精品解析：辽宁省辽阳市2024-2025学年高三上学期1月期末考试数学试卷

高三考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若向量，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 若数据的中位数是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm 6. 若曲线与圆相切，则的值为（ ） A. 3 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 7. 若外接圆的半径为，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 8. 定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 10. 已知函数，则（ ） A 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称 B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过2 C. 若是曲线上任意一点，则的最大值为 D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线与双曲线的焦距相等，则的离心率为__________. 13. 已知，，则__________. 14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，且. （1）求 （2）证明：数列是等比数列. （3）求数列的前项和. 16. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． （1）求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD. （1）证明：平面PAF. （2）若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长. 18. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. （1）求的方程； （2）若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； （3）若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. （1）判断函数在上是否为1级速增函数，说明理由. （2）若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立. （3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三考试数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘方运算与复数的模的意义求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先解一元二次不等式求出集合，即可求出集合，即可判断. 【详解】由，即，解得， 所以， 当时，，所以， 所以，，，故正确只有A. 故选：A 3. 若向量，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示以及对数运算即可求解. 【详解】由得，， 所以. 故选：C. 4. 若数据的中位数是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的概念求解. 【详解】因为数据的中位数是， 所以，即的取值范围为. 故选：B. 5. 如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（ ） A. 12cm B. 13cm C. 14cm D. 15cm 【答案】B 【解析】 【分析】应用圆台的体积公式列方程求水的高度，进而可得杯子的高度. 【详解】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，则杯子的容积为，可得， 所以该杯子的高度为cm. 故选：B 6. 若曲线与圆相切，则的值为（ ） A. 3 B. 2或7 C. 2 D. 3或7 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分），再确定圆心坐标，从而得到的值. 【详解】曲线，则，又， 所以曲线表示以为圆心，为半径的半圆（轴及轴上方部分）， 圆的圆心为，半径为， 又， 若，即时满足曲线与圆相切. 故选：A 7. 若外接圆的半径为，且，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换可得，在中，由余弦定理求，从而得解. 【详解】根据正弦定理，，即， 又，则， 又， 所以，则， 根据同角基本关系式，， 则， 根据正弦定理，即， 在中，由余弦定理, 所以，所以. 故选：A 8. 定义双曲正弦函数：.若双曲正弦函数在区间上的值域与在区间上的值域相同，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别分析两个函数的单调性，求出它们的值域，再根据函数的值域相同，得到一个方程组，进而将问题转化为方程对应的函数有两个不同的零点问题求解. 【详解】因为，所以在上为增函数， 所以在上的值域为. 又在也是增函数， 所以在上的值域为. 因为两个函数的值域相同，所以. 即方程有两个不同的解. 因为方程. 当即时，方程成立，即是方程的一个解； 则当即时，只有一个解， 因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减. 因为且，所以且， 所以当且时，方程有且只有一个非0解. 综上：且. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据两个函数的值域相同，得到方程组，进而将问题转化为方程有两个不同的解. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点对称 C. 在上单调递减 D. 将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到一个偶函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】函数的最小正周期，故A正确； 因为，所以的图象关于点对称，故B正确； 当，则， 又在上不单调，故在上不单调，故C错误； 将图象上的所有点向右平移个单位长度得到为偶函数，故D正确. 故选：ABD 10. 已知函数，则（ ） A. 只有1个极小值点 B. 曲线在点处的切线斜率为9 C. 当有3个零点时，的取值范围为 D. 当只有1个零点时，的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】分或、两种情况讨论，利用导数说明函数单调性，即可求出函数的极值点，即可判断A、B，根据零点的个数得到不等式组，即可判断C、D. 【详解】因为， 当或时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A错误； 因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B正确； 令， 则的图象如下所示： 其中的图象是由的图象向下或向上平移个单位得到； 因为，，，， 要使有3个零点，则或或， 即或或，解得或或， 综上可得的取值范围为，故C正确； 要使只有1个零点，则或，即或， 解得或，即的取值范围为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数说明函数的单调性，从而画出的图象，将函数的零点问题转化为函数与函数的交点问题. 11. 数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论中正确的是（ ） A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称 B. 曲线上任意一点到原点距离都不超过2 C. 若是曲线上的任意一点，则的最大值为 D. 已知，直线与曲线交于两点，则为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据曲线上任意点，结合曲线方程判断是否在曲线上判断A；令第一象限点在曲线上，得，应用基本不等式求的范围判断B；根据题意位于第二象限时取得最大值，令得，利用求的范围判断C；设第一象限点，则且，结合两点距离公式求判断D. 【详解】根据曲线方程，若点在曲线上，易知点都满足曲线的方程， 所以曲线关于原点对称，且关于直线对称，A正确； 令第一象限点在曲线上，则， 因为，则，解得，当且仅当时等号成立， 所以曲线上任意一点到原点的距离都不超过，B正确； 由曲线的对称性知，当位于第二象限时，取得最大值， 所以，令， 将代入，可得， 故，解得，即的最大值为6，C错误； 由题，知点关于原点对称，不妨设第一象限点， 则且， 则， ， 所以为定值，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：根据曲线方程的特征判断曲线的对称性，结合各项描述并应用特殊象限点、基本不等式、两点距离公式、方程法判断各项正误为关键. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若双曲线与双曲线的焦距相等，则的离心率为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据焦距相等可以求得，从而求得离心率. 【详解】由题意得，所以， 即双曲线， 所以，所以离心率为. 故答案为：2. 13. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据诱导公式、半角公式以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，， 所以 故答案为：. 14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球心与平面所截圆的圆心连线与该平面垂直定位球心，进而求解. 【详解】如图，设点在底面的投影为， 则，设， 所以，， 由得，，解得. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知为数列的前项和，且. （1）求. （2）证明：数列是等比数列. （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）令计算可得； （2）根据，作差得到，结合等比数列的定义即可证明； （3）由（2）可得，从而得到，再利用分组求和法计算可得. 【小问1详解】 因为， 当时，，解得； 【小问2详解】 因为，则， 所以，即， 所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列； 【小问3详解】 由（2）可知，则， 所以， 所以 . 16. 年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得100元奖金，最终得4分的人可得50元奖金，其他得分的人可得10元奖金，已知小华获得一次抽奖机会． （1）求小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小华中奖金额为X，求X的分布列及数学期望， 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）由古典概率模型结合组合数计算即可； （2）先由古典概率结合组合数计算出X的所有可能取值对应的概率，列出分布列，再由期望公式求出期望即可； 【小问1详解】 由题可得小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率为． 【小问2详解】 由题可知X的所有可能取值为10，50，100． ，，． X的分布列为 X 10 50 100 P ． 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD. （1）证明：平面PAF. （2）若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）2或. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，得，再应用线面平行的判定定理证结论； （2）根据已知构建合适空间直角坐标系，设，应用向量法求线面角的正弦值得到方程求出参数值，进而求棱PB的长. 【小问1详解】 取的中点，连接，则且， 由底面为菱形，为的中点，则且， 所以且，即四边形为平行四边形，所以， 由面，面，故平面PAF. 【小问2详解】 取的中点，连接，又，所以， 因为面面ABCD，面面ABCD，面， 所以面ABCD， 由底面为菱形，，则为正三角形，所以， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则， 所以，，， 令面的一个法向量为，则， 令，则， 设直线与平面的夹角为，则， 可得或，故或. 【点睛】 18. 已知椭圆上一点到两个焦点的距离之和为4. （1）求方程； （2）若斜率均为1的直线分别经过的左顶点和右焦点，与交于两点，与交于两点，求这四点围成的四边形的面积； （3）若过点的直线与交于两点，直线的斜率不为为的右焦点，证明：的内心在定直线上. 【答案】（1） （2） （3）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据条件得，将点代入椭圆方程求得，得解； （2）根据题意，可判断四边形为梯形，分别用弦长公式求出，两直线间距离公式求出高，得解； （3）设直线，，，的内切圆的圆心为，将直线与椭圆的方程联立得，由两点间距离公式求得，结合内心的坐标公式求得，得证. 【小问1详解】 由题意，，则，所以椭圆方程为， 又点在椭圆上，则，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题，如图椭圆的左顶点为，则直线， 右焦点为，则直线， 将直线与椭圆方程联立，化简整理得， 解得，，即点， ， 同理，可求得，又， 所以四边形为梯形，梯形的高即两平行线与间的距离， ， 所以四边形的面积为. 【小问3详解】 如图，设直线，，，的内切圆的圆心为， 则，，， 由奔驰定理可得，， 即， 可得， 联立，化简整理得， ，，且， 又， 同理，， ， 又 ， 则，即， 所以， 所以的内心在定直线上. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解决的关键是由奔驰定理求得内切圆的圆心的横坐标，运算得证. 19. 设函数在区间上有定义，若对任意，都满足，则称函数在区间上为级速增函数. （1）判断函数在上是否为1级速增函数，说明理由. （2）若函数在区间上为2级速增函数，且，证明：对任意，恒成立. （3）若在区间上为级速增函数，求的取值范围. 【答案】（1）是；理由见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）结合“1级速增函数”定义，转化为证明，经过因式分解、配方等运算即可证明； （2）由定义赋值可得，再利用累差法可证； （3）由定义得恒成立，分离参数转化为恒成立.先后构造函数与函数，利用导函数求解最值可得的取值范围. 【小问1详解】 函数在上为1级速增函数.证明如下： 任意，则， 则 ， 所以任意，， 故由定义可知，函数在上为1级速增函数. 【小问2详解】 若函数在区间上为2级速增函数， 则当时，， 所以对，恒成立. 有，，，， 各式相加得. 又，则. 故对任意，恒成立. 【小问3详解】 若在区间上为级速增函数， 则任意，有恒成立. 则恒成立. 令， 则 由，则， 故，故，在上单调递增， 所以，且； 故由恒成立，则对任意恒成立； 再令，则， 故当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 故， 故由恒成立可得，. 故的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在于理解定义并转化为不同形式的不等式解决问题，如第（2）问中利用定义赋值构造不等式，从而利用累差法证明不等式成立；再如第（3）问中由定义转化为对任意，恒成立，从而分离参数转化为函数最值问题求解参数范围即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $