精品解析：内蒙古自治区赤峰市林西县职业中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题

林西县职业中学2023—2024学年第二学期 高二专业数学期中试题 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列方程中，表示焦点在x轴的上的椭圆是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程转化成标准方程易得答案. 【详解】A：，所以焦点在轴上，故正确； B：，所以焦点在轴上，故错误； C：，所以焦点在轴上，故错误； D：，所以焦点在轴上，故错误. 故选：A. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量加法、减法法则及运算律即可求解. 【详解】 故选：C. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】，，又有，所以， 则即. 故选：C. 4. 已知椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A. ＋＝1或＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1或＋＝1 D. ＋＝1或＋＝1 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件求出，再根据标准方程解答. 【详解】∵长轴长为12， ∴, ∴, ∵离心率为, ∴, ∴, ∴, ∵椭圆的对称轴是坐标轴，故椭圆方程为＋＝1或＋＝1 故选:C. 5. 设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的性质及标准方程即可得解. 【详解】因为点到轴的距离为. 所以点到抛物线的准线的距离. 根据抛物线的定义知,点到抛物线焦点的距离为. 故选:. 6. 已知，，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标运算求出，根据向量的垂直列出方程即可得解. 【详解】，而, 因此，即，解得. 故选：A. 7. 已知，，若，则（ ） A. B. =2 C. 3 D. =3 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量平行的坐标公式易得答案. 【详解】因为，，， 所以， 化简得. 故选：A. 8. 已知双曲线上一点 P 到两焦点的距离之差为 4，则k= （ ） A. B. C. D. 4 或−5 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】由双曲线的定义可知当时,. 解得. 当即时，. 解得. 综上所述或 . 故选:. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量就是相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的相关定义判断即可 【详解】选项A，但两者方向不确定，所以不一定共线，故错误； 选项B，长度为0的向量是零向量，故正确； 选项C，长度相等方向相同的向量是相等向量，故错误； 选项D，共线向量不一定在同一条直线上，故错误； 故选：B. 10. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间内两直线的位置关系，结合题意即可判断求解． 【详解】分别在两个平面内的两条直线平行、相交、异面都有可能． 故选：D． 11. 椭圆的长轴长恰好等于它的短轴长的3倍，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的性质及离心率公式即可得解. 【详解】由题意可知. 所以. 又因为. 所以. 故选:. 12. 如果为双曲线方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的标准方程即可得解. 【详解】因为双曲线方程. 所以即. 解得:或. 所以的取值范围为. 故选:. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 若， ，则=_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据两个点的坐标先求的坐标，再求向量的模易得答案. 【详解】因为， ，所以， 所以. 故答案为：. 14. 抛物线的焦点到准线的距离是_________ 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定焦点到准线的距离求解即可. 【详解】抛物线，所以，即， 所以焦点到准线距离为4. 故答案为：4. 15. 等轴双曲线的渐近线方程为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等轴双曲线的渐近线求解即可. 【详解】等轴双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 16. 双曲线的顶点坐标是_____，焦点坐标是_________ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据双曲线方程确定顶点坐标与焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线可化为， 所以双曲线焦点在轴且， 所以，， 所以顶点坐标为，焦点坐标为. 故答案为：. 17. 抛物线上一点P到点与焦点F的距离之和最小，则点P坐标为_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和点到直线的距离垂线段最短易得答案. 【详解】如图是抛物线线，点是抛物线的焦点， 所以，准线， 过点作准线的垂线交于点， 根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,, 则抛物线上点到点与焦点F的距离之和最小时，即最小时， 此时三点共线，故的纵坐标为，对应的横坐标为， 所以. 故答案为：. 18. 已知、是椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点三角形的周长公式求解即可. 【详解】因为椭圆，所以，即， 所以，即, 所以的周长为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程） 19. 