式中含的项的系数是 ． 【答案】 【解析】其展开式为， 根据题意可得：. 当时，则，展开式为. ,，则含的项的系数为. 当时，则， 展开式为，， 则含的项的系数为. 当时, 则, 展开式为， ，则含的项的系数为. 综上所述:：含的项的系数为. 故答案为： 31．展开式中的系数为 . 【答案】140 【解析】由题意可知：只能为1项、3项和3项相乘而得， 所以的系数为. 故答案为：140. 1．二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B．10 C． D．20 【答案】C 【解析】的展开式的通项为：， 令，解得，此时，所以常数项为. 故选：C. 2．已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 【答案】D 【解析】因为的展开式的通项公式为，（）， 所以，即， 解得，故A正确； 所以（）， 当，即时为常数项, 故B正确； 所以展开式的各二项式系数的和为，故C正确； 所以展开式的各项系数的和为，故D错误. 故选：D. 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，得，故A不正确； 令，得，所以，故B不正确； 令，得， 所以，故C正确； 令，得，所以D不正确. 故选：C 4．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解析】二项式展开式的通项为，即，其中． 当为有理项时，必为偶数． 当时，，． 其中，当的值分别为时，为有理项，共有3项． 故的最小值为4． 故选：B． 5．（多选题）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若为奇数，则 【答案】ACD 【解析】对于A，组合数的性质为，在中，令， 那么，所以，故A正确； 对于B，组合数的递推公式为，令， 则，移项可得，故B错误； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，根据二项式定理， 当时，， 当，为奇数时，， 两式相加得， 则，故D正确； 故选：ACD. 6．（多选题）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为， 又，所以被除得余数为， 又，且和被除得余数为， 故选：BD. 7．（多选题）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 【答案】BCD 【解析】A项，在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大， 是展开式的中间两项的二项式系数， 则为奇数，且与最大， 所以，解得，A项错误； B项，在中，令，得，故展开式的各项系数和为243，B项正确； C项，在的展开式中的二项式系数和为，其中奇数项和偶数项的二项式系数和相等，所以展开式中奇数项的二项式系数和为16，C项正确； D项，的展开式的通项公式为，且为整数， 令，解得，不满足要求，所以展开式中不含常数项，D项正确. 故选：BCD. 8．（多选题）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 【答案】AD 【解析】因为二项式系数之和为64，即有，所以， 则的通项， 对于A，二项式系数最大的是，它是第4项的二项式系数，正确； 对于B，令，得，得常数项为，错误； 对于C，令，得该展开式的各项系数之和为，错误； 对于D，由通项公式可得为偶数时，系数才有可能取到最大值， 由， 可知展开式中系数最大的项是第3项，正确. 故选：AD 9．在展开式中，的系数为 . 【答案】80 【解析】， 二项式的展开式的第项为， 令，则，令，则， 则展开式中，的系数为. 故答案为：80. 10．的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 【答案】12和13 【解析】的二项展开式的通项公式为，系数为， 由得，， ∴系数最大的项是第12和13项. 故答案为：12和13. 11．的展开式中的系数为 . 【答案】 【解析】可看作5个相同的因式相乘， 个含有的括号中， 1个括号取个括号取个括号取个括号取1， 乘在一起构成这一项，或者3个括号取个括号取， 乘在一起构成这一项， 所以的系数为. 故答案为：. 12．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则 ． 【答案】 【解析】， 的二项展开式的奇数项二项式系数和为64， ，解得． 则． 故答案为：． 13．若的展开式中各项系数的和为，则 ，该展开式中的常数项为 ． 【答案】 【解析】令，则展开式各项系数和为，解得：； 展开式通项为， 令，解得：，此时常数项为； 令，解得：，此时常数项为； 展开式的常数项为. 故答案为：；. 14．展开式中项的系数为 用数字作答 【答案】 【解析】的展开式的通项为， 令，0得的系数为 故答案为： 15．若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 【答案】 【解析】已知的展开式中二项式系数和为32，则，即. 二项式展开式的通项公式为. 对于，则其通项公式为. 化简得. 因为，所以最高次项为时的项. 当时，该项的系数为. 所以最高次项的系数为. 故答案为：. 16．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 【解析】（1）二项式的通项 ． 第3项的二项式系数为，第3项的系数为； （2）奇数项的二项式系数和； （3）设系数绝对值最大的项为第项， 当时， 由，解得， 又，所以，此时； 当时，； 当时，； 综上可知，系数绝对值最大的项为． 17．