第2章 四边形（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（湖南专用）

第2章 四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合．据此即可求解. 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选： C． 2．（本题3分）下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 【答案】D 【分析】本题主要考查正多边形的定义，根据各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形的概念判定即可求解，掌握正多边形的定义是解题的关键． 【详解】解：正多边形的各条边都相等，各个角都相等，A，B正确； 各内角都相等，各条边也相等的多边形是正多边形，C正确， 各条边都相等，各个内角都相等的多边形一定是正多边形，故D错误． 故选：D． 3．（本题3分）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线、平行四边形的性质及等腰三角形的判定，根据已知得出∠BAE=∠AEB是解决问题的关键． 先根据角平分线及平行线的性质得出，再由等角对等边得出，从而求出的长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．（本题3分）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 5．（本题3分）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定以及性质，平行四边形的判定和性质，先证明，且，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】解：∵点、分别是、的中点， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：B． 6．（本题3分）已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（   ） A．当时，平行四边形为菱形 B．当时，平行四边形为矩形 C．当时，平行四边形为菱形 D．当时，平行四边形为正方形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题关键．根据对角线相等的平行四边形是矩形、一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、两条相邻的边互相垂直的平行四边形是矩形逐项判断即可得． 【详解】解：A、当时，平行四边形为矩形，则此项错误， 不符合题意； B、当时，平行四边形为菱形，则此项错误，不符合题意； C、当时，平行四边形为菱形，则此项正确，符合题意； D、当时，平行四边形为矩形，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 7．（本题3分）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理求出的长，等积法求出的长即可． 【详解】解：设菱形的对角线交于点，则：， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 故选D 8．（本题3分）如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 9．（本题3分）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的性质与判定、旋转的性质，熟练平行四边形的判定条件是解题的关键．根据题意，对题目中的条件任取两个组合，分类讨论所有情况，再结合平行四边形的判定条件，找出符合题意的情况即可． 【详解】解：如图， 当①②组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①③组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①④组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当①⑤组合时， ， ， 又，， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑦组合时， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，符合题意； 当①⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②③组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当②④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑤组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑥组合时，同理①⑤组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑦组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当②⑧组合时，同理①⑦组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③④组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当③⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当③⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑤组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑥组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当④⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑥组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑤⑦组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑤⑧组合时， ， 将绕点旋转，则点的对应点为点，点的对应点为点， 设点的对应点为点，则有， 、、在同一直线上， 由旋转的性质得，点可能落在线段上，落在延长线上，或者与点重合， 假设点落在线段上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 假设点落在延长线上，由三角形的外角性质得，， ， ， ，与条件矛盾； 综上所述，点只能与点重合，即， 四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑦组合时，同理⑤⑧组合可得出四边形是平行四边形，符合题意； 当⑥⑧组合时，不可以得出四边形是平行四边形，不符合题意； 当⑦⑧组合时，可以得出四边形是平行四边形，符合题意； 综上所述，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有16种． 故选：D． 10．（本题3分）如图，已知正方形的边长为6，是对角线上一点，于点，点，连接，，给出下列结论：①；②四边形的周长为12；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，以上结论中正确的序号为（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得，再说明四边形为矩形，可得，根据，再根据“等角对等边”得，，接着根据勾股定理，得，即可判断①；根据四边形的周长为，可判断②；然乎说明是等腰三角形，可能不是等腰三角形，判断③；连接，可得，再根据，判断④；由，可知当最小时，最小，即当时，，求出最小值判断⑤． 【详解】∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 在中，， ∴． 故①正确； ∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长为． 故②正确； ∵点P是正方形的对角线上的任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形． 除此之外，不是等腰三角形． 故③错误； 连接， ∵四边形为矩形， ∴． ∵正方形是轴对称图形， ∴， ∴． 故④正确； 由， ∴当最小时，最小， 当时，即， 的最小值为． 故⑤正确． 正确的有． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的轴对称性是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每个内角为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握多边形内角和公式以及多边形外角和恒为是解题关键．这个多边形的边数为，根据题意列方程，求出，再根据每个内角都相等，即可得到答案． 【详解】解：这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 这个多边形的每个内角都相等， 这个多边形的每个内角为， 故答案为：． 12．（本题3分）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，二次根式的乘除法，关键是掌握平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理，二次根式的性质． 由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得，因此，，即可化简． 【详解】解：由平行四边形的对角线互相平分，三角形三边关系定理得：， ， ， 故答案为：． 13．（本题3分）如图，在长方形纸片中，已知，，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得，，由勾股定理得，设，由勾股定理得，即可求解；掌握折叠的性质，矩形的性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 设， ， 由折叠得：， ， ， ， ， ， ， 解得：， 故的长为； 故答案：． 14．（本题3分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质．根据菱形的面积公式：对角线乘积的一半，求出菱形的对角线，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：3． 15．（本题3分）如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则 ，的长为 （用含a的代数式表示）．    【答案】 【分析】由题干的作图步骤可知：，，即，由菱形的性质可得则可利用勾股定理求得，从而求得． 【详解】解：依题意．题中作图为作边垂直平分线， ∴，，即， ∴，即，； ∴； 四边形为菱形， ，，， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的作法、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形等知识点，能根据作图步骤知道作图所表示的含义是解答本题的关键． 16．（本题3分）如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 取、中点、，连接，，利用可证得，然后根据全等三角形的性质即可判断结论①；根据是的中点，得到，进而可推出，据此即可判断结论②；根据，可求出四边形的面积，于是可判断结论③；根据，即可求得点到点距离的最小值，进而可判断结论④；综上，即可得出答案． 【详解】解：取、中点、，连接，， ，为的中位线， ，， ，， ，， ， ， ，， ， ，，， ， ，故结论①正确； 四边形为正方形， ， 是的中点，， ， ，故结论②正确； ， ，故结论③错误； ，， 当点移动到，移动到点时，达到最小值， ， ，故结论④正确； 综上，正确的结论有：， 故答案为：． 17．（本题3分）如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形及平行线的性质，通过计算得到本题的规律是解决本题的关键．得到规律计算解题即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴， ∵与直线所夹的锐角为， ∴，； ∵是正方形， ∴， ∴，； ， ∴， ∴． 故答案为：． 18．（本题3分）如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是 ．    【答案】①②④． 【分析】连接AD，如图，由已知条件利用ASA推导证明△DBE≌△DAF，根据全等三角形的性质可得DE=DF，由此可判断①；同①一样的道理可证明△DCF≌△DAE，由此可判断②；由S△ABC=•AD•BC=•AD•2AD=AD2，确定出只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF，由此可以判断③；在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2，再根据△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE，即可得到EF2=BE2+CF2，由此可判断④. 【详解】连接AD，如图， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=AC，∠B=∠C=45°， ∵点D为等腰直角△ABC的斜边的中点， ∴AD⊥BC，BD=CD=AD，AD平分∠BAC， ∴∠2+∠3=90°，∠1=45°， ∵∠EDF=90°，即∠4+∠3=90°， ∴∠2=∠4， 在△DBE和△DAF中 ， ∴△DBE≌△DAF（ASA）， ∴DE=DF，所以①正确； 同理可得△DCF≌△DAE， ∴S四边形AEDF=S△BED+S△CFD，所以②正确； ∵S△ABC=•AD•BC=•AD•2AD=AD2， 而只有当DE⊥AB时，四边形AEDF为矩形，此时AD=EF， ∴S△ABC不一定等于EF2，所以③错误； 在Rt△AEF中，EF2=AE2+AF2， ∵△DBE≌△DAF，△DCF≌△DAE， ∴BE=AF，CF=AE， ∴EF2=BE2+CF2，所以④正确， 故答案为：①②④．    【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定、勾股定理的应用等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线、熟练掌握和运用相关的性质与定理是解题的关键. 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多边形内角和与外角和综合，一元一次方程的应用（几何问题）等知识点，熟练掌握多边形的内角和与外角和是解题的关键． （）根据多边形的内角和公式求解即可； （）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，则这个多边形的内角和为：， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 这个多边形的边数为． 20．（本题6分）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点， (1)根据平行四边形的性质，得，，根据平行线的性质，得，则，根据可以证明，得，，从而证明，根据一组对边平行且相等的四边形，即可证明四边形是平行四边形； (2)根据勾股定理得到,连接交于，进而可以得到的长，然后利用三角形面积公式即可得解； 熟练掌握其性质并能正确得到是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：， ， ， ， ． 21．（本题8分）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理； （1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证； （2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点， ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是菱形； （2）解：连接，交于O， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 菱形的面积为． 22．（本题8分）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 23．（本题9分）如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题是图案设计问题，由于设计方案的多样化，只要满足相应问题对轴对称，中心对称的要求即可，这样就可以发挥学生丰富的想象力，提高学习兴趣．轴对称图形是指在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．再展开丰富的想象力画图即可． （1）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （2）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； （3）根据轴对称图形与中心对称图形的特点画图即可； 【详解】（1）解：如图，所画图形如下： （2）解：如图，所画图形如下： （3）解：如图，所画图形如下： 24．（本题9分）【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】[探究]（1）35度；（2）；（3），见解析；[挑战]，见解析 【分析】[探究]（1）根据四边形的内角和定理可得，由角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解； （2）证明方法同（1）； （3）根据，则，根据角平分线的定义可得，由，结合平行线的性质即可求解； [挑战] 根据角平分线的定义可得，由多边形内角和定理可得，结合三角形内角和定理，三角形外角和的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）如图1， ∵平分平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴ ． （2）如图2， 由（1）得：，， ∴ ． （3）若，则， 证明：如图3， 若，则， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴， ∴， [挑战]如图4， ∵平分平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵与是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，外角和的性质，多边形的内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质等知识的综合，掌握多边形内角和定理，三角形外角和性质，平行线的性质是解题的关键． 25．（本题10分）如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰直角三角形，理由见详解 (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得出，，进而判断出，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出，，得出、，最后用互余即可得出结论． （2）先判断出，得出，同（1）的方法得出，，即可得出，同（1）的方法即可得出结论． （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，即可得出结论． 【详解】（1）∵点P，N分别为，的中点， ∴，， ∵点M，P分别为，的中点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：是等腰直角三角形，理由如下： 由旋转知，， ∵，， ∴， ∴，， 利用三角形的中位线得，， ∴， ∴是等腰三角形， 同（1）的方法得， ∴， 同（1）的方法得， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：由（2）知是等腰直角三角形，， ∴当最大时，最大，的面积最大， ∴如图所示，当点D在的延长线上时，最大， 此时可有， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质的综合运用，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 26．（本题10分）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等． 根据题意可得为菱形和正方形； 根据题意可得和； （1）根据题意可得，； （2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案； （3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案． 【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形， 故答案为：菱形，正方形； 【性质探究】根据题意可得： ∴， ∴， 故答案为：，； 【问题解决】（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：13，40； （2）∵，是的中线， ∴，， ∵， ∴四边形为垂美四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴，整理得：， 故答案为：； （3）证明：连接，设与交于点，与交于点， ， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和△中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为垂美四边形； 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 四边形（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列说法错误的是（   ） A．正多边形的各条边都相等 B．正多边形的各个角都相等 C．各角都相等的多边形不一定是正多边形 D．各条边都相等的多边形一定是正多边形 3．（本题3分）如图，在中，，，平分，交边于点E，则线段的长度分别是（   ） A．2和3 B．3和2 C．4和1 D．1和4 4．（本题3分）如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 5．（本题3分）如图，四边形中，为上一点，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长等于（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）已知平行四边形中，对角线、相交于O，则下列说法一定正确的是（   ） A．当时，平行四边形为菱形 B．当时，平行四边形为矩形 C．当时，平行四边形为菱形 D．当时，平行四边形为正方形 7．（本题3分）如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（   ） A．4 B．5 C． D． 8．（本题3分）如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 9．（本题3分）已知四边形，对角线与交于点O，从下列条件中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧任取两个条件，可以得出“四边形是平行四边形”这一结论的情况有（   ） A．8种 B．10种 C．14种 D．16种 10．（本题3分）如图，已知正方形的边长为6，是对角线上一点，于点，点，连接，，给出下列结论：①；②四边形的周长为12；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为，以上结论中正确的序号为（   ） A．①②③ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形的每个内角都相等，则这个多边形的每个内角为 ． 12．（本题3分）平行四边形一边长为m，对角线长分别为6和10，化简的结果为 ． 13．（本题3分）如图，在长方形纸片中，已知，，折叠纸片使边与对角线重合，点B落在点F处，折痕为，则的长为 ． 14．（本题3分）如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若的面积为24，，则的长为 ． 15．（本题3分）如图，在菱形中，，按如下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；连接，若恰好经过点A，与交于点E，连接．则 ，的长为 （用含a的代数式表示）．    16．（本题3分）如图，在中，，，是的中点，，分别是线段，上的动点（点不与点，重合），且满足，给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积为； ④点到点距离的最小值为． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 17．（本题3分）如图，正方形中，，与直线所夹的锐角为，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，延长交直线于点，作正方形，…，依此规律，则线段 ． 18．（本题3分）如图，将一副三角板中含有30°角的三角板的直角顶点落在等腰直角三角形的斜边的中点D处，并绕点D旋转，两直角三角板的两直角边分别交于点E，F，下列结论：①DE=DF；②S四边形AEDF=S△BED+S△CFD；③S△ABC=EF2；④EF2=BE2+CF2，其中正确的序号是 ．    三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题6分）已知一个多边形的边数为． (1)若，则这个多边形的内角和为 ； (2)若这个多边形的内角和与外角和相加为，求这个多边形的边数． 20．（本题6分）如图，在中，连接对角线，点E和点F是直线上的两点且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的面积． 21．（本题8分）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 22．（本题8分）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 23．（本题9分）如图，由个大小完全相同的小正方形摆成如图形状，现移动其中的一个小正方形，请在图（1），图（2），图（3）中分别画出满足以下各要求的图形．（用阴影表示） (1)使得图形既是轴对称图形，又是中心对称图形． (2)使得图形成为轴对称图形，而不是中心对称图形； (3)使得图形成为中心对称图形，而不是轴对称图形． 24．（本题9分）【探究】 （1）如图1，和的平分线交于点F，则 ； （2）如图2，，且和的平分线交于点，则 ；（用表示） （3）如图3，，当和的平分线平行时，应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 【挑战】 如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，你又可以找到怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 25．（本题10分）如图1，在中，，，点D、E分别在边，上，，连接，点M、P、N分别为，，的中点． (1)求证：，； (2)把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； (3)把绕点A在平面内自由旋转，若，，请求出面积的最大值． 26．（本题10分）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． 【概念理解】 在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________． 【性质探究】 通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空． 性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系 如图1，，由勾股定理可知， 中，，中，， 同理，， 则， 即_________． 性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系 _________． 【问题解决】 （1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________； （2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________； （3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$