第07讲 弧长与扇形面积（4个知识点+6种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级数学下册核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第07讲 弧长与扇形面积（4个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点4．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一、求弧长 1．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求弧长 【分析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，的长为, 故选：C． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ． 【答案】 【知识点】等边对等角、求弧长 【分析】本题考查圆的基本知识，弧长公式，连接，，由，，可知，进而得，可知，易得，再利用弧长公式即可求解．根据等边对等角结合题意求得是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴劣弧的长为． 故答案为：． 3．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】求弧长、根据正方形的性质证明、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、圆周角定理 【分析】（1）根据四边形是正方形，为直径，得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据弧长公式即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，为的直径， ∴， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：连接，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是边长为4的正方形 ∴ ∴的长度为． 【点睛】本题考查了弧长的计算，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，圆周角定理，熟练掌握弧长的计算公式是解题的关键． 题型二、求扇形半径 4．（22-23九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】B 【知识点】求扇形半径 【分析】根据扇形的弧长与圆的周长相等，列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得， 故选：B 【点睛】本题考查扇形弧长公式，圆的周长，掌握扇形弧长公式，圆的周长公式，抓住扇形弧长与圆的周长相等构造等式是解题关键． 5．（2021·安徽宿州·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ ． 【答案】30° 【知识点】求扇形半径、半圆（直径）所对的圆周角是直角 【分析】连接AB，根据圆周角定理得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD，连接OE，OD，设∠DOE＝α，根据弧长公式得到α＝30°，于是得到结论． 【详解】解：连接AD， ∵AB为⊙O的直径， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC＝2， ∴∠CAD＝∠BAD， 连接OE，OD， 设∠DOE＝α， ∵劣弧DE的长为， ∴＝， ∴α＝30°， ∴∠CAD＝15°， ∴∠BAC＝2∠CAD＝30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了圆周角定理的应用，考查了弧长的有关计算，考查了数学运算能力． 题型三、求某点的弧形运动路径长度 6．（19-20九年级·全国·单元测试）在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、用勾股定理解三角形 【分析】根据勾股定理可将AB的长求出，点B所经过的路程是以点A为圆心，以AB的长为半径，圆心角为90°的扇形． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=， ∴点B所走过的路径长为= 故选D． 【点睛】本题主要考查了求弧长，勾股定理，解题关键是将点B所走的路程转化为求弧长，使问题简化． 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)将向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到； (2)画出绕点按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的，则点旋转过程中的路径长为　　　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、用勾股定理解三角形、画旋转图形、平移(作图) 【分析】本题考查了平移与旋转的性质，勾股定理，弧长公式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）按平移要求进行作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可，然后根据弧长公式计算解题． 【详解】（1）如图，即为所作； （2）如图，即为所作； ， ∴点旋转过程中的路径长为． 故答案为：． 题型四、求扇形面积 8．（2023·安徽安庆·三模）如图，点在半圆上，直径，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求扇形面积、求其他不规则图形的面积 【分析】作交于，交于，先求出，从而得到，再根据扇形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作交于，交于，    ， 四边形为矩形， ， ，， ，， ， ，， ， ，， ，， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了计算阴影部分的面积，扇形面积的计算，添加适当的辅助线，将阴影部分面积进行转换，得到，熟练掌握扇形面积的计算公式，是解题的关键． