4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时 ）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 4.3.2 等比数列的前n项和公式（第1课时） 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及其应用． 2.会用错位相减法求数列的和． 3.能运用等比数列的前n项和公式解决一些简单的实际问题. 情境导入 国际象棋起源于古代印度. 相传国王要奖赏国际象棋 的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个 格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个 格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都 是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给 我足够的麦粒以实现上述要求.” 国王觉得这个要求不高， 就欣然同意了. 已知1000颗麦粒的质量约为40 g，据查，2016—2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言. 情境导入 问题 : 让我们一起来分析一下．如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和． 请分析这个数列是否是等比数列? 若是，请求出通项公式，并思考国王能满足象棋发明者的要求吗？ 一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢? 新知探究 错位相减法 新知探究 思考： 新知探究 由上面的推论，等比数列前n项和公式为： 有了上述公式，就可以解决本小节开头提出的问题了． 如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量 超过了7000亿吨，约是2016 ~ 2017年度世界小麦产量的981倍． 因此，国王根本不可能实现他的诺言． 新知探究 等比数列前n项和公式及基本方法 跟踪训练 【答案】C　 【解析】　注意对公比a是否为1进行分类讨论，易知选C． 新知探究 等差数列 等比数列 定义 通项公式 前n项和公式 中项 性质 依次n项和仍成等差数列， 公差为n2d 依次n项和仍成等比数列， 公比为qn 等差数列与等比数列的比较 等比数列前n项和的性质 新知探究 公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn，关于Sn的性质常考的有以下四类： (1)数列Sm，S2m－Sm，_________…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． (2)当n是偶数时，S偶＝________；当n是奇数时，S奇＝a1＋________． (3)Sn＋m＝Sm＋qmSn＝Sn＋qnSm． (4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn＝Aan＋B(a≠0，a≠1，AB≠0，且A＋B＝0)． S3m－S2m　 qS奇　 qS偶　 课本例题 对于等比数列的相关量a1 , an , q , n , sn,已知几个量九可以确定其他量. 知三求二 想一想，不用分类讨论的方式能否证明该结论 课本练习 课本练习 课本练习 课本练习 课本练习 4．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比． 5．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少? 典例剖析 题型1　等比数列前n项和的基本运算 典例剖析 题型2　等比数列前n项和的性质 例2.一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，求此数列的通项公式； 典例剖析 题型2　等比数列前n项和的性质 例3.在等比数列{an}中，若前10项的和S10＝10，前20项的和S20＝30，求前30项的和S30． 解： 跟踪训练 【答案】B　 典例剖析 题型3　等比数列求和公式的实际应用 例4.借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051) 解：方法一：设每个月还贷a元，第1个月欠款为a0元，以后第n个月还贷a元后，还剩下欠款an元(1≤n≤6)，则a0＝10 000，a1＝1.01a0－a， a2＝1.01a1－a＝1.012a0－(1＋1.01)a，… a6＝1.01a5－a＝…＝1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a． 例4.借贷10 000元，月利率为1%，每月以复利计息借贷，王老师从借贷后第二个月开始等额还贷，分6个月付清，试问每月应支付多少元？(1.016≈1.061,1.015≈1.051) 归纳总结 1.在等比数列{an}的五个基本量a1，q，an，n，Sn中，a1与q是最基本的元素，在条件与结论间的联系不明显时，均可以列方程组求解． 2.等比数列前n项和的性质是在等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列的性质的基础上推得的，因而利用有关性质可以简化计算，但通项公式、前n项和公式仍是解答等比数列问题最基本的方法． 随堂小测 课堂小结 1. {an}是等比数列 2. Sn为等比数列的前n项和,Sn≠0, q≠－1或k不是偶数时,则Sk, S2k－Sk, S3k－S2k(k∈N*)是等比数列. 3. 在等比数列中, S偶与S奇分别为偶数项和与奇数项和， 则若项数为偶数时， 则若项数为奇数时, q q 课堂小结 知识点 基本内容 等比数列前n项和公式 推导等比数列前n项和的方法 错位相减法：解决由等比数列与等差数列对应项的积组成的数列求和问题 1．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn等于 (　　) A．eq \f(1－an,1－a)　　 B．eq \f(1－an－1,1－a) C．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－an,1－a)a≠1,na＝1))　 D．eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1－an－1,1－a)a≠1,na＝1)) 【答案】C　 【解析】　∵3an＋1＋an＝0，∴eq \f(an＋1,an)＝－eq \f(1,3)．∴数列{an}是以－eq \f(1,3)为公比的等比数列．∵a2＝－eq \f(4,3)，∴a1＝4．∴S10＝eq \f(4×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))10)),1＋\f(1,3))＝3×(1－ 3－10)． 　例1.已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－eq \f(4,3)，则{an}的前10项和等于(　　) A．－6×(1－3－10)　　 B．eq \f(1,9)×(1－3－10) C．3×(1－3－10)　　 D．3×(1＋3－10) 解：(1)设此数列{an}的公比为q． 由题意知S奇＋S偶＝4S偶，∴S奇＝3S偶．∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3)． 又a1a2a3＝64，即a1(a1q)(a1q2)＝aeq \o\al(3,1)q3＝64，∴a1q＝4． 又q＝eq \f(1,3)，∴a1＝12． ∴an＝a1qn－1＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))n－1． 设数列{an}的首项为a1，公比为q，显然q≠1，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(a11－q10,1－q)＝10，,\f(a11－q20,1－q)＝30.)) 两式相除，得1＋q10＝3，∴q10＝2． ∴S30＝eq \f(a11－q30,1－q)＝eq \f(a11－q10,1－q)(1＋q10＋q20)＝10×(1＋2＋4)＝70． 2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若eq \f(S6,S3)＝3，则eq \f(S9,S6)＝ (　　) A．2　　 B．eq \f(7,3)　　 C．eq \f(8,3)　　 D．3 【解析】　∵eq \f(S6,S3)＝3，∴S6＝3S3．∴eq \f(S6－S3,S3)＝2．∵S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，∴eq \f(S9－S6,S3)＝22． ∴S9＝4S3＋S6＝7S3．∴eq \f(S9,S6)＝eq \f(7S3,3S3)＝eq \f(7,3)． 由题意，可知a6＝0， 即1.016a0－(1＋1.01＋…＋1.015)a＝0，a＝eq \f(1.016×102,1.016－1)． ∵1.016≈1.061， ∴a≈eq \f(1.061×102,1.061－1)≈1 739．故每月应支付1 739元． 设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1＝1，a2a3a4＝64． (1)求数列{an}的通项； (2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求λ的值． 解：(1)∵数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列， ∴数列{an}也是等比数列． 设数列{an}的公比为q，由a2a3a4＝aeq \o\al(3,3)＝64，解得a3＝4． ∴q2＝eq \f(a3,a1)＝4，解得q＝±2． 当q＝2时，an＝2n－1；当q＝－2时，an＝(－2)n－1． 设数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等比数列，Sn是{an}的前n项和，a1＝1，a2a3a4＝64． (1)求数列{an}的通项； (2)当数列{Sn＋λ}也是等比数列时，求λ的值． (2)当q＝2时，Sn＋λ＝eq \f(1－2n,1－2)＋λ＝2·2n－1＋λ－1， 当且仅当λ－1＝0，即λ＝1时，数列{Sn＋λ}是首项为2，公比为2的等比数列； 当q＝－2时，Sn＋λ＝eq \f(1－－2n,1－－2)＋λ＝eq \f(2,3)·(－2)n－1＋λ＋eq \f(1,3)，当且仅当λ＋eq \f(1,3)＝0，即λ＝－eq \f(1,3)时，数列{Sn＋λ}是首项为eq \f(2,3)，公比为－2的等比数列． ∴λ的值为1或－eq \f(1,3)． （1）等比数列前项和公式，对于公比未知的等比数列，应用等比数列的前项和公式时，需讨论公比是否为1； （2）等比数列前项和公式的推导：错位相减法； （3）数学思想方法的应用: ①方程思想:等比数列求和问题中的“知三求二”问题就是方程思想的重要体现； ②分类讨论思想：由等比数列前项和公式可知，解答等比数列求和问题时常常要用到分类讨论思想. $$