（1）计算； （2）已知. ①求； ②求. 【解析】（1）由 . （2）①在中，取得， 取得……①， 所以. ②取得……②， ①+②得， 所以. 2 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 计数原理 6、3 二项式定理（8大题型） 分层作业 目录 基础过关练 2 题型一：二项式定理的正用、逆用 2 题型二：二项展开式的通项的应用 2 题型三：求两个多项式积的特定项 3 题型四：余数和整除的问题 3 题型五：近似计算 3 题型六：二项展开式的系数和问题 4 题型七：二项式系数性质的应用 4 题型八：三项式及多项式展开问题 4 拓展培优练 5 题型一：二项式定理的正用、逆用 1．（2024·高二·上海·课时练习）求的二项展开式． 2．（2024·高二·全国·课时练习）（1）求的展开式； （2）化简． 3．（2024·高二·全国·课时练习）用二项式定理展开下列各式： (1)； (2)． 题型二：二项展开式的通项的应用 4．在的展开式中，常数项为（    ） A．60 B．15 C． D． 5．的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 6．已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为（   ） A． B． C． D． 7．在的展开式中，的系数为（    ） A． B．21 C． D．28 题型三：求两个多项式积的特定项 8．在的展开式中，含项的系数为（   ） A． B．160 C． D．100 9．若的展开式中含的系数为15，则实数（    ） A．2 B．1 C． D． 10．的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 11．在展开式中，系数为（   ） A．5 B．10 C．15 D．20 题型四：余数和整除的问题 12．被6除的余数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．被8整除的余数为（ ） A．4 B．6 C．7 D．5 14．已知，若，，则（   ） A．1 B．6 C．7 D．12 15．若既能被9整除又能被7整除，则正整数a的最小值为（    ） A．6 B．10 C．55 D．63 题型五：近似计算 16．的计算结果精确到0.001的近似值是 . 17．实数精确到的近似值为 . 18．用二项式定理估算 .（精确到0.001） 19．将精确到0.01的近似值是 ． 题型六：二项展开式的系数和问题 20．（多选题）若，，则（    ） A． B． C． D． 21．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 22．（多选题）若，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 23．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型七：二项式系数性质的应用 24．在的展开式中，只有第4项的系数最大，则等于 ． 25．在的展开式中系数最大的项是第 项． 26．已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中项的系数为 .（用数字作答） 27．的展开式中，各项的二项式系数只有第4项最大，则常数项为 . 题型八：三项式及多项式展开问题 28．的展开式中项的系数为 ． 29．的展开式中的常数项为 ． 30．展开式中含的项的系数是 ． 31．展开式中的系数为 . 1．二项式的展开式中的常数项为（    ） A． B．10 C． D．20 2．已知的展开式的第2项系数为，则下列结论中错误的是（   ） A． B．展开式的常数项为第5项 C．展开式的各二项式系数的和为256 D．展开式的各项系数的和为 3．已知，则（    ） A． B． C． D． 4．已知展开式中的有理项不少于3项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（多选题）已知，且，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．若为奇数，则 6．（多选题）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和对模同余，记为，如9和21除以6所得的余数都是3，则记为921（mod 6），若，，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 7．（多选题）已知在的二项展开式中第3项和第4项的二项式系数最大，则（    ） A． B．展开式的各项系数和为243 C．展开式中奇数项的二项式系数和为16 D．展开式中不含常数项 8．（多选题）在的展开式中二项式系数之和是64，则下列说法正确的是（    ） A．二项式系数最大的项是第4项 B．展开式没有常数项 C．各项系数之和为 D．系数最大的项是第3项 9．在展开式中，的系数为 . 10．的二项展开式中，系数最大的项是第 项． 11．的展开式中的系数为 . 12．已知的二项展开式的奇数项二项式系数和为64，若，则 ． 13．若的展开式中各项系数的和为，则 ，该展开式中的常数项为 ． 14．展开式中项的系数为 用数字作答 15．若的展开式中二项式系数和为32，则展开式中最高次项的系数为 ． 16．在的展开式中，求： (1)第3项的二项式系数及系数； (2)奇数项的二项式系数和； (3)求系数绝对值最大的项． 17．（1）计算； （2）已知. ①求； ②求. 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$