组合导学案-2025届高三中职数学一轮复习

组合 【学习目标】 理解组合的有关概念；理解排列问题与组合问题的区别；了解组合数公式的推导过程和组合数的性质． 【知识梳理】 知识点一　组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个__组合__． 知识点二　组合数、组合数公式 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____表示． 从n个不同元素中任取m个元素的组合数公式为C＝＝＝，其中m，n∈N*，且m≤n. [注]　C＝C＝1. 知识点三　组合数的性质 (1) __________；(2) _ 【自我诊断】 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.(　×　) (2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　√　) (3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，称为“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　×　) (4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　×　) 2．若C＝28，则n＝(　B　) A．9　　 B．8　　C．7　　 D．6 3．计算C＝__10______． 4．现有10名党员，从中任选3名参加党员活动，则不同选法的种数为____120____． 考点一　简单的组合问题的计算 [典例1]　学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选3名． (1)共有多少种选法？ (2)若甲同学必须去，有多少种选法？ (3)若甲、乙两人只能且必须去一人，有多少种选法？ [解]　(1)所有不同选法是从8人中选3人的组合数，共有C＝＝56种选法． (2)若甲同学必须去，再从其他7人中选2人即可，共有C＝＝21种选法． (3)甲、乙有1人去选法为C，其他2人从其余6人中选有C种，共有选法C·C＝30(种). 【解题技法】 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． [提醒]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 1．100件产品中有合格品95件，次品5件，现从中抽取4件检查． (1)都是合格品的取法有多少种？ (2)都是次品的取法有多少种？ (3)1件次品，3件合格品的取法有多少种？ 考点二　组合数的性质 [典例2]　(1)已知C＝C，则m等于(　C　) A．1　 　　 B．4 C．1或3 D．3或4 (2)若C－C＝C，则n等于(　C　) A．12 B．13 C．14 D．15 【解题技法】 　 对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题． 组合数公式　C＝＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到． 组合数公式　C＝的主要作用有： (1)计算m，n较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明． 特别地，当m>时，计算C用性质C＝C转化，减少计算量． [变式训练] 2．若C＝C，则x＝____4____． 3．计算：C＋C. 考点三　“含有与不含有”“至少与至多”问题 [典例3]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的选法？ (1)只有1名女生； (2)2名队长当选； (3)至少有1名队长当选； (4)至多有2名女生当选． [解]　(1)1名女生，4名男生，共有CC＝350种不同的选法． (2)将2名队长作为一类，其他11人作为一类，共有CC＝165种不同的选法． (3)至少有1名队长含有两类：有1名队长和2名队长，故共有CC＋CC＝825种不同的选法．(或采用间接法：C－C＝825) (4)至多有2名女生含有3类：有2名女生、只有1名女生和没有女生．故共有CC＋CC＋C＝966种不同的选法． [变式训练] 4．现有10件不同的产品，其中有7件正品，3件次品，从中抽出3件检查． (1)恰有1件次品的抽法有多少种？ (2)全是正品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ [解]　(1)抽取3件恰有1件次品，则有2件正品，抽法种数为CC＝63. (2)抽取3件全是正品，抽法种数为C＝35. (3)直接法：抽取3件至少有1件次品包含1件，2件，3件三种情况，故抽法种数为CC＋CC＋C＝85. 间接法：从10件产品中选3件，去掉全是正品的，抽法种数为C－C＝85. [当堂检测] 1．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，和为偶数的取法有(　B　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．某值日小组有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余两名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法有(　A　) A．10种　 B．20种　 C．60种　 D．100种 3．平面内有12个点，其中任意3点都不在同一条直线上，以任意3点为顶点画三角形，则可画出的三角形的个数是(　C　) A．36 B．219 C．220 D．1 320 4．化简：C－C＋C＝__0______． 【课堂小结】 你本节课的收获 组合问题的两类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 组合 【学习目标】 理解组合的有关概念；理解排列问题与组合问题的区别；了解组合数公式的推导过程和组合数的性质． 【知识梳理】 知识点一　组合 一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个____． 知识点二　组合数、组合数公式 一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____表示． 从n个不同元素中任取m个元素的组合数公式为C＝＝＝，其中m，n∈N*，且m≤n. [注]　C＝C＝1. 知识点三　组合数的性质 (1) _____________；(2) ____________________． 【自我诊断】 1．判断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合是C.(　　) (2)从a，b，c，d中选取2个合成一组，其中a，b与b，a是同一个组合．(　　) (3)“从3个不同元素中取出2个合成一组”，称为“从3个不同元素中取出2个的组合数”．(　　) (4)组合和排列一样，都与“顺序”有关．(　　) 2．若C＝28，则n＝(　　) A．9　　 B．8　　C．7　　 D．6 3．计算C＝________． 4．现有10名党员，从中任选3名参加党员活动，则不同选法的种数为________． 考点一　简单的组合问题的计算 [典例1]　学校组织一项活动，要从5名男同学，3名女同学中选3名． (1)共有多少种选法？ (2)若甲同学必须去，有多少种选法？ (3)若甲、乙两人只能且必须去一人，有多少种选法？ 【解题技法】 解简单的组合应用题的策略 (1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用． [提醒]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏． [变式训练] 1．100件产品中有合格品95件，次品5件，现从中抽取4件检查． (1)都是合格品的取法有多少种？ (2)都是次品的取法有多少种？ (3)1件次品，3件合格品的取法有多少种？ 考点二　组合数的性质 [典例2]　(1)已知C＝C，则m等于(　　) A．1　 　　 B．4 C．1或3 D．3或4 (2)若C－C＝C，则n等于(　　) A．12 B．13 C．14 D．15 【解题技法】 　 对于含有组合数的方程或不等式的问题，只需根据组合数公式的连乘形式或阶乘形式，把问题转化为不含组合数的方程或不等式问题． 组合数公式　C＝＝体现了组合数与相应排列数的关系，一般在计算具体的组合数时会用到． 组合数公式　C＝的主要作用有： (1)计算m，n较大时的组合数； (2)对含有字母的组合数的式子进行变形和证明． 特别地，当m>时，计算C用性质C＝C转化，减少计算量． [变式训练] 2．若C＝C，则x＝________． 3．计算：C＋C. 考点三　“含有与不含有”“至少与至多”问题 [典例3]　课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定1名队长，现从中选5人参加某项活动，依下列条件，各有多少种不同的选法？ (1)只有1名女生； (2)2名队长当选； (3)至少有1名队长当选； (4)至多有2名女生当选． 【解题技法】 组合问题的两类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理． [变式训练] 4．现有10件不同的产品，其中有7件正品，3件次品，从中抽出3件检查． (1)恰有1件次品的抽法有多少种？ (2)全是正品的抽法有多少种？ (3)至少有1件次品的抽法有多少种？ [当堂检测] 1．从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，和为偶数的取法有(　　) A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 2．某值日小组有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余两名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法有(　　) A．10种　 B．20种　 C．60种　 D．100种 3．平面内有12个点，其中任意3点都不在同一条直线上，以任意3点为顶点画三角形，则可画出的三角形的个数是(　　) A．36 B．219 C．220 D．1 320 4．化简：C－C＋C＝________． 【课堂小结】 你本节课的收获 第 2 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$