幂函数的图象与性质 课件-2025届高三数学一轮复习

课题导入 回顾函数性质综合应用奇偶性、对称性、周期性等函数的基本性质 本节重点为幂函数的图象与性质，本节知识点常与指数函数、对数函数等交汇命题，题型一般为选择、填空题，中档难度. C 幂函数的图象与性质 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 授课教师：高复数学 授课时间：2025届 2025届专用 2 目标引领 独立自学 y＝xα 4 独立自学 (1，1) 单调递增 单调递减 奇函数 偶函数 5 引导探究 × × × 引导探究 √ 引导探究 题型一　幂函数的图象与性质 √ 引导探究 引导探究 10 引导探究 2 引导探究 √ √ 引导探究 引导探究 引导探究 引导探究 目标升华 当堂诊学 √ √ 当堂诊学 强化补清 完成课后作业十四 一不怕苦 二不怕累 风雨同舟 追求卓越 2025 坚持就是胜利！ 21 已知f(x)是R上的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)等于(　 　) A. －50　 B. 0 C. 2　 D. 50 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握幂函数的性质. 幂函数的定义 函数________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 常见的5种幂函数的图象 排列特点：在(0，1)上，其指数越大，图象越低，即“指大图低”，在(1，＋∞)上，其指数越大，图象越高，即“指大图高” 图象规律：幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，图象若与坐标轴有交点，则一定交于坐标原点 幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都经过点________． (2)如果α>0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上_________． (3)如果α<0，那么幂函数在区间(0，＋∞)上_________．在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右侧无限地逼近y轴，当x趋向于正无穷时，图象在x轴上方无限地逼近x轴． (4)当α为奇数时，幂函数为______，当α为偶数时，幂函数为_______． 1．判断下面结论是否正确．(对的打“√”，错的打“×”) (1)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数． (2)eq \r(4,（π－4）4)＝π－4. (3)(－1)eq \s\up22(\f(2,4))＝(－1)eq \s\up22(\f(1,2))＝eq \r(－1). 2．(课本习题改编)(1)下列四个图象中，函数y＝xeq \s\up22(\f(3,4))的图象是(　　) 解析　因为y＝xeq \s\up22(\f(3,4))＝eq \r(4,x3)，所以x3≥0，解得x≥0，即函数的定义域为[0，＋∞)，故排除A、D，又函数在定义域上单调递增，故B正确．故选B. (1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1　　 B．－1<n<0<m C．－1<m<0<n D．－1<n<0<m<1 【解析】　对于幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象在第一象限上凸，所以0<m<1；当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减，不妨令x＝2，根据图象可得2－1<2n，所以－1<n<0，综上所述，选D. 变式 有四个幂函数：①f(x)＝x－1；②f(x)＝x－2；③f(x)＝x3；④f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,3)).某同学研究了其中的一个函数，他给出的这个函数的三个性质：(1)偶函数；(2)值域是{y|y∈R，且y≠0}；(3)在(－∞，0)上是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是(　　) A．① B．② C．③ D．④ B　[f(x)＝x－1只满足性质(2)，f(x)＝x3只满足性质(3)，f(x)＝xeq \s\up6(\f(1,3)).只满足性质(3)．f(x)＝x－2是偶函数，在(－∞，0)上是增函数，但是其值域是{y|y>0}．故选B.] (2)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)xm的图象关于y轴对称，则实数m＝________． 【解析】　由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2. (3)已知a＝2eq \s\up22(\f(4,3))，b＝3eq \s\up22(\f(2,3))，c＝25eq \s\up22(\f(1,2))，则(　　) A．b<a<c B．a<b<c C．b<c<a D．c<a<b 【解析】　由题意得b＝3eq \s\up22(\f(2,3))<4eq \s\up22(\f(2,3))＝2eq \s\up22(\f(4,3))＝a，a＝2eq \s\up22(\f(4,3))＝4eq \s\up22(\f(2,3))<4<5＝25eq \s\up22(\f(1,2))＝c，所以b<a<c. 思考题1　(1)幂函数y＝ (m∈Z)的图象如图所示，则实数m的值为(　　) A．3　　　　　　　　 B．0 C．1 D．2 【解析】　∵函数在(0，＋∞)上单调递减， ∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3. ∵m∈Z， ∴m＝0，1，2. 而当m＝0或2时，y＝x－3为奇函数，不符合题意，舍去， 当m＝1时，y＝x－4为偶函数，符合题意． ∴m＝1. (－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,2))) (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq \s\up22(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,7)))eq \s\up22(－\f(2,3))，(－1.1)eq \s\up22(\f(4,3))的大小关系为_________________________ (用“<”连接)． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,7)))eq \s\up22(－\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq \s\up22(\f(2,3))<(－1.1)eq \s\up22(\f(4,3)) (3)若(a＋1)eq \s\up22(－\f(1,3))<(3－2a)eq \s\up22(－\f(1,3))，则实数a的取值范围是__________________． 【解析】　不等式(a＋1)eq \s\up22(－\f(1,3))<(3－2a)eq \s\up22(－\f(1,3))等价于a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或eq \f(2,3)<a<eq \f(3,2). 【解析】　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq \s\up22(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq \s\up22(\f(2,3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,7)))eq \s\up22(－\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,10)))eq \s\up22(\f(2,3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,10)))eq \s\up22(\f(2,3))，(－1.1)eq \s\up22(\f(4,3))＝(1.12)eq \s\up22(\f(2,3))＝1.21eq \s\up22(\f(2,3)). ∵幂函数y＝xeq \s\up22(\f(2,3))在(0，＋∞)上单调递增，且eq \f(7,10)<eq \f(\r(2),2)<1.21，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,7)))eq \s\up22(－\f(2,3))<eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))eq \s\up22(\f(2,3))<(－1.1)eq \s\up22(\f(4,3)). 1.指数幂的性质注意点 (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)在区间(0，1)上，幂函数的指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)． (3)在比较幂函数值的大小时，必须结合幂函数的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键． 1．下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都过(0，0)，(1，1)点 B．幂函数的图象都不经过第四象限 C．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种 D．幂函数必定是增函数或减函数中的一种 2.已知函数是定义在区间上的奇函数，则    A. B. C. D. 与大小不能确定 B　[因为1α＝1，所以幂函数的图象都经过(1，1)，但不一定过点(0，0)，故A错误；当x>0时，xα>0，幂函数的图象都不经过第四象限，故B正确；y＝x eq \s\up6(\f(1,2)) 的定义域为[0，＋∞)，为非奇非偶函数，故C错误；y＝ eq \f(1,x) 在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D错误．故选B.] $$