精品解析：江苏省南京市职业学校综合高中2024-2025学年高一上学期期末统考数学试卷

南京市职业学校2024／2025学年度第一学期期末统考试卷 2024级综合高中《数学》试卷 2025．1 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．两卷满分150分，考试时间120钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满，涂黑；如需改动，请用橡皮爎干净后，再涂选其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 3．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑，加粗． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 若集合，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 3. 若集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若点是角终边上的一点，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 5. 已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，那么的值等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 设，若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 9. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，其中，若存在实数使得关于的方程有三个不同的实数根，则的范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 12. 已知集合，是非空集合，定义运算且，已知，，则______． 13. 已知奇函数满足，当时，，则______． 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 15. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知集合，，若，，求实数，值. 17. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解不等式：． 18. 已知函数的定义域为，且在定义域上单调递减， （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知函数的图像恒过定点A，且． （1）求定点A的坐标及实数的值； （2）若函数为偶函数，当时，，且点A在函数的图像上，求的值． 20. 已知，求： （1）的值； （2）的值． （3）的值． 21. 已知二次函数的图象经过点和，且的最大值为14. （1）求此二次函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求的值域. 22. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽、柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研可知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 23. 已知函数，满足．求： （1），的值； （2）的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市职业学校2024／2025学年度第一学期期末统考试卷 2024级综合高中《数学》试卷 2025．1 本试卷分第Ⅰ卷（客观题）和第Ⅱ卷（主观题）两部分．两卷满分150分，考试时间120钟． 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名，考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 2．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满，涂黑；如需改动，请用橡皮爎干净后，再涂选其他答案．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 3．如需作图，须用2B铅笔绘，写清楚，线条，符号等须加黑，加粗． 第Ⅰ卷（共40分） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上相应题号中正确答案的字母标号涂黑） 1. 若集合，若，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据得到，再根据指数幂的运算，即可求解. 【详解】集合， 因为，所以, 所以，解得， 故选：B. 2. 下列与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同角的概念即可得出结论. 【详解】，所以与终边不相同，故A错误. ，所以与终边不相同，故B错误. ，所以与终边不相同，故C错误. ，所以与终边相同，故D正确. 故选：D. 3. 若集合，，且，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一元二次不等式的解法求出集合，再由子集的概念即可得出结论. 【详解】集合， 又，且， 则，即实数的取值范围是， 故选：C. 4. 若点是角终边上的一点，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数值的定义，求解参数即可 【详解】因为角终边上一点， 所以，解得， 故选：B 5. 已知函数是偶函数，且在区间上是减函数，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的性质结合函数单调性即可求解. 【详解】因为函数是偶函数， 所以，. 因为函数在区间上是减函数， 所以， 即. 故选：C. 6. 已知函数，那么的值等于（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据具体函数求函数值，结合题意，代入即可求解． 【详解】因为， 所以． 故选：A． 7. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由函数奇偶性的定义得出为奇函数，由此即可得出答案. 【详解】已知函数，定义域为， 则， 所以函数为奇函数，由， 可得， 故选：B. 8. 设，若，则的值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】分别讨论与两种情况，代入解析式求解即可. 【详解】因为，， 若，则，即，， 若，则，，即，（舍）， 综上，； 故选：A. 9. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式、分式以及对数函数有意义的条件即可得解. 【详解】要使函数有意义，则 ，解得， 所以函数的定义域为. 故选：D. 10. 已知函数，其中，若存在实数使得关于的方程有三个不同的实数根，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数在每段区间上的单调性和值域，结合题意，可转化为函数图像与直线的交点问题，继而列出不等式求解． 【详解】函数，其中， 所以当时，函数单调递减，值域为； 当时，函数单调递增，值域为； 当时，函数，单调递增，值域为； 因为存在实数使得关于的方程有三个不同的实数根， 即存在实数，使函数图像与直线有三个交点， 所以，即， 所以（舍）或． 即m的取值范围是． 故选：A． 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可得解. 【详解】. 故答案为：. 12. 已知集合，是非空集合，定义运算且，已知，，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题中所给的定义运算结合集合的交集、并集运算即可得解. 【详解】由题意知，因为，， 所以， 所以或. 故答案为：或. 13. 已知奇函数满足，当时，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的周期性可得，再由奇函数的性质可得，再将代入解析式求解即可. 【详解】由满足， 可得， 又为奇函数，所以， 当时，， 则， 所以， 故答案为：. 14. 已知函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由分段函数的解析式和所对应的定义域即可得解. 【详解】由题意，当时，， 即，可化为， 即，解得，不合题意，舍去； 当时，， 即，可化为， 即，故，符合题意， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合不等式的解集与一元二次方程根的关系，可求出与a的关系，代入不等式，结合二次不等式的解法，即可求解． 【详解】因为不等式的解集为， 所以1和5是方程的两个根，且， 所以，即， 将代入不等式得， 即， 因为， 所以， 即， 所以， 即不等式的解集为．　 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知集合，，若，，求实数，值. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出集合A中的元素，根据集合运算的结果，易得集合B中的元素，结合一元二次方程根与系数的关系，即可求解. 【详解】因为， 又且，所以， 所以2和3是方程的两个根， 由韦达定理得，解得， 所以. 17. 已知不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）解不等式：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先解绝对值不等式得出关于的范围，再根据已知解集求出和的值. （2）根据对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】解：（1）由题意知：，即 解得. （2）因为，所以不等式为， 即， 根据对数函数的定义域及对数函数的单调性可得 ，解得 所以或 ，即原不等式的解集为：. 18. 已知函数的定义域为，且在定义域上单调递减， （1）求函数的定义域； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义域求解即可. （2）根据函数为减函数和函数的定义域列不等式求解即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，，， 函数定义域为． 【小问2详解】 函数的定义域为，且在定义域上单调递减， 由， 可得，解得， 或， 即实数的取值范围为． 19. 已知函数的图像恒过定点A，且． （1）求定点A的坐标及实数的值； （2）若函数为偶函数，当时，，且点A在函数的图像上，求的值． 【答案】（1）； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据指数函数恒过点，结合题意，令指数整体，求得x和对应的函数值，即可求出定点A的坐标，根据，代入函数解析式，即可求得实数的值； （2）根据题意，将点A的坐标代入函数解析式，求出参数m的值，即可得到时，函数的解析式，根据偶函数的性质，即可代入求解． 【小问1详解】 因为函数的图像恒过定点A， 令，即时，， 即函数恒过定点； 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为点在函数的图像上， ， 所以，解得， 所以， 因为函数为偶函数，当时，， 所以， 所以． 20. 已知，求： （1）的值； （2）的值． （3）的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合三角函数的诱导公式及同角三角函数的商数关系，即可化简求值； （2）根据题意，结合同角三角函数的平方关系及正、余弦齐次式的化简，即可代入求值； （3）根据题意，结合同角三角函数的平方关系及正、余弦齐次式的化简，即可代入求值； 【小问1详解】 因为， 即， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以． 【小问3详解】 由（1）知， 所以 ． 21. 已知二次函数的图象经过点和，且的最大值为14. （1）求此二次函数的解析式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求的值域. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知二次函数的对称轴和点的坐标利用待定系数法求解函数解析式； （2）根据题意列出不等式求解，根据一元二次不等式解的情况求解； （3）根据二次函数的单调性和二次函数的最值求解. 【小问1详解】 由题可知二次函数的对称轴为，即顶点坐标为, 设，，解得， 二次函数. 【小问2详解】 ， ,即恒成立， ，解得， 实数的取值范围. 【小问3详解】 二次函数的对称轴，， ，，. ，的值域为. 22. 十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽、柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划．2024年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且．由市场调研可知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完． （1）求出2024年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2024年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2）100百辆，最大利润为1800万元 【解析】 【分析】（1）根据利润等于销售额减去成本，分为和建立函数式即可求. （2）根据二次函数和基本不等式求解函数的最值. 【小问1详解】 当时，； 当时，． 【小问2详解】 当时，， 则时，， 当时，， 当且仅当，即， 又因为， 当时，即生产100百辆时，该企业所获利润最大，最大利润为1800万元． 23. 已知函数，满足．求： （1），的值； （2）的最大值与最小值． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式求值即可.. （2）首先得出，令，则，再根据二次函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 已知函数，所以， ，， 解得. 【小问2详解】 由（1）可得， ， 令，则， 对称轴，抛物线开口向下， 当时，， 又为单调递增，为单调递减， 且当时，， 当时， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $