第03讲空间向量的应用（4大知识点+7大题型+分层练习）-2024-2025学年高二数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019选修二）

第03讲 空间向量的应用 目录 题型归纳 1 题型01 平面法向量的概念及辨析 2 题型02 求平面的法向量 5 题型03 空间位置关系的向量证明 7 题型04 空间中直线、平面的垂直 12 题型05 用空间向量研究夹角问题 15 题型06 用空间向量研究距离问题 21 题型07 空间线段点的存在性问题 26 分层练习 32 夯实基础 32 能力提升 44 知识点01空间向量法求空间中直线、平面的平行关系 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 知识点02空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 知识点03空间向量法求空间中的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 知识点04空间向量法求空间中的角 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. ③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 题型01平面法向量的概念及辨析 【例1】（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）设，，若，分别是平面，的法向量，若，则 . 【变式3】（20-21高二上·北京·期末）已知两个平面，的法向量分别是和，若，则 ． 题型02 求平面的法向量 【例2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 【变式3】（24-25高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 题型03 空间位置关系的向量证明 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【变式3】（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 题型04 空间中直线、平面的垂直 【例4】．（24-25高二上·山东济南·期中）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【变式1】（23-24高二上·北京石景山·期末）在空间直角坐标系中，点，则（    ） A．直线坐标平面 B．直线坐标平面 C．直线坐标平面 D．直线坐标平面 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面的一个法向量为，若点均在内，则 . 【变式3】（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 题型05 用空间向量研究夹角问题 【例5】（21-22高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【变式3】（24-25高二上·天津和平·期末）如图，三棱台中，侧棱平面，， (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 题型06 用空间向量研究距离问题 【例6】（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 题型07 空间线段点的存在性问题 【例7】（23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 【变式2】（23-24高二上·山东临沂·期末）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.    (1)在线段上找一点，使得平面; (2)在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知直线过点和点，则点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 2．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 3．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，，满足，，则有 C．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 三、填空题 7．（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 四、解答题 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 11．（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 12．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 2．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 6．（24-25高二上·河南·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得 C． D．若点满足，则点的轨迹长度为 三、填空题 7．（24-25高二上·陕西榆林·期末）在四面体ABCD中，，，点E在棱CD上，，F是BD的中点，若，则 ；点F到平面EAB的距离是 ． 8．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为 ． 四、解答题 9．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 10．（24-25高二上·北京·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 11．（24-25高二上·天津·期末）如图，在直三棱柱中，，是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 12．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F满足，，记． (1)当平面平面时，求的值； (2)当时，求直线与平面所成角的大小． 13．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 空间向量的应用 目录 题型归纳 1 题型01 平面法向量的概念及辨析 2 题型02 求平面的法向量 5 题型03 空间位置关系的向量证明 7 题型04 空间中直线、平面的垂直 12 题型05 用空间向量研究夹角问题 15 题型06 用空间向量研究距离问题 21 题型07 空间线段点的存在性问题 26 分层练习 32 夯实基础 32 能力提升 44 知识点01空间向量法求空间中直线、平面的平行关系 ①设分别是直线与的方向向量，则，使得. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则. ③设分别是直线与的法向量，则，使得. 知识点02空间向量法求空间中直线、平面的垂直关系 ①设分别是直线与的方向向量，则. ②设分别是直线的方向向量，是平面的法向量，则，使得. ③设分别是直线与的法向量，则. 知识点03空间向量法求空间中的距离 已知平面的法向量为，A是平面内的定点，P是平面外一点，过点P作平面的垂线l,交平面于点Q，则是直线l的方向向量，且点P到平面的距离就是在直线l上的投影向量的长度，因此 . 知识点04空间向量法求空间中的角 ①当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角. 与的夹角为β l1与l2所成的角为θ 范围 [0，π] 求法 ②设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，两向量与的夹角为，则有. ③如图①，AB，CD是二面角­l­两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为＝〈，〉； 如图②③，，分别是二面角­l­的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足. 题型01平面法向量的概念及辨析 【例1】（24-25高二上·海南·期中）已知平面以为法向量，且经过坐标原点和点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析 【分析】根据求参数的值. 【详解】由. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·广东茂名·期中）在长方体中，，，，在上．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．若平面的一个法向量为，则（    ）    A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量垂直的坐标表示 【分析】设，求出，利用求出的值，即得比值. 【详解】设，则，， 因平面的一个法向量为，则，即，解得， 故，故=． 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·陕西咸阳·期中）设，，若，分别是平面，的法向量，若，则 . 【答案】 【知识点】平面法向量的概念及辨析、空间向量平行的坐标表示 【分析】根据题意有，利用向量平行的坐标表示列方程，即可得结果. 【详解】由题意，则，故. 故答案为： 【变式3】（20-21高二上·北京·期末）已知两个平面，的法向量分别是和，若，则 ． 【答案】4 【知识点】空间向量平行的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】由，可得两平面的法向量也平行，从而列方程可求出的值，进而可求得答案 【详解】解：因为两个平面，的法向量分别是和，且， 所以，解得， 所以， 故答案为：4 题型02 求平面的法向量 【例2】（24-25高二上·重庆江北·期中）已知空间中，点，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、求平面的法向量 【分析】根据题意求出、，设平面的一个法向量为，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，，，则下列向量是平面法向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面的一个法向量为，由法向量的求法可得满足的关系式，即可判断． 【详解】设平面的一个法向量为， ∵， ∴，则， 对比各选项，可知ABD不符合，C符合． 故选：C． 【变式2】（24-25高二上·新疆省直辖县级单位·阶段练习）平面上三个点写出平面的一个法向量为 . 【答案】(答案不唯一) 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据平面的法向量的定义计算即得. 【详解】由则， 设平面的法向量为，则由,可取. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·广东广州·期中）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点，若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则平面的方程为：.由以上的理论，已知一平面和直线垂直，为其垂足，若，平面的方程式是 【答案】 【知识点】求平面的法向量 【分析】根据题设，可求得平面的法向量，注意到点在平面内，即可由平面方程得到答案. 【详解】由题意可知： 平面的法向量为，点在平面内， 根据平面的方程公式可得：， 化简得：. 故答案为：. 题型03 空间位置关系的向量证明 【例3】（24-25高二上·浙江温州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，平面，底面是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，为直线CP上的动点，，，若平面，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意可以建立空间直角坐标系，根据线面垂直，则直线的方向向量和平面的法向量互相平行即可求得比例关系. 【详解】因为平面，底面是矩形，在处建立空间直角坐标系如图所示：    设，则，所以 ， 设平面的法向量为，则，即 ，令，得，所以法向量为， 设，因为， 因为平面，则，所以，解得， 则. 故选：B 【变式1】（24-25高二上·山东泰安·期中）已知正方体中，分别为上底面和下底面的中心，则下列与和共面的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得和共面的平面的法向量，再逐项计算对应向量与法向量的数量积即可判断得解. 【详解】根据题意，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方体的棱长为， 则， ， 所以， 设和共面的平面的法向量为， 则，令，则， 对于A，，则， 所以与和共面，故A正确； 对于B，，则， 所以不与和共面，故B错误； 对于C，，则， 所以不与和共面，故C错误； 对于D，，则， 所以不与和共面，故D错误； 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·河南商丘·期中）已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，x，，则 . 【答案】10 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】根据，由求解. 【详解】解：因为平面的法向量为，平面的法向量为，且， 所以，则，解得， 所以， 故答案为：10 【变式3】（23-24高二上·广东清远·期中）如图所示，在底面是矩形的四棱锥中，底面分别是的中点，. (1)求两点间的距离； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间向量模长的坐标表示 【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合空间向量求解，进而求解； （2）利用空间向量可得，进而得到，进而根据线面平行的判定定理即可证明； （3）利用空间向量可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）由题可知，底面，， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 即两点间的距离为. （2）由（1）知，， 所以，即，即， 又平面平面， 所以平面. （3）由（2）知，，，， 所以，， 则，即， 又，且平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面. 题型04 空间中直线、平面的垂直 【例4】．（24-25高二上·山东济南·期中）已知分别是平面的法向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】根据两平面垂直可得法向量垂直，即可根据坐标运算求解. 【详解】由，所以， ，解得. 故选：D. 【变式1】（23-24高二上·北京石景山·期末）在空间直角坐标系中，点，则（    ） A．直线坐标平面 B．直线坐标平面 C．直线坐标平面 D．直线坐标平面 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】首先求向量的坐标，再判断向量与坐标平面的法向量的关系，即可判断选项. 【详解】由题意可知，， 平面的法向量为， 因为，且 所以与既不平行也不垂直，所以直线与坐标平面既不平行也不垂直， 故AB错误； 坐标平面的法向量为， ，所以，且平面，故C正确，D错误. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知平面的一个法向量为，若点均在内，则 . 【答案】 【知识点】空间向量模长的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间位置关系的向量证明 【分析】先求出向量的坐标；再根据与垂直列出等式求出；最后根据向量模的坐标求法即可求解. 【详解】由点可得. 因为平面的一个法向量为，点均在内， 所以， 则，解得. . 故答案为：. 【变式3】（20-21高二上·山东菏泽·阶段练习）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点． (1)求证：BM∥平面ADEF； (2)求证：平面BDE. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量共面定理可证明，即可证明平面； （2）由空间向量数量积为零可证明，，再由线面垂直的判定定理即可证明平面. 【详解】（1）根据题意可知平面平面，平面平面， 又是正方形，所以，平面， 所以平面，从而可得，，两两垂直； 以D为原点，分别以，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系． 则， 又为的中点，所以， 则，且平面的一个法向量为， 因为，可知， 又平面，所以∥平面. （2）因为 易知，所以； 又，可得； 又，平面， 所以平面. 题型05 用空间向量研究夹角问题 【例5】（21-22高二上·重庆云阳·期中）在三棱锥中，，，平面，点，分别为，的中点，，为线段上的点（不包括端点，），若使异面直线与所成角的余弦值为，则（   ） A．或4 B． C． D． 【答案】D 【知识点】异面直线夹角的向量求法、已知线线角求其他量 【分析】由题意与勾股定理建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，利用线线角向量公式，可得答案. 【详解】如图，在三棱锥中，，，所以． 因为平面，以为原点，，，为、、轴正方向建立空间直角坐标系． 可知，，． 因为，，所以， 所以，则．设，且， 则，可知，， 所以， ，． 因为异面直线与所成的角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去）．所以． 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·辽宁大连·期中）如图所示，在棱长为2的正方体中，为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】异面直线夹角的向量求法 【分析】以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，然后根据线线角的向量公式即可求出结果. 【详解】如图，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为2，且为中点，, 则. 所以， 设异面直线与所成角为， 则, 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·上海·期中）直棱柱中底面为直角三角形，是的中点，，则与面所成的角的正切值 ． 【答案】1 【知识点】线面角的向量求法 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，求出，求出后即可得解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， 设为平面的一个法向量， 则，即，取，则，， 所以， 设与面所成的角为， 则， ∵，∴， 所以与面所成的角的正切值为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·天津和平·期末）如图，三棱台中，侧棱平面，， (1)求证：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求直线的方向向量和平面的法向量，证明两向量平行即可； （2）求平面的法向量，求平面和平面的法向量的夹角余弦，由此可得结论. 【详解】（1）因为侧棱平面，平面， 所以，又，故两两垂直， 以为原点，所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 则 可得. 