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，，是以为直径的半圆的三等分点，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、等边三角形的判定和性质、求扇形面积 【分析】本题考查了扇形面积的计算，解答本题的关键是将阴影部分的面积转化为扇形的面积，难度一般．连接、，根据，是以为直径的半圆周的三等分点，可得，是等边三角形，将阴影部分的面积转化为扇形的面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、． ∵，是以为直径的半圆的三等分点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（21-22九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD． （1）求证：AC＝BD； （2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）OC的长为1cm. 【知识点】圆的基本概念辨析、全等的性质和SAS综合（SAS）、求扇形面积 【分析】（1））如图，记与小扇形交于 证明再证明从而可得答案； （2）由（1）可得：证明 再利用，列方程求解即可. 【详解】解：（1）如图，记与小扇形交于 圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起， （2） 阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm， ， 整理得： 解得： （负根舍去） 所以OC的长为1cm. 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆的基本性质，扇形面积的计算，证明是解本题的关键. 题型五、求图形旋转后扫过的面积 10．（19-20九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，将绕点旋转60°得到．已知，，则线段扫过的图形面积(阴影部分)为 ．    【答案】 【知识点】求图形旋转后扫过的面积 【分析】由于将△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，在计算其差即可． 【详解】解：从图中可以看出，线段扫过的图形面积为一个环形，环形中的大圆半径是，小圆半径是，圆心角是60度，所以阴影面积=大扇形面积-小扇形面积= 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键． 11．（2023·安徽六安·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：    (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的； (2)求旋转到的过程中，点C所经过的路径长为_____；边扫过的图形面积为_____． 【答案】(1)图见详解 (2)， 【知识点】求某点的弧形运动路径长度、根据旋转的性质求解、求图形旋转后扫过的面积 【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置画出图形即可； （2）根据弧长计算公式求出点所经过的路径即可．根据线段旋转得到的过程中，线段所扫过的面积为，进而求出即可． 【详解】（1）解：所作图形如图所示：   ； （2）解：点所经过的路径长为：； 所扫过的面积． 故答案为，． 【点睛】此题主要考查了图形的平移与旋转和弧长公式、扇形面积公式应用，根据已知得出对应点位置是解题关键． 题型六、求弓形面积 12．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（    ） A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4 【答案】B 【知识点】根据正方形的性质求面积、求弓形面积 【分析】根据阴影部分形状为不规则图形，连接BD，EF，将阴影部分面积转化可得阴影部分面积等于扇形面积减去三角形面积即可． 【详解】解：连接BD，EF，如图， ∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点， 由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB． ∵点E，F分别为BC，AD的中点， ∴， ∴，， ∴弓形OB＝弓形OD， ∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积． ∴， 故选：B． 【点睛】题目主要考查计算不规则图形面积，作出辅助线，利用扇形面积公式及三角形面积公式求解是解题关键． 13．（九年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，点是以为直径的半圆的三等分点， ，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积、求弓形面积 【分析】连接OC,用扇形OBC的面积减去的面积即可. 【详解】如图：连接OC, 点是以为直径的半圆的三等分点， 是等边三角形， S扇形OBC 则阴影部分的面积为：. 故答案为 【点睛】考查不规则图形面积的计算，掌握扇形的面积公式是解题的关键. 14．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、根据旋转的性质说明线段或角相等、求弓形面积 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，根据等边对等角可得，，再根据等边对等角和三角形内角和定理可得，从而得证； （2）根据扇形面积减三角形面积计算即可． 