平面内给定两个向量 （1）设与的夹角为，求； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的夹角公式的坐标表示求解即可； （2）根据向量的内积与模长求解模长即可； 【小问1详解】 因为向量，所以, ，， 所以; 【小问2详解】 . 20. 根据下列条件求抛物线的标准方程： （1）焦点在x轴正半轴上，并且； （2）对称轴为轴，经过点. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题可设抛物线方程，且可得结果. （2）由题可设抛物线方程，代入已知点即可得结果. 【小问1详解】 由题知此抛物线焦点在轴正半轴， 可设方程为，由知方程为； 【小问2详解】 由题可知此抛物线对称轴为轴，且过点， 可设抛物线方程为，代入点得， 即得方程为. 21. 已知向量a，b满足，，. （1）求. （2），求k的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模长公式求解得到向量的内积，进而求解； （2）根据向量的垂直关系求解参数即可： 【小问1详解】 因为， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为，所以, 即, 所以，解得. 22. 直线过双曲线的焦点且斜率为，交双曲线于A、B两点，求AB的长. 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线的焦点坐标，再求出直线方程，联立方程组化简，再利用韦达定理和弦长公式易得答案. 【详解】因为，所以，所以， 所以，， 当直线过时，直线方程为， 代入，化简得， 设，所以，， 所以； 当直线过时，直线方程为， 代入，化简得， 设，所以，， 所以； 综上，. 23. 如图所示，在正方体中，E是的中点，F是的中点. （1）求证 （2）求异面直线与所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间中平行线的传递性即可证明. （2）连接和交于点，连接，得出为异面直线与所成的角或补角，再由正方形的性质即可得出结果. 【小问1详解】 连接，∵为正方体， ∴，， ∴为平行四边形， ∴， 又E是的中点，F是的中点， ∴， ∴. 【小问2详解】 如图，连接和交于点，连接， ∵为正方体， ∴，， ∴为平行四边形， ∴， ∴为异面直线与所成的角或补角， ∵为正方形， ∴， ∴异面直线与所成的角为. 24. 已知：双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，且. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求△的面积. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】(1)将双曲线标准方程中等号右端的“1”改为“0”即可求其渐近线方程. (2)由双曲线的定义和勾股定理即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线方程为， 令，解得， 即双曲线的渐近线方程为. 【小问2详解】 双曲线方程为，则, 因为，即， 又，所以根据勾股定理，即， ， 则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 林西县职业中学2023—2024学年第二学期 高二专业数学期中试题 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 下列方程中，表示焦点在x轴的上的椭圆是（ ） A. B. C. D. 2. 化简：（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，且，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知椭圆对称轴是坐标轴，离心率为，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A ＋＝1或＋＝1 B. ＋＝1 C. ＋＝1或＋＝1 D. ＋＝1或＋＝1 5. 设抛物线上一点到轴的距离是，则点到该抛物线焦点的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，若，则（ ） A. 10 B. 8 C. 5 D. 3 7. 已知，，若，则（ ） A. B. =2 C. 3 D. =3 8. 已知双曲线上一点 P 到两焦点的距离之差为 4，则k= （ ） A. B. C. D. 4 或−5 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量就是相等向量 D. 共线向量是在同一条直线上的向量 10. 分别在两个平面内的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 以上都有可能 11. 椭圆的长轴长恰好等于它的短轴长的3倍，则其离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 如果为双曲线方程，则的取值范围是（ ） A. B. C D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 13. 若， ，则=_________ 14. 抛物线的焦点到准线的距离是_________ 15. 等轴双曲线的渐近线方程为__________ 16. 双曲线的顶点坐标是_____，焦点坐标是_________ 17. 抛物线上一点P到点与焦点F的距离之和最小，则点P坐标为_________ 18. 已知、是椭圆两个焦点，过的直线与椭圆相交于、两点，则的周长为________ 三、解答题（本大题共6小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程） 19. 平面内给定两个向量 （1）设与的夹角为，求； （2）求. 20. 根据下列条件求抛物线的标准方程： （1）焦点在x轴正半轴上，并且； （2）对称轴为轴，经过点. 21. 已知向量a，b满足，，. （1）求. （2），求k值. 22. 直线过双曲线的焦点且斜率为，交双曲线于A、B两点，求AB的长. 23. 如图所示，在正方体中，E是的中点，F是的中点. （1）求证 （2）求异面直线与所成的角. 24. 已知：双曲线的两个焦点为、，点P在双曲线上，且. （1）求双曲线的渐近线方程； （2）求△的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$