设平面的法向量为， 则， 令，可得， 所以为平面的一个法向量， 因为， 则， 所以， 所以平面. （2）为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面和平面夹角的余弦值等于 题型06 用空间向量研究距离问题 【例6】（24-25高二上·广西玉林·期中）如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间向量的坐标运算、点到直线距离的向量求法 【分析】取的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可. 【详解】取的中点，则，且， 以所在直线为轴，所在直线为轴，与中点连线所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则， 所以在上的投影的长度为， 故点到直线的距离为， 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·四川成都·期中）已知正方体的棱长为2，且满足且，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点到平面距离的向量求法、判定空间向量共面 【分析】由且，得到，E，A，C四点共面，即点E在平面上，从而的最小值为点D到平面的距离求解. 【详解】由题意得，， ∴，即， 由共面向量定理得，，E，A，C四点共面，即点E在平面上， 则的最小值为点D到平面的距离． 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， D到平面的距离， 即的最小值为． 故选：B 【变式2】（24-25高二上·湖北宜昌·期中）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若，则直线BD1与CD之间的距离为 . 【答案】 【知识点】异面直线距离的向量求法 【分析】求得与，都垂直的一个向量，利用可求直线与之间的距离. 【详解】以为轴，为轴，为轴建立空间直线坐标系，    则，，， 设与，都垂直的一个向量， 则，取，则，， 所以与BD1，CD都垂直的一个向量， 所以直线与之间的距离为. 故答案为： 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示． (1)求异面直线与所成的角的余弦值； (2)求异面直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】异面直线夹角的向量求法、异面直线距离的向量求法 【分析】（1）根据折叠前后的几何性质，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算得异面直线与所成的角的余弦值； （2）根据空间向量求直线与公垂线的方向向量，再结合空间向量坐标运算即可得异面直线与之间的距离． 【详解】（1）图①菱形，，由余弦定理得，所以， 所以，即，又，所以， 在图②中，，即，又平面 所以平面，即平面， 又平面，所以，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，故， 则异面直线与所成的角的余弦值为； （2）由（1）得，设是异面直线与公垂线的方向向量， 所以，令，则 所以异面直线与之间的距离为. 题型07 空间线段点的存在性问题 【例7】（23-24高二上·安徽黄山·期中）《九章算术》是我国古代数学名著．书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，在阳马中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分别为PD，PB的中点，，，，若AG⊥平面EFC，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，，， 设平面的法向量， 则，令，解得，， ， ， 又平面， ，，解得. 故选：C. 【变式1】（22-23高二上·广东广州·期末）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为 . 【答案】 【知识点】空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明 【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值. 【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且 则，设平面的法向量为，又 则，令，则 因为平面，所以，即， 则，所以 则， 由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·山东临沂·期末）如图，在直三棱柱中，是AB的中点，是的中点，是与的交点.    (1)在线段上找一点，使得平面; (2)在（1）的条件下，求PQ与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】点到平面距离的向量求法、空间线段点的存在性问题、空间位置关系的向量证明 【分析】（1）首先以点为原点建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，并利用参数表示向量，利用向量，即可证明线面平行； （2）根据（1）的结果，利用点到平面的距离的向量公式，即可求解. 【详解】（1）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则 ， 设平面的法向量，则，即， 令，得，是平面的一个法向量， 设， 则， 若平面，则， 从而，即，解得， ， 当为线段上靠近的三等分点时，平面; （2）由(1)知， ， 到平面的距离为. 【变式3】（22-23高二上·辽宁沈阳·期末）如图所示，是等腰直角三角形，，、都垂直平面，且． (1)证明：； (2)在平面内寻求一点，使得平面，求此时二面角的平面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、空间线段点的存在性问题 【分析】（1）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量坐标运算即可证明； （2）根据四点共面、线面垂直等求出点的坐标，再利用空间向量坐标运算即可求得二面角的平面角的正弦值. 【详解】（1）因为，、都垂直平面，如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ，则， 所以，则，故； （2）设平面的法向量为， 则，令，则 设，则，由于平面，所以，则，所以，即， 又平面，故存在实数，且满足，使得， 故，解得，所以 设平面的法向量为，又 则，令，则 设平面的法向量为，又 则，令，则， 所以，所以 则二面角的平面角的正弦值为. 【夯实基础】 一、单选题 1．（23-24高二上·江西景德镇·期末）已知直线过点和点，则点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据点线距公式求得正确答案. 【详解】， 所以点到直线的距离为： . 故选：C 2．（24-25高二上·广西玉林·期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则与的关系是（    ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】A 【分析】根据方向向量与法向量平行，即可判断. 【详解】由向量，得， 所以，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·陕西榆林·期末）已知正四棱锥的各棱长均相等，点E是的中点，点F是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设相交于点O，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出直线和的坐标，利用向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】设相交于点O，根据题意，以所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 不妨设，则，， 则，，，，， 因为点E是的中点，点F是的中点， 所以，， 所以，， 则， 因为异面直线夹角的取值范围是, 所以异面直线和所成角的余弦值是． 故选:D． 4．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面所成角的正弦值. 【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， 因为直线的方程为，故其方向向量为， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B. 二、多选题 5．（24-25高二上·四川成都·期末）在空间直角坐标系中，，则（    ） A． B．点到直线的距离为 C． D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解A，根据点到直线的距离公式即可求解B，根据模长公式即可求解C，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解D. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：取， 点到直线的距离，故B正确； C选项：，故C正确； D选项：，设平面的法向量为， 故，取，则，故D错误； 故选:BC. 6．（23-24高二上·四川绵阳·期末）下列关于空间向量的命题中，正确的有（    ） A．将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面 B．若非零向量，，满足，，则有 C．与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量 D．若，，为空间的一组基底，且，则，，，四点共面 【答案】AC 【分析】对于ABC，由单位向量、法向量的定义即可判断；对于D，由四点共面的充要条件判断即可. 【详解】对于A，由单位向量的定义：长度为1的向量，可得将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，故A正确； 对于B，若非零向量，，不共面，则取为平面的一组基底向量，为平面的法向量满足，，但不共线，故B错误； 对于C，由法向量的定义可知与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量，故C正确； 对于D，因为，所以，，，四点不共面，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 7．（24-25高二上·上海黄浦·期末）直三棱柱中，若，，则异面直线与所成角的余弦值为 . 【答案】/ 【分析】根据题意可得两两互相垂直，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【详解】因为在直三棱柱中，， 所以两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系， 因为，设， 所以，，， 所以，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 8．（23-24高二上·安徽宣城·期末）在空间直角坐标系中，已知向量，点，点.若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点，则点的坐标满足的关系式为 . 【答案】 【分析】由法向量的定义可知，由此即可得解. 【详解】由题意，若平面经过点，且以为法向量， 则，即点的坐标满足的关系式为. 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）如图，在长方体中，，，． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量的数量积为零证明，，再由线面垂直的判定定理得到即可； （2）求出平面的法向量，代入空间线面角公式求解即可； 【详解】（1）由长方体可知，，两两垂直，以为坐标原点， 向量，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 有，，，，，，． 因为，，， 所以，， 所以，， 又因为，平面，所以平面； （2）设平面的法向量为， 由，，有 取，，，可得平面的一个法向量为， 设直线与平面所成的角为， 因为，所以， ，， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为． 10．（22-23高二上·贵州黔东南·期中）如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点． (1)求证：EF//平面ABCD； (2)求直线DE，BF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据平行线的传递先证明线线平行，继而证明线面平行； （2）以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，根据空间角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明：如图连 ∵几何体为正方体， ∴， ∴EF∥BD ∵EF∥BD，平面ABCD，平面ABCD， ∴平面ABCD； （2）解：以D为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系 令，可得点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，点B的坐标为， ， DE，BF所成角的余弦值为 11．（24-25高二上·广东惠州·期中）直三棱柱中，，，，分别是的中点．    (1)求的值； (2)求证：⊥平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用数量积的坐标运算求的值； （2）利用向量法证明线线垂直，可证线面垂直. 【详解】（1）直三棱柱中，平面，又， 以点为坐标原点，、、所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，    依题意得，， ∴，，，，， 所以； （2）求得，． ∴，，， ∴，， ∴，，即， 又平面，平面，， ∴⊥平面． 12．（22-23高二上·广东广州·期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.    【答案】（答案不唯一） 【分析】利用求解平面的法向量的方法进行求解即可. 【详解】因为正方体的棱长为3，， 所以，，，则，， 设是平面的法向量，则，， 所以， 取，则，，故， 于是是平面的一个法向量（答案不唯一）． 13．（24-25高二上·河北石家庄·期中）如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直证平面，利用线面垂直的性质易得； （2）依题建系，写出相关点坐标，求出相关向量坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （3）利用（2）中建系，分别求出两个半平面的法向量，再根据空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）因平面平面，平面平面, 由底面是正方形，可知,且平面,则平面， 又平面，故； （2） 如图，分别取的中点为，连接. 因，则, 因平面平面，平面平面, 且平面，则平面， 又,故可分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则， 于是，, 设平面的法向量为， 则，故可取； 因,设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为； （3）由（2）建系，则, 设平面的法向量为， 则，故可取， 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 【能力提升】 一、单选题 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图，已知菱形所在平面与矩形所在平面相互垂直，且，为线段的中点.则直线与的所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立适当的空间直角坐标系，得出即可求解. 【详解】设菱形对角线相交于点，则为的中点，， 又为矩形的边的中点. 所以， 又面面，，面， 所以面，所以面， 又面， 所以， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系：    不妨设，， 则， 所以，所以， 所以直线与的所成的角为. 故选：B. 2．（21-22高二上·上海浦东新·期末）如图，在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体的棱长，表达出，判断在是严格减函数，从而求出最值，得出取值范围. 【详解】设正方体的棱长为2，建立如图空间直角坐标系. 则，设， 得， 设平面的法向量为， 得，取，得， 所以 ， 因为，所以在上单调递减， 且， 由复合函数的单调性可知在单调递增， 所以的值在时是随着a的增大而减小， 故当时，取得最小值，为； 故当时，取得最大值，为； 所以的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二上·辽宁·期末）如图，正方形的棱长为分别是的中点，是四边形内一动点，，若直线与平面没有公共点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，设，由空间向量法求出点轨迹方程，然后再由向量的模的坐标表示求得模，再化为关于的函数，结合函数知识得最小值． 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则， ，. 设平面的法向量为， 则，即 令，可得. 设，则. 因为直线与平面没有公共点，所以平面，则， 所以，即. 当时，取得最小值，最小值为 故选：D 4．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是看两平面法向量夹角是否固定不变，由此即可顺利得解. 二、多选题 5．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在正方体中，为底面的中心，E，F分别为，的中点，P点满足，则（    ） A．平面 B．平面 C． D．P，G，E，F四点共面 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算判断ABC；求出点坐标，再推导出判断D. 【详解】在正方体中，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 令，则，， 则，，，， 设平面的法向量，则，令，得， 对于A，，且平面，则平面，A正确； 对于B，，平面，则平面，B正确； 对于C，，，，， 则，C错误； 对于D，由，得， 即，则，，即， 因此，即四点共面，D正确. 故选：ABD. 6．（24-25高二上·河南·期中）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得的周长为7 B．存在点，使得 C． D．若点满足，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD． 【详解】延长到，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确； ， ， , ， ，C正确； ，， ，则．即， 所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行． 三、填空题 7．（24-25高二上·陕西榆林·期末）在四面体ABCD中，，，点E在棱CD上，，F是BD的中点，若，则 ；点F到平面EAB的距离是 ． 【答案】 0 【分析】利用空间向量的线性运算表示，根据空间向量基本定理得到的值即可得到的值；以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量结合点到平面的距离公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴， ∵，∴，，， ∴． 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，，， 设平面EAB的法向量为，则， 取，则，，∴， ∴点F到平面EAB的距离是． 故答案为：0；. 8．（22-23高二上·广东深圳·期末）如图，在直角中，，，为斜边上异于、的动点，若将沿折痕翻折，使点折至处，且二面角的大小为，则线段长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】过点在平面内作直线，垂足为点，过点在平面内作直线，垂足为点，记，则，利用空间数量积的运算性质可得出，即可求得的最小值. 【详解】过点在平面内作直线，垂足为点， 过点在平面内作直线，垂足为点，如下图所示： ，， 记，则，，则，， 因为二面角的大小为，则、的夹角为， ， 且， 所以， ， 即，当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法： （1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果； （2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果. 四、解答题 9．（24-25高二上·云南文山·期末）如图，已知在四棱柱中，底面为梯形，，底面，，其中，，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用空间位置关系的向量表示可得结论； （2）求出两平面的法向量，再由面面角的向量求法计算可得结果； （3）利用点到平面距离的向量求法计算即可. 【详解】（1）由底面，可得以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 可得,； 则，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即， 因为，可得， 且平面， 所以平面 （2）设平面的一个法向量为， 则则，解得，令，可得， 即， 所以 因此平面与平面夹角的余弦值为； （3）易知， 平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 10．（24-25高二上·北京·期中）如图，四棱锥P-ABCD中，平面.    (1)若，求证：平面平面PCD； (2)若AD=DC，PB中点为，试问在棱CD上是否存在点，使，若存在，指出点位置，若不存在说明理由； (3)若与平面PBC成角大小，求DC边长. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直及面面垂直的判定定理证明可得结论； （2）利用空间向量的位置关系证明，建立空间直角坐标系即可得出结论； （3）根据线面角的向量求法得出表达式，解方程即可得出DC边长. 【详解】（1）因为平面平面ABCD， 所以， 又，所以 又平面PAD 所以平面PAD， 又平面PCD， 所以平面平面PCD. （2）因为平面，所以AP，AB，AC两两垂直，如图建立空间直角坐标系 设，则， 则 设， ， 假设存在满足，因为等价于， 解得，所以不存在 （3）因为，所以，   ， 设，其中，又， ， 设平面PBC法向量，依题意，即 令则，所以， 因为PD与平面PBC成角大小，所以 或， 即 又，此方程组无解 综上可得. 11．（24-25高二上·天津·期末）如图，在直三棱柱中，，是棱BC的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法证明线面平行. （2）结合（1）中的法向量，利用向量夹角余弦公式求解两个平面夹角的余弦值即可. （3）根据点到平面的向量公式求解点面距离即可. 【详解】（1） 根据题意，建立以为原点， 分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系， 因为侧棱的长为， 所以， 因为是棱BC的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 所以，得，令，得， 所以， 因为，所以， 因为平面，所以平面. （2）设平面与平面的夹角为， 由（1）得平面的一个法向量为， 由于平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（1）得平面的一个法向量为，， 所以， 所以点到平面的距离为. 所以点到平面的距离为． 12．（24-25高二上·陕西榆林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F满足，，记． (1)当平面平面时，求的值； (2)当时，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，再由面面垂直得到法向量的数量积为零求解即可； （2）由空间线面角公式再结合特殊角的三角函数值计算即可； 【详解】（1）在直三棱柱中，，， 又，故以A为坐标原点，直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图所示）， 则，，， 所以，，，． 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，所以， 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，，所以， 因为平面平面，所以， 所以，即，， 所以． （2）当时，，结合（1），得，， 设直线与平面所成角为， 所以， 又，所以． 13．（24-25高二上·湖北·阶段练习）如图1，在直角梯形中，已知，，将沿翻折，使平面平面.如图2，的中点为.    (1)求证：平面； (2)若的中点为，在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点位于线段靠近的三等分点处 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； （2）分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，设，，利用面面角的空间向量公式列出方程求解即可. 【详解】（1）因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面； （2）取的中点为，连接，则， 由图1直角梯形可知，为正方形， ，，，，. 由（1）平面，可知，，两两互相垂直，分别以，，为，，轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，， 设， ， 设平面的法向量为， 取，则.即平面的法向量为， 由平面，取平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，则 ， 解得或（舍）. 所以，线段上存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.点位于线段靠近的三等分点处. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$