第六章 计数原理（单元测试）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）

· 第六章 计数原理单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 2．国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 3．现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 5．4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 6．的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 7．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 8．在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10．若，，则（    ） A． B． C． D． 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答） 13．已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 14．在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 16．（15分） 已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 17．（15分） 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 18．（17分） 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 19．（17分） 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. · · · · · 1 / 4 限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 第六章 计数原理单元测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在的展开式中，常数项为（   ） A．12 B．6 C． D． 【答案】A 【解析】展开式的通项公式为， 令得，故常数项为， 故选：A. 2．国庆期间，中华世纪坛举办“传奇之旅：马可•波罗与丝绸之路上的世界”展览，现有8个同学站成一排进行游览参观，若将甲、乙、丙3个同学新加入排列，且甲、乙、丙互不相邻，保持原来8个同学顺序不变，则不同的方法种数为（   ） A．84 B．120 C．504 D．720 【答案】C 【解析】8个同学站成一排有9个空，甲、乙、丙在9个空中任意排列，则不同的方法种数为. 故选：C. 3．现需将编号分别为1，2，3，4，5的五人每人安排一天值班，则编号恰好奇偶相间的排班方法数共有（   ） A．8 B．12 C．24 D．36 【答案】B 【解析】先将3个奇数编号排好，有种方法， 然后将2，4插入到排好的奇数的中间可得， 故共有种． 故选：B． 4．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则n为（    ） A．8 B．7 C．6 D．9 【答案】C 【解析】因为二项式的展开式中仅有第项的二项式系数最大， 则二项式的展开式共项，即，解得. 故选：C. 5．4本不同的书分给3人，每人至少1本，共有（    ）种不同的分法. A．36 B．24 C．18 D．72 【答案】A 【解析】由题意有1人分得2本书，方法数为， 故选：A． 6．的二项展开式中系数最大的项是（    ）. A．第n项 B．第n＋1项 C．第n＋1项和第n－1项 D．无法确定 【答案】B 【解析】的二项展开式中共有项， 中间第n＋1项为系数最大项. 故选：B 7．已知的展开式中第9项是常数项，则展开式中系数的绝对值最大的项是（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】C 【解析】由题意，二项式展开式的通项公式为： 因为展开式中第9项是常数项，故，解得， 故第项的系数绝对值为. 设展开式中第项的系数绝对值最大，则有 由①可得：，即，解得； 由②可得：，即，解得. 即，又因为，故，即第8项的系数绝对值最大. 故选：C. 8．在以“旅行丝绸路，研学在甘肃”为主题的甘肃研学旅行大会活动中，某学校有10名志愿者参加接待工作.若每天排早、中、晚三班，每班3人，每人每天最多值一班，则第一天不同的排班种数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先从10人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的7人中选出3人上中班，共有种， 再从剩下的4人中选出3人上晚班，共有种， 共有种. 也可以先从10人中选出9人，共有种， 再从9人中选出3人上早班，共有种， 从剩下的6人中选出3人上中班，共有种， 其余3人上晚班，则共有种排法. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．满足不等式的n的值可为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】AB 【解析】因为，所以， 即，解得， 又，，所以n的值为3，4． 故选：AB. 10．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，， 令，可得，故A正确； 对于B，，可得，故B错误； 对于C，令，可得，故C正确； 对于D，上述两式相加， 故，故D错误， 故选：AC. 11．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（    ） A． B．第2023行的第1012个和第1013个数最大 C．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 D．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字 【答案】BD 【解析】选项A，因为， 易知 ，故A错误； 选项B，易知第2023行的第1012个和第1013个数分别是，， 由排列数的性质可知，两个同为最大，故B正确； 选项C，由题易知，， 易知，故C错误； 选项D，由题易知，第行所有数字的平方和为， 第行的中间一项的数字为， 构造等式， 在等式左边的系数为， 等式右边的系数为， 故，故D正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．的展开式中的系数为 （用数字作答） 【答案】 【解析】的展开式的通项式 当时，, 当时，, 的展开式中含的系数为. 故答案为：. 13．已知某圆上的10个不同的点，过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形. 【答案】 【解析】不共线的三点确定一个圆 从10个点任选3个点取法有， 故一共可画个圆内接三角形 故答案为： 14．在杭州亚运会比赛中，6名志愿者被安排到安检、引导运动员入场、赛场记录这三项工作，若每项工作至少安排1人，每人必须参加且只能参加一项工作，则合适的安排方案共有 种.（用数字作答） 【答案】540 【解析】6名志愿者被安排三项工作，每项工作至少安排1人， 则分组方式为或或； 第一步先分组，分组方式共有种； 第二步再分配，三个组三个任务，由排列的定义可知为全排列种分配方案； 第三步根据分步乘法原理总计种安排方案. 故答案为：540. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 计算下列各式． (1)； (2)； (3)解方程：. 【解析】（1）； （2）； （3）因为，由可得或， 解得或. 16．（15分） 已知的展开式中共有9项. (1)求的值； (2)求展开式中的系数； (3)求二项式系数最大的项. 【解析】（1）由题意得，解得. （2）由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. （3）根据题意可得二项式系数最大的项为. 17．（15分） 寒假有来自不同大学的3名男生和2名女生来母校开展大学宣讲活动． (1)若要将这5名同学分配到三个班进行宣讲，每班至少一名同学，有多少种不同的分配方案？ (2)宣讲完毕，这五位同学和原高中班主任合影留念，要求班主任站在甲乙同学中间，有多少种不同的排法？ (3)若这五位同学中甲、乙、丙三位同学身高互不相等，则这五位同学和班主任合影留念时甲、乙、丙三人按高低从左到右有多少种不同的排法？ (4)随后这五位同学合影留念时，同学甲不站在最左端，同学乙不站在最右端，有多少种不同的排法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【解析】（1）将5名同学分为3，1，1或2，2，1三组，然后分配到三个班， 所以分配方案有种． （2）先甲乙同学之间排列，再把班主任和甲乙同学看作一个整体，与其他3名同学排列， 则不同的排法种． （3）先将6人全排列有种，考虑到甲、乙、丙三人排列有种， 所以甲、乙、丙三人按高低从左到右排列时，不同的排法有种． （4）先将五位同学全排列，去掉同学甲站在最左端的情形，再去掉同学乙站在最右端的情形，再加上重复去掉的同学甲站在最左端且同学乙站在最右端的情形， 所以不同的排法种数有． 18．（17分） 近年来，社交推理游戏越来越受到大众的喜爱，它们不仅提供了娱乐和休闲的功能，还可以锻炼玩家的逻辑推理、沟通技巧和团队合作精神，增强社交能力和人际交往能力.某校“社交推理游戏社团”在一次活动中组织了“搜索魔法师”游戏，由1名“侦探”、6名“麻瓜”、4名“魔法师”参与游戏.游戏开始前，“侦探”是公认的，每个“麻瓜”和“魔法师”均清楚自己的角色且不知道其他人的身份.游戏过程中，由“侦探”对“麻瓜”和“魔法师”逐个当众询问并正确应答，直至找出所有的“魔法师”为止. (1)若恰在第5次搜索才测试到第1个“魔法师”，第10次才找到最后一个“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (2)若恰在第5次搜索后就找出了所有“魔法师”，则这样的不同搜索方法数是多少？ (3)游戏开始，有甲、乙、丙三位同学都想争取“侦探”的角色，主持人决定采用“击鼓传花”的方式来最终确认人员.三人围成一圈，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两个人中任何一人.试问，5次传花后花在甲手上的可能线路有多少种？ 【解析】（1）先排前4次搜索，只能取“麻瓜”，有种不同的搜索方法， 再从4个“魔法师”中选2个排在第5次和第10次的位置上搜索，有种搜索方法， 再排余下4个的搜索位置，有种搜索方法. 所以共有种不同的搜索方法. （2）第5次搜索恰为最后一个“魔法师”， 则另3个在前4次搜索中出现，从而前4次有一个“麻瓜”出现， 所以共有种不同的搜索方法. （3）由于甲是第1次传花的人，因此第2次传花时，甲不能再次拿到花. 这意味着在第2次传花时，花必须传给乙或丙. 同样，第3次传花时，花不能回到前一次传花的人手中. 因此，传花的路线不能有连续两次传给同一个人的情况. 设为经过次传花后花在甲手上的线路数，其中. 则为经过次传花后花在甲手上的线路数，即经过次传花后花不在甲手上的线路数， 所以为经过次传花的总线路，每一次传花均有两种方向（顺时针或逆时针）， 则，. 所以，，，， 综上，5次传花后花在甲手上的可能线路有10种. 19．（17分） 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究. (1)计算：，，并与，比较，你有什么发现?写出一般性结论并证明； (2)证明：； (3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：. 【解析】（1），， 规律：，证明如下： 的展开式中，的系数为， 同时，的展开式中的系数为， 所以. （2）证明：的展开式中的系数为， 又，的展开式中的系数为 ， 所以. （3）证明：由（1）可知， 由（2）可知， 两式相减可得， 即. · 1 / 9 限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$