【详解】（1）证明：∵弦绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设的半径为， 由（1）知：是等腰直角三角形， ∵， ∴，即， 解得：， ∴图中阴影部分的面积： ， ∴图中阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，勾股定理，扇形和三角形面积的计算，熟练掌握旋转的性质和扇形面积的计算是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【知识点】圆锥的计算 【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径是r，半径为6的半圆的弧长是6π， 则得到2πr=6π， 解得：r=3， 这个圆锥的底面半径是3． 故选：D． 【分析】半径为6的半圆的弧长是6π，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，因而圆锥的底面周长是6π，然后利用弧长公式计算． 2．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥的计算 3．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（　　） A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2 【答案】B 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：∵扇形花圃的圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3cm， ∴花圃的面积为＝3π， 故答案为：B. 【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可. 4．现有一圆心角为90°，半径为12cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（　　） A．cm B．2cm C．3cm D．6cm 【答案】C 【知识点】弧长的计算 【解析】【解答】解：=2πR， 解得R=3cm， 再利用勾股定理可知， 高=3cm． 故选C． 【分析】利用底面周长=展开图的弧长可得． 5．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（　　） A．3m B． m C． m D．4m 【答案】C 【知识点】几何体的展开图；两点之间线段最短；圆锥的计算 【解析】【解答】如图所示： 圆锥的底面周长是6π，则 ∴n=180∘，即圆锥侧面展开图的圆心角是 则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6， ∴在圆锥侧面展开图中 故小猫经过的最短距离是 故答案为：C. 【分析】根据题意可知要求小猫所经过的最短路程长，转化为圆锥的侧面展开图的问题，即转化为平面上两点之间的距离问题。根据圆锥的底面圆的周长等于展开扇形的弧长，求出圆心角的度数，再根据勾股定理，在Rt△ ABP中，求出BP的长， 6．如图，一个较大的圆内有个半径为的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影区域为在大圆内但在所有小圆外的部分，则阴影区域的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】切线的性质；圆与圆的位置关系；扇形面积的计算；已知正切值求边长 7．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 【答案】C 【知识点】弧长的计算；旋转的性质 【解析】【解答】解：根据题意得：l= =3πcm， 则重物上升了3πcm， 故选C 【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式计算即可．此题考查了旋转的性质，以及弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键． 8．用一个半径为3，面积为6π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（　　） A．π B．2π C．2 D．1 【答案】C 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：根据扇形的面积公式可得，S=πrl，即可得到3πr=6π ∴r=2 故答案为：C. 【分析】根据扇形的面积，计算得到答案即可。 9．现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40 厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（　　）厘米．（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米， ≈1.41， ≈1.73） A．64 B．67 C．70 D．73 【答案】A 【知识点】弧长的计算；圆锥的计算 【解析】【解答】解：设小圆半径为r，则：2πr= ， 解得：r=10 ， ∴正方形的对角线长为：40 +10 +10 × =50 +20， ∴正方形的边长为：50+10 ≈64， 故答案为：A． 【分析】由圆锥的底面圆周长=圆锥展开后的扇形的弧长可列方程求解，即2πr=. 10．如图，矩形 中， 是 上一点，连接 ，将矩形沿 翻折，使点 落在 边 处，连接 ，在 上取点 ，以 为圆心， 长为半径作⊙O与 相切于点 .若 ， ，则下列结论：① 是 的中点；②⊙O的半径是2；③ ；④S阴影 .其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：①∵ 是 翻折而来， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ 是 中点；故①正确； ②如图，连接 ， ∵ 与 相切于点 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设 ， 则 ， 解得： ，故②正确； ③∵ 中， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故③错误； ④如图，连接 ，作 ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形； 同理 为等边三角形； ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ .故④正确； ∴正确的结论有①②④，共3个. 故答案为：C. 【分析】①易求得DF长度，即可判定；②连接OP ，易证OP∥CD，根据平行线性质即可判定；③易证AE=2EF ，EF=2EC即可判定；④连接OG ，作 OH⊥FG，易证△OFG为等边三角形，即可求得即可解题. 二、填空题 11．一个扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则该扇形的半径是　 　. 【答案】6cm 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：设扇形半径为r，则 ，解得：r=6（cm）．故答案为：6cm． 【分析】设扇形半径为r，根据扇形的面积计算公式及扇形的面积列出方程，求解即可得出答案。 12．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为　 　． 【答案】 【知识点】等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，连接 AG、GE ∵ ∴△AEG是等边三角形 ∴ ∵ ， ∴ ∴ 故答案为： ． 【分析】连接AG、GE，易知△AEG是等边三角形，可得∠GAE=GEA=60° ，由 ，，即S1=S2，利用扇形面积公式求得S1和S2，最后由代入数据即可求出阴影部分的面积. 13．某扇形的面积为6π，弧长为3π，此扇形的圆心角的度数为　 　． 【答案】135° 【知识点】扇形面积的计算 【解析】【解答】解：设扇形的圆心角是n°，半径为R， ∵扇形的面积为6π，弧长为3π， ∴ R＝6π， 解得：R＝4， 则由扇形的面积公式得： ＝6π， 解得：n＝135， 即扇形的圆心角是135°， 故答案为：135°． 【分析】先利用扇形的面积公式S=lR=6π，可求出扇形半径，再利用利用扇形的面积公式S==6π，即可求出圆心角的度数. 14．如图，等边中，，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点E，F，则图中阴影部分的面积是　 　． 【答案】 【知识点】扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法 【解析】【解答】解：如图，连接，， 图中阴影部分的面积的面积半圆的面积2（扇形的面积的面积扇形的面积的面积）， 由题意可知， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 图中阴影部分的面积= ， 故答案为：． 【分析】连接OE，OF，利用割补法可得图中阴影部分的面积=，再计算即可。 三、解答题 15．将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径是10厘米的“痩长”形圆柱，高变成了多少？ 【答案】解：设高变成了x厘米，根据题意得 π×102×9＝π×52·x.解得x＝36. 答：高变成了36厘米． 【知识点】圆柱的计算 【解析】【分析】根据题意义可知锻压前后圆柱的底面半径，高，体积=底面积×高，根据两个圆柱的体积相等可得方程求解即可。 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形） （1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长． 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求； （2）如图，△A2B2C2即为所求； 由勾股定理得，OA==， 点A旋转到点A2所经过的路径长为：=． 【知识点】弧长的计算；作图﹣平移；作图﹣旋转 【解析】【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可； （2）根据网格结构找出点A、B、CABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再利用勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解． 17．如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为，高为． （1）如图①，小明通过按压点打开杯盖注入热水（点，为对应点）．若，求点的运动路径长． （2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点距离桌面的距离．（参考数据，） 【答案】（1）点的运动路径长为， （2）此时杯子最高点距离桌面的距离为． 【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用 18．如图，MN为⊙O的直径，MN=6．AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD．若与的度数和为120°，求图中两块阴影部分的面积和． 【答案】解：如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB=α，∠DOC=β． ∵MN为⊙O的直径，MN=6， ∴⊙O的半径为3， ∵AB∥MN∥CD， ∴S△ODC=S△CDN，S△AOB=S△ABN， ∴S阴=S扇形OAB+S扇形ODC ∵与的度数和为120°， 即α+β=120°， 故S阴=3π. 【知识点】平行线之间的距离；扇形面积的计算 【解析】【分析】如图，连接OA，OB，OD，OC．设∠AOB=α，∠DOC=β．结合题意可得O的半径为3；根据平行线之间的距离处处相等可得S△ODC=S△CDN，S△AOB=S△ABN，即可推得S阴=S扇形OAB+S扇形ODC，结合扇形的面积公式即可求解. 19．放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史，它最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，，，．直线与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）求点H的坐标． （3）以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 【答案】（1），点． （2） （3）阴影部分的面积为． 【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算 20．如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E． （1）若∠DBC＝α，求∠DCE（用含α的代数式表示）； （2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF． ①求证：EB＝EG； ②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值． 【答案】（1）解：如图，连结OD， ∵∠DOC＝2∠DBC＝2α， 又∵OD＝OC， ∴∠DCE＝90°-α； （2）解：①∵∠ABD＝∠CBF， ∴∠EBG＝∠ABD+∠DBF＝∠CBF+∠DBF＝∠DBC， 设∠DBC＝α， 由（1）得：∠DCE＝90°-α， ∵BF⊥AC， ∴∠FGC＝∠BGE＝α， ∴∠EBG＝∠EGB， ∴EB＝EG； ②如图，作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，如图： 由①得：∠EBG＝α，∠ACE＝90°-α， ∵BF⊥AC ∴∠A＝90°-α， ∴AE＝CE＝5， ∵EN⊥AC，AC＝8， ∴， ∴， ∵EM⊥BF，NF⊥BF，EN⊥AC， ∴四边形EMFN为矩形， ∴EN＝MF＝3， ∵EB＝EG，EM⊥BG， ∴BM＝GM， ∴FG+FB＝FM-MG+FM+BM＝2FM＝6． 【知识点】圆的综合题 【解析】【分析】（1）连结OD，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半可得∠DOC＝2α；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等；结合三角形内角和是180°即可求解； （2）①根结合题意可得∠EBG＝∠DBC，设∠DBC＝α，则∠DCE＝90°-α；根据三角形内角和是180°可求得∠FGC＝∠BGE＝α，推得∠EBG＝∠EGB；根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底角所对的边相等可得EB＝EG； ②作EM⊥BF于点M，EN⊥AC于点N，根据三角形内角和是180°，求得∠A＝90°-α，根据有两个角相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形底角所对的边相等可得AE＝CE＝5；根据等腰三角形底边上的中线，顶角的角平分线，底边上的高重合可得CN＝4；根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方可求出EN=3；根据有三个角是直角的四边形是矩形，矩形的对边相等可得EN=MF=3；根据等腰三角形的性质可得BM=GM，即可求解. 21．如图，在中，直径，垂足为E，点M在上，的延长线交于点G，交过C的直线于F，（即：），连接与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若点M是的中点，的半径长为4，，求的长． 【答案】（1）证明：∵中，， ∴． 在中，，， ∴，即， ∵是的半径， ∴是的切线 （2）证明：∵是直径， ∴， ∴，即． ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：∵的半径为4，即， ， ∴． 由勾股定理可得：， ∵是直径，， ∴由垂径定理得：． ∵点M是的中点， ∴， ∵， ∴，即． ∴ 【知识点】圆的综合题；相似三角形的判定与性质 【解析】【分析】（1）由等边对等角可得∠B=∠BCO，然后由直角三角形两锐角互余可得∠2+∠B=90°，于是∠OCF=∠BCO+∠1=∠2+∠B=90°，根据圆的切线的判定可求解； （2）由题意易证△ACM∽△DCN，于是可得比例式； （3）由线段的构成易得BE、AE的值，在Rt△COE中，用勾股定理可求得CE的值，在Rt△CEA中，用勾股定理可求得CA的值，由垂径定理可求得CD=2CE的值，由（2）中的比例式可求得CN的值，再由线段的构成BN=BC-CN可求解. 22．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）求的长； （2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 【答案】（1）∵是的直径， ∴， ∵的平分线交于， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （2）， 证明如下：延长到，使，连接， ∵，， ∴， 在△ADF和△BDC中， ， ∴， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴ （3）连接，， ∵， ∴， ∵点为的内心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况）： 设弧所在圆的圆心为， ∵， ∴， ∴， ∴的长为， ∴点的路径长为． 【知识点】勾股定理；圆周角定理；弧长的计算；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）先根据圆周角定理得到，从而根据角平分线的定义得到，再根据勾股定理结合题意即可求解； （2）延长到，使，连接，先根据等量代换得到，进而根据三角形全等的判定与性质证明得到，，从而根据等腰直角三角形的性质即可求解； （3）连接，，根据三角形的外心结合题意即可得到，进而证明得到，故在以为弦，并且所对的圆周角为的两段劣弧上（分左右两种情况），进而结合题意根据圆周角定定理，弧长的计算公式求出的长，从而即可求解。 