湖南省2024年跨地区普通高等学校对口招生第一次联考数学试题

湖南省2024年跨地区普通高等学校对口招生第一次联考数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线．若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2 4. 下列函数中，在其定义域内为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知球的体积为，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，，则下列向量中，与向量垂直的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（且）满足，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 在某地域进行流行病学调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，得到如图所示的频率分布直方图，则该地区一名这种疾病患者的年龄位于区间的概率是（ ） A. 0.57 B. 0.76 C. 0.79 D. 0.91 9. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数在区间内是增函数 C. 函数的图像与直线没有公共点 D. 把函数的图像向左平移个单位可得到函数的图像 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 已知，，则______. 12. 已知等差数列的前项和为，且，，则的通项公式为______． 13. 过圆的圆心，且与直线平行的直线方程为______． 14. 已知的展开式中的系数为28，则实数______． 15. 若函数在区间上有最小值2，最大值3，则实数的取值范围是______． 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数，． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）求不等式的解集． 17. 已知数列，，． （1）求数列的前项和； （2）若，求数列的前项和． 18. 某公司生产的某批产品共有10件，其中正品8件，次品2件，每次随机取出一件，有放回地选取3次，用表示取到次品的次数． （1）求随机变量的分布列； （2）求取到次品的次数不超过2的概率以及随机变量的数学期望． 19. 设椭圆的右顶点为，上顶点为．已知椭圆的离心率为，． （1）求该椭圆的标准方程； （2）设直线与椭圆交于，两点，求的大小． 20. 如图所示，在三棱锥中，平面，． （1）证明：平面平面； （2）若，直线与平面所成的角为60°，求三棱锥的体积． 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号. 21. 在锐角三角形中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求． 22. 某公司在现有条件下，生产一件甲产品的第一、二、三道工序所需工时分别为，，，每件甲产品可获利润18000元；生产一件乙产品的第一、二、三道工序所需工时分别为，，，每件乙产品可获利润12000元；第一、二、三道工序可用工时分别为，，．假定生产的产品可以全部销售完，在现有总工时的许可范围内，要想获得最大利润，甲，乙两种产品各应生产多少件？ 湖南省2024年跨地区普通高等学校对口招生第一次联考数学 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页．时量120分钟，满分120分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】B 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】或 【15题答案】 【答案】 三、解答题（本大题共7小题，其中第21，22小题为选做题．共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【16题答案】 【答案】（1）偶函数，理由见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1）答案见解析 （2） 【19题答案】 【答案】（1） （2） 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析. （2） 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号. 【21题答案】 【答案】（1） （2） 【22题答案】 【答案】甲生产件，乙生产件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $