第一章 数列（A考点梳理卷）-2024-2025学年高二数学单元速记·巧练（北师大版2019选择性必修第二册）

第一章 数列（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、数列的概念 一、单选题 1．数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 2．数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 3．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4．数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的项可以相等 B．数列可表示为 C．数列的一个通项公式是 D．数列是递减数列 7．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 三、填空题 8．已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . 9．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 四、解答题 10．写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 11．已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 考点二、等差数列及其求和 一、单选题 1．在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 3．已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 4．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 5．数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 二、多选题 6．在数列中，，则以下结论正确的为（   ） A．数列为等差数列 B． C．当取最大值时，的值为51 D．当数列的前项和取得最大值时，的值为49或51 7．数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（   ） A．（且） B． C． D． 三、填空题 8．在前项和为的等差数列中，，，则 . 9．已知数列满足，则 . 四、解答题 10．已知是数列的前n项和，若，是等差数列，． (1)求； (2)求数列的通项公式． 11．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 考点三、等比数列及其求和 一、单选题 1．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C．2 D． 2．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 3．已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 4．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 5．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 7．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 三、填空题 8．若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 . 9．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 四、解答题 10．已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 11．已知数列满足：，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 考点四、数列求和的综合应用 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，根据题意，该数列的前4项和（   ） A．16 B．18 C．12 D．14 2．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 4．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 5．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 7．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 三、填空题 8．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 9．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 . 四、解答题 10．已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 11．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 数列（A考点梳理卷） 姓名______ 班级______ 考号______ 考点一、数列的概念 一、单选题 1．数列2，，6，，…的通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意，数列2，，6，，， 其中，，，， 其通项公式可以为， 故选：B． 2．数列中，，，则的值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【详解】数列中，因为，所以， 数列周期为3， 则. 故选：A. 3．斐波那契是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列.斐波那契数列满足，，设，则（   ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【详解】由斐波那契数列的定义及递推公式可得： ， 则． 故选：C 4．数列满足，其前项积为，则等于（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以当时，； 当时，； 当时，； 当时，；…， 所以数列是以为周期的周期数列， 所以， 所以. 故选：A. 5．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，，，，，，故A错误； 当时，，， 上述三式相加可得，故B错误； ，故C错误； ，故D正确. 故选：D 二、多选题 6．下列四个选项中，正确的是（    ） A．数列的项可以相等 B．数列可表示为 C．数列的一个通项公式是 D．数列是递减数列 【答案】ABD 【详解】A：对于常数列，所有项都相等，对； B：数列可表示为，对； C：数列的一个通项公式是，错； D：显然数列通项公式为，其随的增大而变小，为递减数列，对. 故选：ABD 7．已知数列的通项公式为，则下列说法正确的是（    ） A．是数列的最小项 B．是数列的最大项 C．是数列的最大项 D．当时，数列递减 【答案】BCD 【详解】设第项为的最大项， 则，即，所以， 又，所以或， 故数列中与均为最大项，且， 当时，数列递减，故BCD正确， 当趋向正无穷大时，无限趋向于0且大于0，且， 所以不是数列的最小项，且数列无最小值，故A错误. 故选：BCD 三、填空题 8．已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】由题，对任意的正整数，都有恒成立， ，即恒成立， 对任意的正整数恒成立， ，即. 故答案为：. 9．数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 四、解答题 10．写出下面各数列的一个通项公式． (1)； (2)6，66，666，6666，…； (3)； (4)． 【详解】（1）这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为， 所以它的一个通项公式为． （2）这个数列的前4项可写为，， 所以它的一个通项公式为． （3）这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为， 分子依次为， 所以它的一个通项公式为. （4）将数列变形为对于分子可得分子的通项公式为， 对于分母联想到数列可得分母的通项公式为， 所以原数列的一个通项公式为． 11．已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以或时，取最小值时，最小值为； （2）因为， 所以，当时，， 所以， 当时，， 所以. 考点二、等差数列及其求和 一、单选题 1．在数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以数列是以1为首项，公差为的等差数列， 则. 故选：C. 2．已知数列中，，若，则（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【详解】∵，∴数列是等差数列，公差为， 又，∴，∴， 故选：B． 3．已知数列，，，且，则数列的前2023项之和为（   ） A．0 B．2 C．2024 D．4048 【答案】B 【详解】当为奇数时，，， 所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列； 当为偶数时，，， 所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列. 所以，数列的前项和为： . 故选：B. 4．某同学为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，制定一个十天的运动习惯养成计划，他决定第一天运动10分钟，从第二天起，每天运动的时长比前一天多5分钟．根据这个计划，该同学第十天的运动时长为（    ） A．45分钟 B．50分钟 C．55分钟 D．60分钟 【答案】C 【详解】设该同学每天的运动时长构成等差数列，公差为， 由题意得，， ∴，即该同学第十天的运动时长为55分钟. 故选：C. 5．数列是等差数列，且，数列的前项和为，若，则使不等式成立的的最小值为（    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且，则， 所以其公差为，， 所以，则， 所以， 则， 又，解得，即n的最小值为. 故选：C. 二、多选题 6．在数列中，，则以下结论正确的为（   ） A．数列为等差数列 B． C．当取最大值时，的值为51 D．当数列的前项和取得最大值时，的值为49或51 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得， 两式联立得，即，数列为等差数列，A正确； 对于B，令，得，B错误； 对于C，由等差数列的性质知，即，又， 公差，则，数列的前51项为正， 从第52项开始为负，当取最大值时，n的值为51，C正确； 对于D，由数列的前51项为正，从第52项开始为负，又， 得， 则数列前49项和最大，又，即数列前51项和最大，当时，， 因此当或51时，的前n项和取得最大值，D正确. 故选：ACD 7．数列共有60项，满足，其中且，数列的所有奇数项的和记作，所有偶数项的和记作，则下列选项正确的是（   ） A．（且） B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由可得：当且时，， ，故，故A正确， 由A可得，故，B正确， 当且时，， 又，故，因此 故，故，C正确，D错误， 故选：ABC 三、填空题 8．在前项和为的等差数列中，，，则 . 【答案】 【详解】根据等差数列的性质可知，，成等差数列， 所以，即，解得. 故答案为： 9．已知数列满足，则 . 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 故答案为： 四、解答题 10．已知是数列的前n项和，若，是等差数列，． (1)求； (2)求数列的通项公式． 【详解】（1）设数列的公差为d，则由，得， 所以，即， 所以，， 因为，所以，解得， 所以． （2）由（1）知， 所以时，， 上面这个式子对也适合，所以时，． 11．已知数列的首项为，且满足. (1)证明：数列为等差数列； (2)求数列的前项和为； (3)求数列的前项和. 【详解】（1）因为，， 若，则，与矛盾， 所以，所以， 所以，因为，所以， 所以数列是以首项为2，公差为4的等差数列. （2）由（1）知， 数列的前项和为. （3）因为， 设数列的前n项和为， 当n为偶数时，， 因为， 所以， 当为奇数时，为偶数. ， 所以. 考点三、等比数列及其求和 一、单选题 1．在等比数列中，已知，，则公比（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以， 所以，从而. 故选：D. 2．已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 3．已知在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等比数列的公比为，由，，得，因此， 所以. 故选：B 4．若等比数列的前n项和为，且，为与的等差中项，则(    ) A．29 B．33 C．31 D．30 【答案】D 【详解】设等比数列的等比为， 由，为与的等差中项得， 所以，， 故. 故选：D. 5．已知数列满足，则数列的前30项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把代入整理得：， 故. 故选：D 二、多选题 6．已知数列是首项为1，公比为3的等比数列，则（    ） A．是等差数列 B．是等差数列 C．是等比数列 D．是等比数列 【答案】AD 【详解】对于A，由题意得，所以数列是常数列，A正确； 对于B，数列的通项公式为，则， 所以数列是公比为3的等比数列，B错误； 对于，所以数列是公差为1的等差数列，C错误； 对于D，，所以数列是公比为9的等比数列，D正确， 故选：AD. 7．在递增的等比数列中，，是数列的前项和，是数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C． D． 【答案】BCD 【详解】因为，，又数列是递增的， 所以，所以公比，，所以，所以， 得，，，，故A错误； 由于，所以数列是等差数列，故B正确； ，故C正确； 因为， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题 8．若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】为正奇数时，不等式为， 易知是递减的，而，所以，即， 为正偶数时，不等式为， 易知是递增的，时，取得最小值，所以， 综上，的范围是. 故答案为： 9．某校100名学生军训时进行队列训练，规则如下：从左到右按照序号1至100排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的50位同学从左到右按照序号1至50排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；把向前走一步的25位同学从左到右按照序号1至25排列，进行1至2报数，报到2的同学向前一步；依次类推，直到剩下一位同学为止．问走到最前面的同学第一次的序号是 号，如果这位同学把每次的序号记住，则这位同学的所有序号之和是 ． 【答案】 64 126 【详解】依题意，第一次报数后向前一步的原编号为，为第二次报数时的新编号， 第二次报数后向前一步的原编号为，为第三次报数时的新编号， 第三次报数后向前一步的原编号为，为第四次报数时的新编号， 第四次报数后向前一步的原编号为，为第五次报数时的新编号， 第五次报数后向前一步的原编号为，为第六次报数时的新编号， 显然第六次报数时向前一步的编号为， 因此走到最前面的同学各次编号按报数由后向前排列为， 所以走到最前面的同学第一次的序号是64；这位同学的所有序号之和为. 故答案为：64；126 四、解答题 10．已知数列是递增的等比数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【详解】（1）由可得，又， 故是方程的两个实数根，且 故，进而， 故， （2）由题意得， 故， 因此 11．已知数列满足：，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 当时，， 两式相减，得，则； 又当时，，则，显然满足上式； 综上，. （2）因为，，易知，且， 所以，即， 所以是首项为，公差为的等差数列， 则，故. （3）由（1）（2）得， 则， 所以， 两式相减，得 ， 所以. 考点四、数列求和的综合应用 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，根据题意，该数列的前4项和（   ） A．16 B．18 C．12 D．14 【答案】A 【详解】由，得，，，， ∴. 故选：A. 2．在数列中，，则数列前24项和的值为（    ） A．144 B．312 C．288 D．156 【答案】C 【详解】因为， 所以， 故选：C. 3．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球.....第层有个球，则数列的前20项和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意及图得，， ，当时，， ， 以上各式累加得：， 又，所以， 经检验符合上式， 所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， 所以， 故选：A. 4．数列满足，，则（   ） A．2022 B．2020 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，， ，， ， 故的一个周期为4． 又， 故． 故选：C 5．已知数列的前项和为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 则当时，， 于是得，即， 而，即， 因此，数列是首项为1，公比为4的等比数列，所以， 因为，所以， 则， 则 ， 故选：. 二、多选题 6．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，数列的前项和为，则下列命题正确的是（   ） A．数列的通项公式 B． C．数列的通项公式为 D． 【答案】ABD 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 所以，故A项正确； 所以，故B项正确； 所以，故C项错误； 因为， 所以， 由，，有， 又因为单调递增，所以，所以取值范围为，故D项正确. 故选：ABD. 7．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为100 D．的前30项和为357 【答案】AD 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 三、填空题 8．意大利著名画家、自然科学家、工程师达芬奇在绘制作品《抱银貂的女人》时，曾仔细思索女人脖子上黑色项链的形状，这就是著名的悬链线形状问题.后续的数学家对这一问题不断研究，得到了一类与三角函数性质相似的函数：双曲函数.其中双曲正弦函数为，并且双曲正弦函数为奇函数，若将双曲正弦函数的图象向右平移个单位，再向上平移2个单位，得到函数的图象，并且数列满足条件，则数列的前2024项和 【答案】4048 【详解】由于为奇函数，图象关于原点对称，故的图象关于对称，即， 因此，, 因此, 故答案为： 9．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列．现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，设数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】由题意可得， 故数列是以为公差，为首项的等差数列， 即，则有，，，， 则 ， 故， 则. 故答案为：. 四、解答题 10．已知数列的前项和，数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求证：是等差数列，并求的通项公式； (3)设，求数列的前项和. 【详解】（1）在数列中，， 当时，， 而满足上式， 所以数列的通项公式是. （2）数列中，，，显然，则， 所以是首项，公差为2的等差数列， 故，. （3）由（1）（2）得， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 11．已知数列是首项为的等差数列，数列{}是公比不为的等比数列，且满足，，. (1)求数列，{}的通项公式； (2)求； (3)令，记数列的前n项和为，求证：对任意的，都有. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，则，. 由等比数列性质可得，又，， 所以， 所以，解之得或， 当时，，则，， 即与矛盾，故舍去； 当时，，则，， 所以,，满足题意； 所以，. （2）设， ， 设， 则，， 两式相减得， 所以，即. （3）证明：， ， ， 因为，易知随着的增大而增大， 所以，， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$