23．如图，在中，，，，O是的中点，D是线段上一点，以O为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到扇形． （1）如图1，若点D与点B重合， ①判断：点C　 　上（填“在”或“不在”）； ②求A，E两点间的距离． （2）如图2，设交于点，交于点G，若于点O，求阴影部分的面积； （3）当扇形所在圆与的边相切时，求的长． 【答案】（1）①在 ②10 （2） （3）或 【知识点】切线的性质；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义；解直角三角形 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 弧长与扇形面积（4个知识点+6种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．弧长的计算 （1）圆周长公式：C＝2πR （2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R） ①在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位． ②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长． ③题设未标明精确度的，可以将弧长用π表示． ④正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一． 知识点2．扇形面积的计算 （1）圆面积公式：S＝πr2 （2）扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形． （3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则 S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长） （4）求阴影面积常用的方法： ①直接用公式法； ②和差法； ③割补法． （5）求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 知识点3．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点4．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型强化 题型一、求弧长 1．（2024·安徽·中考真题）若扇形的半径为6，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作恰好经过点B，交于点D，交于点E，若，，则劣弧的长为 ． 3．（2024·安徽六安·三模）如图，四边形是边长为4的正方形，以边为直径作，点E在边上，连接交于点F，连接并延长交于点G．    (1)求证：； (2)若，求劣弧的长．(结果保留) 题型二、求扇形半径 4．（22-23九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆形的半径为1，扇形的圆心角等于，则这个扇形的半径的值是（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 5．（2021·安徽宿州·一模）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，以AB为直径的⊙O，交AC于E点，交BC于D点．若劣弧DE的长为，则∠BAC＝ ． 题型三、求某点的弧形运动路径长度 6．（九年级·全国·单元测试）在中，，，．把绕点顺时针旋转后，得到，如图所示，则点所走过的路径长为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·三模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)将向上平移4个单位、再向左平移2个单位得到； (2)画出绕点按逆时针方向旋转90°，在网格中画出旋转后的，则点旋转过程中的路径长为　　　　　． 题型四、求扇形面积 8．（2023·安徽安庆·三模）如图，点在半圆上，直径，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 9．（2024·安徽蚌埠·三模）如图，，是以为直径的半圆的三等分点，，则阴影部分的面积是 ． 13．（21-22九年级·安徽淮南·阶段练习）如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD． （1）求证：AC＝BD； （2）若图中阴影部分的面积是πcm2，OA＝2cm，求OC的长． 题型五、求图形旋转后扫过的面积 10．（九年级下·安徽亳州·阶段练习）如图，将绕点旋转60°得到．已知，，则线段扫过的图形面积(阴影部分)为 ．    11．（2023·安徽六安·二模）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，请按要求完成下列步骤：    (1)画出将绕点B按逆时针方向旋转后所得到的； (2)求旋转到的过程中，点C所经过的路径长为_____；边扫过的图形面积为_____． 题型六、求弓形面积 12．（2022·安徽合肥·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点，以C为圆心，2为半径作弧BD，再分别以E、F为圆心，1为半径作弧BO、弧OD，则图中阴影部分的面积为（    ） A．π-1 B．π-2 C．π-3 D．4 13．（九年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，点是以为直径的半圆的三等分点， ，则图中阴影部分的面积是 ． 14．（2023·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到，此时点的对应点落在上，延长，交于点．    (1)证明：； (2)若，求图中阴影部分的面积． 分层练习 一、单选题 1．一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为（　　） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 2．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（　　） A． B． C． D． 3．如图，为了美化校园，学校在一块边角空地建造了一个扇形花圃，扇形圆心角∠AOB＝120°，半径OA为3m，那么花圃的面积为（　　） A．6πm2 B．3πm2 C．2πm2 D．πm2 4．现有一圆心角为90°，半径为12cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为（　　） A．cm B．2cm C．3cm D．6cm 5．如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程长为（　　） A．3m B． m C． m D．4m 6．如图，一个较大的圆内有个半径为的小圆，所有的交点都为切点，图中阴影区域为在大圆内但在所有小圆外的部分，则阴影区域的面积为（　　） A． B． C． D． 7．如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（　　） A．πcm B．2πcm C．3πcm D．5πcm 8．用一个半径为3，面积为6π的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径为（　　） A．π B．2π C．2 D．1 9．现在把一张正方形纸片按如图方式剪去一个半径为40 厘米的圆面后得到如图纸片，且该纸片所能剪出的最大圆形纸片刚好能与前面所剪的扇形纸片围成一圆锥表面，则该正方形纸片的边长约为（　　）厘米．（不计损耗、重叠，结果精确到1厘米， ≈1.41， ≈1.73） A．64 B．67 C．70 D．73 10．如图，矩形 中， 是 上一点，连接 ，将矩形沿 翻折，使点 落在 边 处，连接 ，在 上取点 ，以 为圆心， 长为半径作⊙O与 相切于点 .若 ， ，则下列结论：① 是 的中点；②⊙O的半径是2；③ ；④S阴影 .其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．一个扇形的面积为12πcm2，圆心角为120°，则该扇形的半径是　 　. 12．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，以点A为圆心，AD长为半径作，交AB于点E，以AB为直径的半圆恰好与DC相切，则图中阴影部分的面积为　 　． 13．某扇形的面积为6π，弧长为3π，此扇形的圆心角的度数为　 　． 14．如图，等边中，，点O为的中点，以O为圆心，以为半径作半圆，交于点E，F，则图中阴影部分的面积是　 　． 三、解答题 15．将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆柱，锻压成底面直径是10厘米的“痩长”形圆柱，高变成了多少？ 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（1，﹣4），B（3，﹣3），C（1，﹣1）．（每个小方格都是边长为一个单位长度的正方形） （1）将△ABC沿y轴方向向上平移5个单位，画出平移后得到的△A1B1C1； （2）将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2，并直接写出点A旋转到点A2所经过的路径长． 17．如图为一种翻盖式圆柱形茶杯，底面直径为，高为． （1）如图①，小明通过按压点打开杯盖注入热水（点，为对应点）．若，求点的运动路径长． （2）如图②，将茶杯支在桌子上，当杯底倾斜到与桌面呈时，恰好将热水倒出，求此时杯子最高点距离桌面的距离．（参考数据，） 18．如图，MN为⊙O的直径，MN=6．AB，CD为弦，且AB∥MN∥CD．若与的度数和为120°，求图中两块阴影部分的面积和． 19．放风筝是人们非常喜欢的一种传统游戏活动，至今已有两千多年的历史，它最早是用来祈福和观测气象变化的，后来逐渐演变为娱乐和竞技的工具．数学中有一种四边形，酷似风筝形状，故名“筝形”．如图，在平面直角坐标系中，四边形是一个“筝形”，已知垂直平分于点H，，，．直线与反比例函数的图象交于点A，，点C在反比例函数第三象限的图象上，点H在y轴上． （1）求反比例函数的解析式及点A的坐标． （2）求点H的坐标． （3）以A为圆心，的长为半径作，直接写出图中阴影部分的面积． 20．如图，在△ABC中，D在边AC上，圆O为锐角△BCD的外接圆，连结CO并延长交AB于点E． （1）若∠DBC＝α，求∠DCE（用含α的代数式表示）； （2）如图2，作BF⊥AC，垂足为F，BF与CE交于点G，已知∠ABD＝∠CBF． ①求证：EB＝EG； ②若CE＝5，AC＝8，求FG+FB的值． 21． 如图，在中，直径，垂足为E，点M在上，的延长线交于点G，交过C的直线于F，（即：），连接与交于点N． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若点M是的中点，的半径长为4，，求的长． 22．如图，的直径为，弦为，的平分线交于点． （1）求的长； （2）试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）连接，为半圆上任意一点，过点作于点，设的内心为，当点在半圆上从点运动到点时，求内心所经过的路径长． 23．如图，在中，，，，O是的中点，D是线段上一点，以O为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到扇形． （1）如图1，若点D与点B重合， ①判断：点C　 　上（填“在”或“不在”）； ②求A，E两点间的距离． （2）如图2，设交于点，交于点G，若于点O，求阴影部分的面积； （3）当扇形所在圆与的边相切时，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$